In dieser Blog-Folge wollen wir divergente Folgen genauer klassifizieren.
Bestimmte Divergenz
Divergente Folgen, die sich eindeutig in Richtung $\infty$ oder in Richtung $-\infty$ bewegen, nennen wir bestimmt divergent. Hier folgt die genaue Definition.
Definition
Es sei $(a_n)$ eine reelle Folge.
Wenn es zu jeder reellen Zahl $M > 0$ ein $n_0\in\N$ gibt, so dass \[ a_n > M \] für alle $n\geq n_0$ gilt, dann heißt die Folge $(a_n)$ bestimmt divergent gegen $\infty$. Wir schreiben dann: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty. \]
Die Folge $(a_n)$ heißt bestimmt divergent gegen $-\infty$, wenn die Folge $(-a_n)$ bestimmt divergent gegen $\infty$ ist. Wir schreiben dann: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = -\infty. \]
Eine Folge ist demnach genau dann bestimmt divergent gegen $\infty$, wenn für jede positive reelle Zahl $M$ ab einem Index $n_0$ alle Folgenglieder überhalb von $M$ liegen. Kurz: \[ \forall M >0 \exists n_0\in\N \forall n \geq n_0: a_n > M. \]
Die Ähnlichkeit zur Grenzwertdefinition ist deutlich zu erkennen. Aber beachte: Auch wenn wir \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty \] schreiben, so ist $\infty$ kein Grenzwert. Auch ist $(a_n)$ nicht konvergent (gegen $\infty$), sondern solch eine Folge ist nach wie vor divergent. Durch obige Schreibweise drücken wir nur aus, dass $(a_n)$ halt nicht irgendwie divergent ist, sondern ein ganz bestimmtes definiertes Verhalten aufweist.
Bei einer Folge, die bestimmt divergent gegen $-\infty$ ist, können wir für jeden vorgegebenen Wert $M > 0$ einen Index $n_0$ finden, so dass alle Folgenglieder ab Index $n_0$ unterhalb von $-M$ liegen. Dies können wir auch folgendermaßen ausdrücken: \[ \forall M >0 \exists n_0\in\N \forall n \geq n_0: a_n < -M. \]
Beispiel
Wir betrachten die Folgen $(a_n), (b_n), (c_n)$ und $(d_n)$ mit \begin{eqnarray*} a_n & = & 2^n \\ b_n & = & -n^2 \\ c_n & = & (-1)^n \cdot n^2 \\ d_n & = & n + (-1)^n \\ e_n & = & (-1)^n \end{eqnarray*} Die Folgen $(a_n), (b_n), (d_n)$ sind bestimmt divergent, die Folgen $(c_n), (e_n)$ nicht.Die Folge $(e_n)$ ist beschränkt und kann damit nicht bestimmt divergent sein, denn die bestimmte Divergenz enthält ja gerade die Eigenschaft, dass die Folgenglieder jede vorgegebene Schranke über- bzw. unterschreiten.
Die Folge $(c_n)$ hat zwar genau diese Eigenschaft, ist aber trotzdem nicht bestimmt divergent, da die Folgenglieder sowohl beliebig groß (Richtung $\infty$) als auch beliebig klein (Richtung $-\infty$) werden. Konkret werden die Folgenglieder mit geradem Index beliebig groß, dagegen die mit ungeradem Index beliebig klein. Dies ist bei der bestimmten Divergenz nicht erlaubt, denn es wird ja verlangt, dass ab einer Stelle $n_0$ entweder alle Folgenglieder $> M$ oder alle Folgenglieder $< -M$ sind. Dies erfüllt die Folge $(c_n)$ nicht.
Bei der Folge $(d_n)$ sehen wir, dass die Folgenglieder nicht immer wachsen müssen, damit bestimmte Divergenz vorliegt. Die ersten Folgenglieder lauten: \[ 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, \ldots \] Immer, wenn wir einen ungeraden Index $n$ haben, entsteht ein Folgenglied, das kleiner als das vorherige ist. Trotzdem ist diese Folge bestimmt divergent gegen $\infty,$ denn ab einem Index mit $n_0 > M+1$ liegen alle Folgenglieder oberhalb von $M$.
