In dieser Blog-Folge fragen wir uns, wie wir Potenzen von Binomen, also Ausdrücke der Form $(a+b)^n$, ausmultiplizieren können. Für $n=2$ kennst Du die Antwort bereits aus Deiner Schulzeit: $(a+b)^2$ multiplizierst Du mit der ersten binomischen Formel aus. Der binomische Lehrsatz verallgemeinert die erste und zweite binomische Formel auf ein beliebiges $n\in\mathbb{N}_0$. Dabei begegnen uns auch wieder die Binomialkoeffizienten. Zum Abschluss der Blog-Folge betrachten wir die Bernoullische Ungleichung. Mit ihr können wir die Potenz eines Binoms durch eine lineare Funktion nach unten abschätzen.
Binomischer Lehrsatz
Satz (Binomischer Lehrsatz)
Für alle $a,b \in \R$ und alle $n\in\N_0$ gilt \[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k. \]Bevor wir dieses Satz beweisen, wenden wir ihn auf einfache Beispiele an. Als erstes sehen wir, dass die bekannten Binomischen Formeln im Binomischen Lehrsatz als Spezialfall enthalten sind, denn \[ (a+b)^2 = \binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1b^1 + \binom{2}{2} a^0b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] und \[ (a-b)^2 = \binom{2}{0} a^2 (-b)^0 + \binom{2}{1} a^1 (-b)^1 + \binom{2}{2} a^0(-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \] Für die $n=3$ ergibt sich mit dem Binomischen Lehrsatz \[ (a+b)^3 = \binom{3}{0}a^3b^0 + \binom{3}{1}a^2b^1 + \binom{3}{2}a^1b^2 + \binom{3}{3}a^0b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] und dementsprechend mit $(-b)$ statt $b$ \[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3. \] Für $n=4$ erhalten wir \[ (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \] und für $n=5$ \[ (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5. \] Wir sehen an diesen kleinen Beispielen schon eine Symmetrie: Der Koeffizient für $a^{n-k} b^k$ ist stets der gleiche wie der für $a^k b^{n-k}$, was an der Symmetrie ($\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$) der Binomialkoeffizienten liegt.
Der Beweis des Binomischen Lehrsatzes ist eine exzellente Übung für viele elementare mathematische Techniken. Bevor Du dir den Beweis anschaust, kannst Du ihn auch mal selber versuchen. Wenn Du den Beweis nicht schaffst, was nicht schlimm ist, dann schaue Dir aber anschliessend den unten stehenden Beweis genau an und merke Dir die einzelnen Schritte. Danach solltest Du wieder den Beweis selbständig versuchen. Wiederhole dieses Prozedere, bis Du den Beweis vollständig alleine schaffst!
Falls Du jetzt denkst, dass sei doch nichts anderes, als den Beweis auswendig zu lernen: Ja, damit hast Du nicht unrecht. Aber anders als bei einem Gedicht, wo Du nur eine Abfolge von Worten auswendig lernst, lernst Du hier an einem Beispiel, wie Du wichtige mathematische Techniken anwenden kannst. Wenn Du später einen anderen Beweis führen willst, fällt es Dir dann deutlich leichter, die notwendigen Techniken anzuwenden.
Lernen ist nicht anderes als Verhaltensänderung aus Erfahrung. Um zu lernen, musst Du also Erfahrung sammeln. Sich einen Beweis Schritt für Schritt anzuschauen, so dass man ihn selbständig nachvollziehen und durchführen kann, ist hierfür eine verdammt gute Erfahrung.
Beweis
Die Aussage des Binomischen Lehrsatzes ist eine Allquantifizierung über $\N_0$, daher bietet sich die vollständige Induktion als Beweismethode an.
$n=0$: Es gilt \[ (a+b)^0 = 1 = \binom{0}{0} a^{0-0}b^0 = \sum_{k=0}^0 \binom{0}{k} a^{0-k} b^k. \] Damit haben ist die Aussage des Binomischen Lehrsatzes für $n=0$ wahr.
