Analysis-Blog: Folge 1
Der Körper der reellen Zahlen
07 Mar 2024
Die Analysis, die wir in diesem Kurs behandeln, basiert in erster Linie auf den reellen Zahlen. Daher werden wir die reellen Zahlen im ersten Kapitel recht genau einführen. Wir beginnen damit, dass wir von den reellen Zahlen verlangen, dass sie einen Körper bilden. In diesem Zusammenhang werde ich den Begriff des Körpers und seine wichtigsten Eigenschaften kurz wiederholen.
Analysis-Blog: Folge 2
Angeordneter Körper
07 Mar 2024
In der Analysis benötigen wir nicht nur Gleichungen, sondern auch Ungleichungen spielen eine ganz entscheidende Rolle. Daher sollten wir in der Lage sein, auch mit Ungleichungen zu rechnen. Solche Ungleichungen basieren auf einer Anordnung der Körperelemente. In dieser Blog-Folge schauen wir uns an, wie solch ein angeordneter Körper charakterisiert ist.
Analysis-Blog: Folge 3
Rechenregeln für einen angeordneten Körper
07 Mar 2024
In der vorigen Blog-Folge hatten wir definiert, was ein angeordneter Körper ist. In solch einem Körper können wir nicht nur mit den bekannten arithmetischen Operation $+$ und $\cdot$ rechnen, sondern wir können auch Ungleichungen aufstellen. In dieser Blog-Folge werden wir weitere Rechenregeln für Ungleichungen herleiten.
Analysis-Blog: Folge 4
Übung: Rechenregeln für einen angeordneten Körper
07 Mar 2024
Übung macht den Meister! Deshalb besteht diese Blog-Folge aus einer Reihe von Übungen. Sie bietet Dir damit die Gelegenheit, Deine Kenntnisse zu Körpern, angeordneten Körpern und Ungleichungen zu vertiefen. Bearbeite so viele Übungen wie möglich.
Analysis-Blog: Folge 5
Fakultät und Binomialkoeffizient
06 Mar 2024
Fakultät und Binomialkoeffizient sind Konzepte, die eigentlich aus der Kombinatorik stammen, die aber auch in der Analysis unverzichtbar ist. Beide sind wichtige Zählkoeffizienten, d. h. sie geben die Kardinalität bestimmter Mengen an. In dieser Blog-Folge lernen wir ihre Definition kennen.
Analysis-Blog: Folge 6
Binomischer Lehrsatz und Bernoullische Ungleichung
06 Mar 2024
In dieser Blog-Folge fragen wir uns, wie wir Potenzen von Binomen, also Ausdrücke der Form $(a+b)^n$, ausmultiplizieren können. Für $n=2$ kennst Du die Antwort bereits aus Deiner Schulzeit: $(a+b)^2$ multiplizierst Du mit der ersten binomischen Formel aus. Der binomische Lehrsatz verallgemeinert die erste und zweite binomische Formel auf ein beliebiges $n\in\mathbb{N}_0$. Dabei begegnen uns auch wieder die Binomialkoeffizienten. Zum Abschluss der Blog-Folge betrachten wir die Bernoullische Ungleichung. Mit ihr können wir die Potenz eines Binoms durch eine lineare Funktion nach unten abschätzen.
Analysis-Blog: Folge 7
Betrag und normierter Körper
07 Mar 2024
Aus der Linearen Algebra kennst Du den Begriff der Norm. Solch eine Norm ordnet den Vektoren eines Vektorraums eine nichtnegative Länge zu. Der analoge Begriff in Körpern ist der des Betrags. Durch eine Betragsfunktion wird jedem Körperelement eine nichtnegative Größe zugeordnet. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, wie man in einem angeordneten Körper solch eine Betragsfunktion definieren kann und welche wichtige Rechenregeln sich daraus ergeben.
Analysis-Blog: Folge 8
Übungen zu Fakultät, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz, Bernoullische Ungleichung und Betrag
20 Mar 2024
Eine weitere Blog-Folge, die nur Übungen und die zugehörigen Musterlösungen enthält. Ideal, um deine Kenntnisse zu normierten Körpern zu vertiefen.
Analysis-Blog: Folge 9
Die Wurzel aus 2 ist irrational
07 Mar 2024
Bisher haben wir die reellen Zahlen als angeordneten und normierten Körper konstruiert. Neben den reellen Zahlen gibt es aber auch andere Körper, die angeordnet und normiert sind, und die Du sogar schon kennst, beispielsweise den Körper $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen. Wozu brauchen wir also noch die reellen Zahlen? In dieser Blog-Folge verrate ich Dir, welchen schweren Mangel die rationalen Zahlen haben.
