Bei der Definition der Stetigkeit haben wir für eine konvergente Folge $(x_n)$ mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$ die Folge $(f(x_n))$ betrachtet. Aufbauend auf diesem Ansatz werden wir in dieser Blog-Folge definieren, was es heißt, dass eine Funktion $f(x)$ an einer Stelle $x_0$ einen Grenzwert besitzt. Um diesen Grenzwertbegriff definieren können, benötigen wir vorher einen weiteren Begriff, den Berührungspunkt.
Definition
Es sei $D \subseteq \R$. Ein Punkt $a\in\R$ heißt Berührungspunkt von $D$, wenn es eine Folge $(a_n)$ in $D$ mit \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a \] gibt.
Wie können wir uns einen Berührungspunkt vorstellen? Das folgende Beispiele gibt hierfür einen anschaulichen Einblick.
Beispiel
Zunächst einmal gilt, dass jedes Element von $D$, also jedes $a\in D$, ein Berührungspunkt ist, denn die konstante Folge $a_n=a$ hat $a$ als Grenzwert.
Neben den Elementen aus $D$ kann $D$ aber weitere Berührungspunkte haben. Betrachten wir hierzu das offene Intervall $D=(1,2)$. Dann ist $a_n = 1 + \frac{1}{n} \in D$ und es gilt $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 1$. Also ist $1$ ein Berührungspunkt von $D$, obwohl $1\notin D$ gilt. Analog ergibt sich mit der Folge $b_n = 2-\frac{1}{n}$, dass auch $2$ ein Berührungspunkt ist.
Anknüpfend an Teil (ii) ist jedes $a < 1$ kein Berührungspunkt, denn für eine Folge $(a_n)$ aus $D$ gilt $a_n > 1$ für alle $n$, woraus $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n \geq 1$ folgt. Analog ergibt sich, dass auch jedes $b > 2$ kein Berührungspunkt sein kann.
Neben den Elementen von $D$ selbst sind also solche Punkte Berührungspunkte, die an $D$ unmittelbar angrenzen. Wir könnten auch sagen, es sind Punkte, die von $D$ (in einem anschaulichen Sinne) den Abstand $0$ haben, ohne den Begriff des Abstands hier mathematisch zu präzisieren.
Mit dem Begriff des Berührungspunktes können wir nun Grenzwerte bei Funktionen definieren.
Definition
Es seien $D\subseteq \R$ eine Menge, $f:D\rightarrow\R$ eine Funktion, $a\in\R$ ein Berührungspunkt von $D$ und $b\in\R \cup \{\pm\infty\}$.
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Gilt für alle Folgen $(x_n)$ in $D$ \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = a \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = b, \] so schreiben wir dafür \[ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = b \] und bezeichnen $b$ als den Grenzwert von $f$ für $x$ gegen $a$.
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Gilt für alle Folgen $(x_n)$ in $D$ mit $x_n > a$ für alle $n$ (bzw. $x_n < a$ für alle n) \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = a \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = b, \] dann schreiben wir \[ \lim_{x\searrow a} f(x) = b\quad \left(\text{bzw. } \lim_{x\nearrow a} f(x) = b \right) \] und bezeichnen $b$ als den rechtsseitigen Grenzwert bzw. als den linksseitigen Grenzwert von $f$ für $x$ gegen $a$.
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Gilt für alle Folgen $(x_n)$ in $D$ \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \pm\infty \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = b, \] dann schreiben wir \[ \lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = b\quad \left(\text{bzw. } \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = b \right) \] und bezeichnen $b$ als den Grenzwert von $f$ für $x$ gegen $\infty$ bzw. $-\infty$.
Um die so definierten Grenzwertbegriffe genauer zu verstehen, schauen wir uns einige Beispiele an. Wir beginnen mit der Vorzeichenfunktion, auch Signumfunktion genannt, an. Ihre Definition lautet \[ \text{sgn}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \text{für } x > 0 \\ 0 & \text{für } x = 0 \\ -1 & \text{für } x < 0. \end{array} \right. \] Hier der Funktionsgraph dazu:
Es sei nun $x_n = \frac{1}{n} > 0$ und $y_n = -\frac{1}{n} < 0$. Dann gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \lim_{n\rightarrow\infty} y_n = 0 \] sowie \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \text{sgn}(x_n) = 1 \quad \text{und} \quad \lim_{n\rightarrow\infty} \text{sgn}(y_n) = -1. \] Also existiert $\lim_{x\rightarrow 0} \text{sgn}(x)$ nicht. Allerdings existieren der links- und rechtsseitige Grenzwert, denn für jede Folge $(x_n)$ mit $x_n > 0$ erhalten wir \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \text{sgn}(x_n) = 1 \] und für jede Folge $(y_n)$ mit $y_n < 0$ erhalten wir \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \text{sgn}(y_n) = -1. \] Damit gilt \[ \lim_{x\searrow 0} \text{sgn}(x) = 1 \quad\text{und}\quad \lim_{x\nearrow 0} \text{sgn}(x) = -1. \]
Als nächstes schauen wir uns die Funktion \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{für } x \neq 0 \\ 0 & \text{für } x = 0; \end{array} \right. \] an. Es gilt $f(x) = \left(\text{sgn}(x)\right)^2$. Für eine beliebige Folge $(x_n)$ mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = 0$ und $x_n\neq 0$ ergibt sich \[ \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} 1 = 1. \] Also existiert hier der Grenzwert, es gilt \[ \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 1. \] Aber natürlich ist $f$ an der Stelle $x_0=0$ wegen \[ \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 1 \neq 0 = f(0) \] unstetig.
Schauen wir uns als letztes die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ an. Für eine Folge $(x_n)$ mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \infty$ wird also der Nenner von $f(x_n) = \frac{1}{x_n}$ beliebig groß, woraus $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{x_n} = 0$ folgt. Damit gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{1}{x} = 0. \] Bei dieser Funktion ist es auch noch interessant, die Grenzwerte bei $x_0=0$ zu betrachten. Es gilt \[ \lim_{x\searrow 0} \frac{1}{x} = \infty \quad\text{und}\quad \lim_{x\nearrow 0} \frac{1}{x} = -\infty. \] Damit existiert der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}$ nicht. Anders ist es, wenn wir den Betrag der Funktion betrachten. Dann gilt \[ \lim_{x\rightarrow 0} \left|\frac{1}{x}\right| = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{|x|} = \infty. \] Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse der obigen Beispielbetrachtungen zusammen. \[ \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline \textnormal{Funktion} & \text{linksseitiger Grenzwert} & \text{rechtsseitiger Grenzwert} & \text{Grenzwert} \\ \hline \hline \text{sgn}(x) & \displaystyle\lim_{x\nearrow 0} \textnormal{sgn}(x) = -1 & \displaystyle\lim_{x\searrow 0} \textnormal{sgn}(x) = 1 & \textnormal{existiert nicht} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{x} & \displaystyle\lim_{x\nearrow 0} \frac{1}{x} = -\infty & \displaystyle\lim_{x\searrow 0} \frac{1}{x} = \infty & \textnormal{existiert nicht} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{|x|} & \displaystyle\lim_{x\nearrow 0} \frac{1}{|x|} = \infty & \displaystyle\lim_{x\searrow 0} \frac{1}{|x|} = \infty & \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{|x|} = \infty \\ \hline \end{array} \]
Aus den Grenzwertdefinitionen ergibt sich unmittelbar:
Folgerung
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = a$.
- $\displaystyle \lim_{x\searrow x_0} f(x) = \lim_{x\nearrow x_0} f(x) = a$.
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