$n \rightarrow n+1$: Wir beginnen auf der linken Seite der Gleichung, denn so können wir leicht, indem wir einmal den Faktor $(a+b)$ aus der Potenz rausziehen, die Induktionsvoraussetzung anwenden. \begin{eqnarray*} (a+b)^{n+1} & = & (a+b)(a+b)^n \\ & = & (a+b) \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \end{eqnarray*} Jetzt lösen wir die Summe $(a+b)$ auf, indem wir ausmultiplizieren: \[ = a \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k + b \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Wir klammern die Faktoren $a$ und $b$ in die jeweilige Summe ein: \[ = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n+1-k} b^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k+1} \] In der zweiten Summe führen wir nun eine Indexverschiebung durch. Beachte dabei, dass $n-(k-1) = n+1-k$ ergibt: \[ = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n+1-k} b^k + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} a^{n+1-k} b^k \] Jetzt haben wir in beiden Summen die gleichen Potenzen, aber die Indexbereiche der Summen sind nicht kompatibel. Daher ziehen wir aus der ersten Summe den Summanden für $k=0$ heraus und aus der zweiten Summe den für $k=n+1$: \[ = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} a^{n+1-k} b^k + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} a^{n+1-k} b^k + b^{n+1} \] Nun ziehen wir die beiden Summen zu einer Summe zusammen: \[ = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left(\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right) a^{n+1-k} b^k + b^{n+1} \] Auf die Summe der beiden Binomialkoeffizienten können wir die Additionsformel anwenden: \[ = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k + b^{n+1} \] Der Term unter der Summe ergibt für $k=0$ den Wert $a^{n+1}$ und für $k=n+1$ den Wert $b^{n+1}$. Damit können wir die beiden Summanden $a^{n+1}$ und $b^{n+1}$ wieder in die Summe hineinziehen. \[ = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k \] Und damit ist der Binomische Lehrsatz bewiesen.
Geometrische Summen
Der Binomische Lehrsatz ist eine Verallgemeinerung der ersten und zweiten Binomischen Formel. Eine Verallgemeinerung der dritten Bonomischen Formel $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ liefert der nachfolgende Satz.
Satz
Für alle $a,b\in\R$ gilt \[ a^{n+1} - b^{n+1} = (a-b) \sum_{k=0}^n a^{n-k} b^k. \]Nutze jetzt, was Du beim Beweis des Binomischen Lehrsatzes gelernt hast, und beweisen als Übung diesen Satz! Fange mit der rechten Seite der Gleichung an. Du kannst die Aussage direkt mit Termumformungen beweisen, Du benötigst keine vollständige Induktion.
Übung
Beweise den letzten Satz!
Wir beginnen mit der rechten Seite der Gleichung. \[ (a-b) \sum_{k=0}^n a^{n-k} b^k \] Wir multiplizieren aus. \[ = a\sum_{k=0}^n a^{n-k} b^k - b\sum_{k=0}^n a^{n-k} b^k \] Jetzt klammern wir $a$ und $b$ ein. \[ = \sum_{k=0}^n a^{n+1-k} b^k - \sum_{k=0}^n a^{n-k} b^{k+1} \] Wir führen in der zweiten Summe eine Indexverschiebung durch. \[ = \sum_{k=0}^n a^{n+1-k} b^k - \sum_{k=1}^{n+1} a^{n+1-k} b^k \] Wir ziehen aus der ersten Summe den ersten Summanden ($k=0$) und aus der zweiten Summe den letzten Summanden ($k=n+1$) heraus, damit die Indexbereiche der beiden Summen identisch sind. \[ = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n a^{n+1-k} b^k - \sum_{k=1}^n a^{n+1-k} b^k - b^{n+1} \\ \] Jetzt heben sich die beiden Summen in der Mitte auf. \[ = a^{n+1} - b^{n+1} \] Damit ist der Satz bewiesen.
Eine wichtige Summenart in der Analysis ist die geometrische Summe.
Definition
Für $q\in\R$ und $n\in\N_0$ heißt eine Summe der Form \[ \sum_{k=0}^n q^k \] geometrische Summe.Mit $n=7$ und $q=13$ ist \[ 13^0 + 13^1 + 13^2 + \cdots + 13^7 \] ein Beispiel für eine geometrischen Summe.
Geometrische Summen und die davon abgeleiteten geometrischen Reihen werden uns ab Kapitel 3 des Kurses immer wieder begegnen. Daher wäre es schön, wenn wir solche Summen einfach auswerten könnten. Die Grundlage dafür liefert uns der vorige Satz. Wenn wir dort $a=1$ und $b=q$ setzen, erhalten wir als Spezialfall das folgende Korollar.