Analysis-Blog: Folge 10
Supremum
07 Mar 2024
Um den Mangel der rationalen Zahlen, dass beispielsweise die Gleichung $x^2 = 2$ in ihnen keine Lösung hat, zu beheben, werden wir eine zusätzliche Forderung an die reellen Zahlen stellen müssen, also ein weiteres Axiom aufstellen. Für die Formulierung dieses Axioms benötigen wir den Begriff des Supremums, den ich Dir in dieser Blog-Folge erkläre.
Analysis-Blog: Folge 11
Vollständiger Körper
22 Mar 2024
Nachdem wir jetzt wissen, was ein Supremum ist, werden wir den Begriff in dieser Blog-Folge geschickt einsetzen. Unsere Absicht ist es, dafür zu sorgen, dass Gleichungen wie beispielsweise $x^2 = 2$ in den reellen Zahlen lösbar sind. Hier zeige ich Dir, wie uns dies gelingt.
Analysis-Blog: Folge 13
Noch mehr Übungen: Vollständiger Körper
07 Mar 2025
Hier findest eine Reihe von Aufgaben zu Wurzeln und Potenzen. Viele dieser Aufgaben stammen aus Mathetests von Universitäten. Versuche möglichst viele der Aufgaben zu lösen. Schaue Dir auch immer die Lösungen an, denn Du kannst eine Menge aus ihnen lernen.
Analysis-Blog: Folge 14
Die Komplexen Zahlen
24 Mar 2024
Die Einführung des Vollständigkeitsaxioms hat dafür gesorgt, dass wir in den reellen Zahlen die Gleichungen $x^k = a$ für positives $a$ lösen können. Dagegen hat die Gleichung $x^2 = -1$ keine Lösung in den reellen Zahlen. Dies wirft die Frage auf, ob wir die reellen Zahlen geeignet erweitern können, so dass $x^k = a$ auch für negative $a$ immer eine Lösung hat.
Analysis-Blog: Folge 15
Komplexen Zahlen als Vektoren
25 Mar 2024
Eine komplexe Zahl können wir als Punkt im $\mathbb{R}^2$ auffassen und somit auch als Vektor betrachten. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, wie die arithmetischen Operationen für komplexe Zahlen geomtrisch im $\mathbb{R}^2$ dargestellt werden können.
Analysis-Blog: Folge 18
Folgen
05 May 2021
Von Intelligenztests kennen wir die Aufgabe, eine Abfolge von Zahlen passend fortzusetzen.
Analysis-Blog: Folge 19
Die Fibonacci-Folge
07 May 2021
Folgen müssen nicht explizit definiert sein, sondern können auch rekurisv definiert werden. In der vorangegangenen Blogfolge haben wir bereits ein Beispiel hierfür gesehen. Die bekannteste rekursiv definierte Folge ist die Fibonacci-Folge.
Analysis-Blog: Folge 20
Übungen zu rekursiven Folgen
12 May 2021
Diese Blog-Folge enthält eine Reihe von Übungen zu Fibonacci-Zahlen und rekursiv definierte Folgen.
Analysis-Blog: Folge 21
Grenzwert einer Folge
12 Apr 2024
Der wichtigste Begriff der Analysis ist der des Grenzwerts. In dieser Blog-Folge werde ich den Begriff definieren und erläutern. Weiterhin betrachten wir erste Beispiele zum Nachweis der Grenzwerteigenschaft.
Analysis-Blog: Folge 22
Eigenschaften und Rechenregeln konvergenter Folgen
15 Apr 2024
Nach dem wir nun wissen, was ein Grenzwert einer Folge ist, stellt sich die Frage, ob es Rechenregeln für solche Grenzwerte gibt und wie diese aussehen. Konkret: Wenn wir zwei konvergente Folgen $(a_n)$ und $(b_n)$ haben, mit den Grenzwerten $a$ bzw. $b$, ist dann auch die Folge $(a_n + b_n)$ konvergent? Und wenn ja, wie sieht deren Grenzwerte aus? Und wie ist dies für andere arithmetische Operationen, also z. B. für die Folge $(a_n b_n)$?
Analysis-Blog: Folge 23
Bestimmte Divergenz
15 Apr 2024
In dieser Blog-Folge wollen wir divergente Folgen genauer klassifizieren.
Analysis-Blog: Folge 24
Das Sandwich-Lemma
20 Apr 2024
Die Rechenregeln, die wir bisher für Grenzwerte kennen, basieren alle auf den arithmetischen Operationen. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir eine ungleichungsbasierte Rechenregel für Grenzwerte.