Rechenregeln für bestimmte Divergenz
In der vorigen Blog-Folge hatten wir eine Reihen von Rechenregeln für konvergente Folgen hergeleitet. Tatsächlich können wir manche dieser Regeln auch für bestimmt divergente Folgen nutzen. Wenn wir beispielsweise eine konvergente Folge $(a_n)$ und eine Folge $(b_n)$ haben, die bestimmt divergent gegen $\infty$ ist, dann ist auch die Folge $(a_n + b_n)$ bestimmt divergent gegen unendlich.
Proposition
Für konvergente und bestimmt divergente Folgen gelten die folgenden Rechenregeln: \begin{eqnarray*} c \pm \infty & = & \pm \infty \quad \text{für alle } c \in \R \\ \pm c \cdot \infty & = & \pm \infty \quad \text{für alle } c > 0 \\ \pm c \cdot (-\infty) & = & \mp\infty\quad\text{für } c > 0 \\ \frac{c}{\pm\infty} & = & 0 \quad\text{für } c\in\R\\ \infty + \infty & = & \infty \\ -\infty -\infty & = & -\infty\\ \infty \cdot \infty & = & \infty \\ -\infty \cdot \infty & = & -\infty \\ (-\infty)\cdot(-\infty) & = & \infty \end{eqnarray*} Hierbei steht $c\in\R$ für den Grenzwert einer konvergenten Folge und $\infty$ bzw. $-\infty$ für eine bestimmt divergente Folge gegen $\infty$ bzw. $-\infty$.
Beachte, dass diese Proposition nicht alle Möglichkeiten abdeckt. Für einige Verknüpfungen ist es nicht möglich, allgemeingültige Rechenregeln aufzustellen. So können wir beispielsweise die folgenden Verknüpfungen nicht ohne weiteres vereinfachen: \[ 0\cdot\infty, \infty - \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}. \] Die $0$ bedeutet hier, dass es sich um eine Nullfolge handelt, also eine konvergente Folge mit Grenzwert $0$.
Wenn Du also beispielsweise zwei Folgen $(a_n)$ und $(b_n)$ hast, wobei $(a_n)$ eine Nullfolge und $(b_n)$ bestimmt divergent gegen $\infty$ ist, dann gibt es keine allgemeine Rechenregel, die es uns erlaubt, das Konvergenzverhalten von $(a_nb_n)$ anzugeben. Es ist in diesem Fall alles möglich. Die Folge $(a_nb_n)$ könnte eine Nullfolge sein, sie könnte einen Grenzwert $\neq 0$ haben, sie könnte bestimmt divergent gegen $\infty$ oder $-\infty$ sein oder sogar einfach nur divergent. In solch einem Fall bleibt Dir also nichts anderes übrig, als die Folge $(a_nb_n)$ genauer zu untersuchen.
Das Gleiche gilt, wenn Du zwei bestimmt divergente Folgen gegen $\infty$ hast und Du betrachtest die Differenz $(a_n - b_n)$. Oder Du hast zwei Nullfolgen und möchtest das Verhalten von $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ untersuchen. Oder Du hast zwei bestimmt divergente Folgen und betrachtest wieder $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$. In all diesen Fällen gibt es keine einfache Rechenregel. Du musst also die resultierende Folge genauer untersuchen.
Das folgende Beispiel zeigt dir eine Untersuchung für den Fall $\infty - \infty$. Schaue Dir dieses Beispiel gut an, denn wir nutzen dort auch eine Abschätzung. Solche Abschätzungen sind für Grenzwertbeweise oft unverzichtbar, sie fallen vielen Studenten aber schwer. Deshalb musst Du Erfahrung mit Abschätzungen sammeln.