Korollar
Für $q\in\R$ und $n\in\N_0$ gilt \[ 1 - q^{n+1} = (1-q) \sum_{k=0}^n q^k. \]Aus diesem Korollar ergibt sich eine einfache Formel, mit der wir den Wert einer geometrischen Summe für $q\neq 1$ bestimmen können: \[ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}. \] Für $q > 1$ ist es einfacher, die rechte Formel zu verwenden. Mit ihr erhalten wir für das obige Beispiel ($q=13$ und $n=7$): \[ 13^0 + 13^1 + 13^2 + \cdots + 13^7 = \frac{13^8 - 1}{13 - 1} = \frac{815730721 - 1}{12} = 67977560. \] Für geometrische Summen mit $-1 < q < 1$ nutzt man üblicherweise die andere Formulierung \[ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}. \] Hierzu ein Beispiel: \[ \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \cdots + \frac{1}{2^8} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^9}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{512}}{\frac{1}{2}} = 2\cdot \frac{511}{512} = \frac{511}{256}. \]
Bernoullische Ungleichung
Im Gegensatz zur Algebra, in der überwiegend Gleichungen betrachtet und untersucht werden, spielen in der Analysis Ungleichungen eine ganz zentrale Rolle. Ohne die Anwendung von Ungleichungen können wir praktisch keine Analysis betreiben. Dabei benötigen wir Ungleichungen insbesondere für die Abschätzung von Termen nach oben oder unten. Mit der Bernoullischen Ungleichung können wir eine Potenzfunktion nach unten durch eine lineare Funktion abschätzen.
Satz (Bernoullische Ungleichung)
Für jedes $x\in\R$ mit $x \geq -1$ und jedes $n\in\N_0$ gilt \[ (1+x)^n \geq 1 + nx. \]Der nachfolgende Python-Code erzeugt eine Grafik, die uns die Bernoullische Ungleichung für $n=2$ veranschaulicht.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
n = 2
left = -1
right = 4
x = np.linspace(left, right, 100)
y = (1 + x) ** n
plt.plot(x,y, label=f"$(1+x)^{n}$")
plt.plot([left, right],[1+n*left, 1+n*right], label=f"$1+{n}x$")
plt.title(f"Bernoullische Ungleichung für $n={n}$")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
Der blaue Graph für die Funktion $(1+x)^2$ liegt stets oberhalb des orangen Graphen für $1+2x$. Für diesen speziellen Fall ($n=2$) gilt dies sogar auf ganz $\R$, für ein beliebiges $n$ können wir dies aber nur für $x \geq -1$ garantieren.
Mit obigem Python-Code kansst Du auch für andere Werte von $n$ eine entsprechende Grafik erzeugen, indem Du der Variablen n einfach einen anderen Wert zuweist.
Beweis
Wie beweisen die Bernoullische Ungleichung mittels vollständiger Induktion.
$n=0$: Es gilt \[ (1+x)^0 = 1 = 1 + 0 \cdot x. \] Also ist die Aussage für $n=0$ wahr.
$n \rightarrow n+1$: Wir starten mit der Induktionsvoraussetzung \[ (1+x)^n \geq 1 + nx. \] Jetzt multiplizieren wir diese Ungleichung mit $1+x$. An dieser Stelle benötigen wir auch die Voraussetzung $x \geq -1$, denn nur für solche $x$ gilt $1+x \geq 0$. Dies wiederum muss erfüllt sein, damit auch nach der Multiplikation weiterhin "$\geq$" gilt. \[ \Rightarrow (1+x)^{n+1} \geq (1+nx)(1+x) \] Jetzt multiplizieren wir die rechte Seite aus und führen zum Schluss eine einfache Abschätzung durch. \begin{eqnarray*} \Rightarrow (1+x)^{n+1} & \geq & (1+nx)(1+x) \\ & = & 1 + nx + x + nx^2 \\ & = & 1 + (n+1)x + nx^2 \\ & \geq & 1 + (n+1)x \end{eqnarray*} Für die letzte Ungleichung haben wir dabei ausgenutzt, dass stets $nx^2 \geq 0$ gilt.
Damit ist die Bernoullische Ungleichung bewiesen.
Hier ein ganz simples Beispiel zur Anwendung der Bernoullischen Ungleichung.
Beispiel
Angenommen, Du möchtest prüfen, ob die Ungleichung \[ (4 + 2)^4 \geq 1 + 3\cdot 5 \] erfüllt ist. Natürlich kannst Du jetzt beide Seiten ausrechnen und die Werte vergleichen, aber mit der Bernoullischen Ungleichung musst Du die Terme gar nicht explizit ausrechnen, denn es gilt \[ (4 + 2)^4 = (1+5)^4 \geq 1 + 4\cdot 5 \geq 1 + 3\cdot 5. \] Also ist die Ungleichung erfüllt. Dabei haben wir für das erste "$\geq$" die Bernoullische Ungleichung genutzt.Natürlich steckt in der Bernoullischen Ungleichung noch viel mehr Potential, als eine simple Ungleichung zu überprüfen wie im letzten Beispiel. Das hier verlinkte Dokument zeigt Dir beispielsweise, dass die Ungleichung \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \] für alle $n\in \N$ erfüllt ist, wobei der Nachweis auf der Bernoullischen Ungleichung fußt.
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