Analysis-Blog: Folge 25
Kriterium der monotonen Konvergenz
20 Apr 2024
Um die Konvergenz einer Folge nachzuweisen, stehen uns bisher die Grenzwertdefinition und Rechenregeln für Grenzwerte zur Verfügung. Häufig können wir den Grenzwert einer Folge aber nicht benennen, d. h. wir vermuten, dass eine Folge konvergent ist, wissen aber nicht, welcher Zahl sich die Folgenglieder annähern. In dieser Blog-Folge wirst Du ein erstes Kriterium kennenlernen, mit dem Du nachweisen kannst, dass eine Folge konvergent ist, ohne ihren Grenzwert zu kennen.
Analysis-Blog: Folge 26
Intervallschachtelung
21 Apr 2024
In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, was eine Intervallschachtelung ist. Mit ihr kann man konvergente Folgen konstruieren.
Analysis-Blog: Folge 27
Cauchy-Folge
22 Apr 2024
Bei Cauchy-Folgen liegen die einzelnen Folgenglieder ab einem Index $n_0$ beliebig nahe beieinander. Wir werden sehen, dass dies äquivalent zur Konvergenz einer Folge ist, woraus ein weiteres Konvergenzkriterium entsteht.
Analysis-Blog: Folge 28
Folgen in $\mathbb{C}$ und $\mathbb{R}^d$
25 Apr 2024
Bisher haben wir ausschließlich reelle Folgen behandelt. Aber natürlich können wir auch Folgen mit komplexen Zahlen als Folgenglieder definieren, ebenso Folgen, deren Folgenglieder Vektoren sind. In dieser Blog-Folge werden wir den Grenzwertbegriff auf solche Folgen ausdehnen. Du wirst feststellen, dass sich gegenüber dem Grenzwertbegriff für reelle Folgen praktisch nichts ändert. Auch viele weitere Aussagen, die wir für reelle Folgen formuliert und bewiesen haben, lassen sich auf komplexe Folgen übertragen.
Analysis-Blog: Folge 29
Reihen
12 May 2021
Reihen entstehen, indem wir die Folgenglieder einer Folge $(a_k)_{k\in \mathbb{N}_0}$ von $1$ bis $n$ aufsummieren. Die Summe dieser ersten $n$-Folgenglieder der Folge $(a_k)$ ergibt das $n$-te Folgenglied einer Reihe.
Analysis-Blog: Folge 30
Teleskopreihen
12 May 2021
In dieser Blog-Folge untersuchen wir die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \] auf Konvergenz.
Analysis-Blog: Folge 31
Leibniz-Kriterium
12 May 2021
Eine alternierende Reihe ist eine Reihe in $\mathbb{R}$, bei der die Summanden ein wechselndes Vorzeichen haben. In dieser Blog-Folge lernst Du ein Konvergenzkriterium speziell für solche Reihen kennen.
Analysis-Blog: Folge 32
Absolute Konvergenz
13 May 2021
Wechselnde Vorzeichen bei den Summanden einer Reihe können die Untersuchung auf Konvergenz deutlich erschweren. Daher kann es von Bedeutung sein, bei der Untersuchung diese Vorzeichenwechsel zu ignorieren.
Analysis-Blog: Folge 33
Majoranten- und Minorantenkriterium
13 May 2021
Bei der Untersuchung einer Reihe auf Konvergenz kann es hilfreich sein, die Summanden der Reihe nach oben abzuschätzen, wenn durch die Abschätzung eine Reihe entsteht, deren Konvergenz bekannt ist.
Analysis-Blog: Folge 34
Quotientenkriterium
14 May 2021
Aus dem Majorantenkriterium heraus kann man weitere spezialisierte Konvergenzkriterien entwickeln, deren Anwendung konkreter und damit üblicherweise etwas einfacher ist als das abstrakte Majorantenkriterium.
Analysis-Blog: Folge 35
Wurzelkriterium
14 May 2021
Neben dem Quotientenkriterium, das wir im vorigen Blog behandelt haben, gibt es ein weiteres wichtiges Kriterium für die absolute Konvergenz von Reihen: das Wurzelkriterium.
Analysis-Blog: Folge 36
Übungen zur Konvergenz von Reihen
17 May 2021
In den folgenden Übungen sollen Sie die Konvergenz von Reihen untersuchen oder Grenzwerte ermitteln.
Analysis-Blog: Folge 37
Noch mehr Übungen zur Konvergenz von Reihen
20 May 2021
In den folgenden Übungen sollen Sie die Konvergenz von Reihen untersuchen oder Grenzwerte ermitteln.