Beispiel
Wir betrachten die Folge $(a_n)$ mit \[ a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}. \] Es gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n+1} = \infty \quad\text{und auch}\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n} = \infty. \] Wir können direkt also nicht sagen, ob $(a_n)$ überhaupt konvergent ist und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Tatsächlich gilt aber \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = 0, \] d. h. $(a_n)$ ist eine Nullfolge.
Beweis: Es sei $\epsilon > 0$ beliebig. Wir untersuchen zunächst den Term $|a_n - a|$ mit dem zu beweisenden Grenzwert $a=0$. Hierzu formen wir den Term um: \begin{eqnarray*} |a_n -a| & = & |\sqrt{n+1} - \sqrt{n}| \\ & = & \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \\ & = & \left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ & = & \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ & = & \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}. \end{eqnarray*} Die entscheidende Umformung geschiegt hier von der zweiten zur dritten Zeile. Dort erweitern wir den Bruch mit dem Faktor $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$. Warum? Weil wir so im Zähler die dritte binomische Formel anwenden können und dadurch die Wurzeln dort verschwinden.
Wir bekommen dann allerdings eine Wurzelsumme im Nenner, statt einer Differenz von Wurzeln im Zähler. Du wirst aber gleich sehen, dass die Wurzelsumme im Nenner mithilfe einer geschickten Abschätzung unproblematisch wird.
Wenn wir den letzten Term ab einem Index $n_0$ kleiner als $\epsilon$ bekommen, ist der Beweis erbracht. Beachte: Dabei dürfen wir auch Abschätzungen vornehmen, d. h. wir dürfen den Term durch einen größeren ersetzen. Denn wenn wir einen größeren Term kleiner als $\epsilon$ bekommen, dann gilt dies ja erst recht für den Ausgangsterm $|a_n -a|$.
Wie können wir also den Term \[ \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \] nach oben abschätzen?
Wir haben als Term einen Bruch mit positivem Zähler und Nenner. Solch einen Bruch können wir vergrößern, indem wir den Nenner verkleinern und er dabei positiv bleibt. Daher bietet es sich an, einfach $\sqrt{n+1}$ durch $\sqrt{n}$ zu ersetzen. Damit erhalten wir: \[ \leq \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}. \] Diesen Term müssen wir jetzt kleiner als $\epsilon$ bekommen, d. h. es muss \[ \frac{1}{2\sqrt{n}} < \epsilon \] gelten. Um herauszubekommen, für welche $n$ dies gilt, genügt es, die Ungleichung nach $n$ aufzulösen. Es ergibt sich: \begin{eqnarray*} & & \frac{1}{2\sqrt{n}} < \epsilon \\ & \Leftrightarrow & \frac{1}{2\epsilon} < \sqrt{n} \\ & \Leftrightarrow & \frac{1}{4\epsilon^2} < n. \end{eqnarray*} Also wählen wir $n_0 > \frac{1}{4\epsilon^2}$. Damit ist der Beweis für den Grenzwert erbracht.
Im nächsten Beispiel betrachten wir wieder den Fall $\infty - \infty$, diesmal aber mit einem ganz anderen Ergebnis.
Beispiel
Wir wollen die Folge $(a_n)$ mit \[ a_n = \sqrt{2n} - \sqrt{n} \] untersuchen. Es gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{2n} = \infty \quad\text{und auch}\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n} = \infty. \] Wie im letzten Beispiel ist damit unklar, ob $(a_n)$ konvergent oder divergent ist. Diesmal gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{2n} - \sqrt{n} = \infty. \] Die Folge ist also bestimmt divergent gegen $\infty$.
Beweis: Es gilt \begin{eqnarray*} a_n & = & \sqrt{2n} - \sqrt{n} \\ & = & \sqrt{2}\cdot\sqrt{n} - \sqrt{n} \\ & = & \left(\sqrt{2} - 1\right) \cdot \sqrt{n} \end{eqnarray*} Wir haben also ein Produkt, das aus einer Konstanten $c := \sqrt{2} - 1 > 0$ und einer Folge besteht, die bestimmt divergent gegen $\infty$ ist. Hierfür gibt die Proposition von oben eine Rechenregel an: $c\cdot\infty = \infty$.
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