Analysis-Blog: Folge 38
Cauchy-Produkt
20 May 2021
Wir haben zwei Reihen die wir miteinander multiplizieren wollen. Das Produkt dieser Reihen soll dabei wieder als Reihe dargestellt werden. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, wie diese Reihendarstellung aussieht.
Analysis-Blog: Folge 39
Potenzreihen
18 May 2021
Wir kennen Polynome als Funktionen der Form \[ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n. \] Gilt $a_n \neq 0$, dann sagen wir, dass das Polynom den Grad $n$ hat. Wenn wir jetzt die Summation nicht bei $n$ stoppen sondern unendlich viele Terme der Form $a_k x^k$ betrachten, dann erhalten wir eine Potenzreihe.
Analysis-Blog: Folge 40
Übungen zu Potenzreihen und zum Cauchy-Produkt
10 May 2021
Die Ermittlung des Konvergenzradius für eine Potenzreihe ist eine typische Klausuraufgabe, wofür in Übung 2 eine Reihe von Beispielaufgaben bereit gestellt werden. Viele dieser Beispiele stammen auch aus Klausuren.
Analysis-Blog: Folge 41
Die Exponentialfunktion
21 May 2021
Die Exponentialfunktion gehört zu den wichtigsten Funktionen in der Mathematik. In dieser Blog-Folge schauen wir uns die Definition dieser Funktion auf Basis einer Potenzreihe und wichtige daraus resultierende Eigenschaften an.
Analysis-Blog: Folge 42
Sinus und Cosinus
21 May 2021
Neben der Exponentialfunktion sind Sinus und Cosinus zwei weitere elementare Funktionen der Mathematik. Sie basieren direkt auf der Exponentialfunktion.
Analysis-Blog: Folge 43
Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus
21 May 2021
In dieser Blog-Folge definieren wir die elementaren Hyperbelfunktionen, den Sinus Hyperbolicus und den Cosinus Hyperbolicus, mithilfe der Exponentialfunktion.
Analysis-Blog: Folge 44
Der Identitätssatz für Potenzreihen
02 May 2022
Kann es verschiedene Potenzreihen geben, die die gleiche Funktion darstellen? Der Identitätssatz für Potenzreihen liefert die Anwort auf diese Frage.
Analysis-Blog: Folge 45
Partialbruchzerlegung
20 May 2022
Mit der Partialbruchzerlegung können wir einen Quotienten von Polynomen in eine Summe einfacherer Terme zerlegen.
Analysis-Blog: Folge 46
Übungen zur Partialbruchzerlegung
03 May 2022
Diese Blog-Folge bietet Dir die Gelegenheit, Partialbruchzerlegungen zu üben.
Analysis-Blog: Folge 47
Explizite Formeln für Folgen
05 May 2022
Nachdem wir in den vorigen Blog-Folgen (siehe hier und hier) den Identitätssatz für Potenzreihen kennengelernt und uns mit der Partialbruchzerlegung vetraut gemacht haben, sind wir nun soweit, dass wir für rekursiv definierte Folgen eine explizite Formel herleiten können.
Analysis-Blog: Folge 48
Herleitung der Formel von Moivre-Binet
06 May 2022
In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, wie Du mit den gelernten Techniken die bekannte Formel von Moivre-Binet zur expliziten Darstellung der Fibonacci-Zahlen herleiten kannst.
Analysis-Blog: Folge 49
Übungen zur Herleitung expliziter Formeln für Folgen
06 May 2022
In dieser Blog-Folge findest Du verschiedene Übungen zur Herleitung expliziter Formeln für rekursiv definierte Folgen.
Analysis-Blog: Folge 53
Aufgaben zum Epsilon-Delta-Kriterium
30 May 2021
Ein Student muss das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium beherrschen und mit ihm umgehen können, nicht nur für die Klausur, in der immer Aufgaben zum $\epsilon$-$\delta$-Kriterium auftauchen, sondern auch, weil es schlichtweg das Kriterium ist, um theoretische Stetigkeitsbeweise zu führen.
Analysis-Blog: Folge 55
Stetige Fortsetzung
08 Jun 2021
Wir schauen uns die Funktion \[ f(x) = x\,\sin\left(\frac{1}{x}\right) \] an. Offensichtlich ist die Funktion für $x=0$ nicht definiert, da im Argument vom Sinus der Term $\frac{1}{x}$ auftritt.
Analysis-Blog: Folge 58
Beschränktheit und Extrema von Funktionen
14 May 2022
In dieser Blog-Folge definieren wir zunächst was es heißt, dass eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ beschränkt ist. Anschließend führen wir die Begriffe Minimum und Maximum für Funktionen ein und betrachten einige Beispiele.
Analysis-Blog: Folge 59
Der Extremwertsatz von Weierstraß
13 May 2022
Es ist wichtig zu wissen, ob eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich ein Maximum oder ein Minimum annimmt. Der folgende Satz, als Extremwertsatz von Weierstraß bekannt, liefert uns ein hinreichendes Kriterium für deren Existenz.
Analysis-Blog: Folge 65
Die allgemeine Potenzfunktion
29 Oct 2024
Bisher verfügen wir nur über eine eingeschränkte Definition der Potenz, denn für $a > 0$ haben wir $a^x$ nur für $x\in\mathbb{Q}$ definiert. In dieser Blog-Folge werden wir die Definition der Potenz auf beliebige $x\in\R$ erweitern.
Analysis-Blog: Folge 66
Wichtige Grenzwerte
12 Nov 2024
In dieser Blog-Folge widmen wir uns einigen wichtigen Grenzwerte. Insbesondere betrachten wir das Wachstumsverhalten der Exponentialfunktion und des Logarithmus gegenüber Polynomen.
Analysis-Blog: Folge 70
Treppenfunktionen und Treppenfunktionsintegral
27 Dec 2024
Kapitel 6 liefert Dir eine Einführung in die Integralrechnung. Die Integralrechnung hat ihre Wurzeln in der Berechnung von Flächen mit krummen Begrenzungen. Dementsprechend kann man mit Integralen solche Flächen berechnen. Diese erste Blog-Folge liefert die Grundlagen für die Definition des Integrals.
Analysis-Blog: Folge 71
Das Integral für Regelfunktionen
27 Dec 2024
In dieser Folge zeige ich Dir, was man unter einem Integral versteht. Wir nutzen das Integral für Regelfunktionen, das für praktische Zwecke vollkommen ausreichend ist. Es basiert auf Regelfunktionen, die wiederum auf Treppenfunktionen basieren, die Du ja schon aus der letzten Folge kennst.
Analysis-Blog: Folge 72
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
30 Dec 2024
Die Definition des Integrals ist für seine Berechnung zu unhandlich. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, den wir in dieser Blog-Folge herleiten werden, liefert uns dagegen ein mächtiges Werkzeug, mit dem wir Integrale deutlich einfacher berechnen können.
Analysis-Blog: Folge 73
Partielle Integration
30 Dec 2024
Die partielle Integration ist unser erstes wichtiges Werkzeug zur Konstruktion von Stammfunktionen. Sie basiert auf der Produktregel für Ableitungen.
Analysis-Blog: Folge 74
Substitution
02 Jan 2025
Unsere zweite elementare Integrationstechnik ist die Substitution. Sie basiert auf der Kettenregel für Ableitungen.
Analysis-Blog: Folge 75
Integration rationaler Funktionen
05 Jan 2025
Zu rationalen Funktionen können wir immer eine Stammfunktion konstruieren. Der Schlüssel hierzu ist eine Partialbruchzerlegung. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir das genaue Vorgehen.
Analysis-Blog: Folge 76
Integration mit Potenzreihen
06 Jan 2025
Leider ist es uns nicht immer möglich, zu einer Funktion eine Stammfunktion in elementarer Form zu konstruieren. Hier können uns Potenzreihen weiterhelfen.
Analysis-Blog: Folge 77
Uneigentliche Integrale
10 Jan 2025
Bestimmte Integrale entsprechen dem Inhalt von beschränkten Flächen. Die Integralrechnung erlaubt es uns aber auch, den Flächeninhalt von unbeschränkten Flächen zu ermiteln. Dies geschieht mit sogenannten uneigentlichen Integralen. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, was uneigentliche Integrale sind und wie man sie berechnet.
Analysis-Blog: Folge 79
Das Integralkriterium für Reihen
20 Feb 2025
In dieser Blog-Folge zeige ich Dir ein weiteres Konvergenzkriterium für Reihen: das Integralkriterium. Mit ihm kannst Du die Frage, ob eine Reihe konvergiert, mithilfe eines uneigentlichen Integrals entscheiden.
Analysis-Blog: Folge 81
Harmonische Zahlen und die Euler-Mascheroni-Konstante
21 Feb 2025
Eine harmonische Zahl ist eine Partialsumme der harmonischen Reihe. Die harmonischen Zahlen spielen eine wichtige Rolle in der Kombinatorik und daher auch für die Komplexitätsanalyse von Algorithmen. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, wie wir mithilfe der Integralrechnung gute Abschätzungen für die harmonischen Zahlen finden. Damit verbunden ist auch eine bekannte mathematische Konstante: die Euler-Mascheroni-Konstante.