Aus der Linearen Algebra kennst Du den Begriff der Norm. Solch eine Norm ordnet den Vektoren eines Vektorraums eine nichtnegative Länge zu. Der analoge Begriff in Körpern ist der des Betrags. Durch eine Betragsfunktion wird jedem Körperelement eine nichtnegative Größe zugeordnet. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, wie man in einem angeordneten Körper solch eine Betragsfunktion definieren kann und welche wichtige Rechenregeln sich daraus ergeben.
Betrag
Im Körper der rellen Zahlen definieren wir eine Betragsfunktion wie folgt.
Definition
Für alle $a\in\R$ sei \[ |a| := \left\{ \begin{array}{rl} a & \text{falls } a \geq 0, \\ -a & \text{falls } a < 0. \end{array} \right. \] Wir nennen $|a|$ den Betrag von $a$.Mit diesem neuen Begriff sind wir natürlich wieder an zugehörigen Rechenregeln interessiert. Der folgende Satz zeigt uns die wichtigsten Rechenregeln für Beträge.
Satz
Für alle $a,b \in \R$ gilt:
Definitheit: $|a| \geq 0$ und $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
Homogenität: $|a\cdot b| = |a|\cdot |b|$
Dreiecksungleichung: $|a+b| \leq |a| + |b|$
Beweis
Die Definitheit zeigen wir einfach mit einer Fallunterscheidung. Wir wissen, dass für alle $a\in\R$ genau einer der drei Fälle gilt: $a > 0$, $a=0$ oder $a < 0$.
In den ersten beiden Fällen gilt nach Definition $|a| = a$ und somit auch $|a| \geq 0.$
Aus $a < 0$ folgt einerseits $-a > 0$ und andererseits $|a| = -a$. Also gilt auch für diesen Fall $|a| \geq 0$.
Weiterhin gilt in Körpern \[ a \neq 0 \quad \Longrightarrow -a \neq 0. \] Somit kann $|a| = 0$ nur für $a = 0$ gelten.
Auch die Homogenität lässt sich mit einer Fallunterscheidung leicht zeigen.
Es gelte $a\geq 0$ und $b\geq 0$.
Dann gilt einerseits $a = |a|$ und $b = |b|$ und andererseits $ab \geq 0$ und damit $|ab| = ab$. Damit folgt \[ |ab| = ab = |a||b|. \]
Es gelte $a\geq 0$ und $b < 0$.
Dann gilt einerseits $a = |a|$ und $-b = |b|$ und andererseits $ab \leq 0$ und damit $|ab| = -ab$. Damit folgt \[ |ab| = -ab = a(-b) = |a||b|. \]
Es gelte $a < 0$ und $b \geq 0$.
Analog zu 2. mit vertauschten Rollen von $a$ und $b$.
Es gelte $a < 0$ und $b < 0$.
Dann gilt einerseits $-a = |a|$ und $-b = |b|$ und andererseits $ab \geq 0$ und damit $|ab| = ab$. Damit folgt \[ |ab| = ab = (-a)(-b) = |a||b|. \]
-
Offensichtlich gilt
$|a| \geq a$ und $|a| \geq -a$
$|a| = |-a|$.
Normierter Körper
Solch ein Betrag lässt sich nicht nur für den Körper der rellen Zahlen definieren. Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung sind dabei aber genau die Eigenschaften, die wir von einer Funktion, die die Größe eines Körperelements messen soll, erwarten. Ein Körper, auf dem sich solch eine Betragsfunktion definieren lässt, ist ein sogenannter normierter Körper. Hier folgt die exakte Definition.
Definition
Ein Körper $\cal K$, auf dem eine Abbildung \[ \begin{array}{ccccc} |\cdot| & : & \K & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & |x| \end{array} \] definiert ist, so dass für alle $a,b\in \cal K$ die folgenden Eigenschaften erfüllt sind, heißt normierter Körper.
Definitheit: $|a| \geq 0$ und $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
Homogenität: $|a\cdot b| = |a|\cdot |b|$
Dreiecksungleichung: $|a+b| \leq |a| + |b|$
Der angeordnete Körper der reellen Zahlen ist somit auch ein normierter Körper. Die Umkehrung, dass ein normierter Körper auch immer eine Anordnung hat, gilt aber nicht. Es gibt normierte Körper, deren Elemente sich nicht anordnen lassen. Ein Beispiel hierfür ist der Körper $\C$ der komplexen Zahlen, den wir in Kürze kennenlernen werden. Auf dem Körper der komplexen Zahlen können wir zwar eine Betragfunktion definieren, die alle drei geforderten Eigenschaften erfüllt, es ist aber unmöglich, die Elemente dieses Körpers anzuordnen. Der Körper der komplexen Zahlen ist damit ein Beispiel für einen normierten aber nicht angeordneten Körper. Doch dazu später mehr.
Umgekehrte Dreiecksungleichung
Abschließend lernen wir weitere wichtige Varianten der Dreiecksungleichung kennen.
Satz (Umgekehrte Dreiecksungleichung)
Für alle $a,b\in\R$ gilt \[ | |a| - |b| | \leq |a\pm b| \leq |a| + |b|. \]Beweis
Schauen wir uns zunächst die rechte Ungleichung des Satzes an.
$|a+b| \leq |a| + |b|$ ist die Dreiecksungleichung und somit erfüllt.
Wegen $|-b| = |b|$ ergibt sich \[ |a-b| = |a + (-b)| \leq |a| + |-b| = |a| + |b| \] womit auch diese Form der Dreiecksungleichung erfüllt ist.
Nun beweisen wir die linke Ungleichung. Für beliebige $x,y\in\R$ folgt aus der Dreiecksungleichung $|x+y| \leq |x| + |y|$ die Ungleichung \[ |x+y| - |y| \leq |x|. \quad (1) \] Wir setzen $x=a+b$ und $y=-b$ in die Ungleichung $(1)$ ein: \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & |a+b-b| - |-b| \leq |a+b| \\ & \Rightarrow & |a| - |b| \leq |a+b|. \quad\quad (2) \end{eqnarray*} Wir setzen $x=a+b$ und $y=-a$ in die Ungleichung $(1)$ ein: \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & |a+b-a| - |-a| \leq |a+b| \\ & \Rightarrow & |b| - |a| \leq |a+b|. \quad\quad (3) \end{eqnarray*} Aus den Ungleichungen (2) und (3) folgt \[ ||a| - |b|| \leq |a+b| \] also die linke Ungleichung mit "$+$".
Jetzt setzen wir $x=a-b$ und $y=b$ in die Ungleichung (1) ein: \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & |a-b+b| - |b| \leq |a-b| \\ & \Rightarrow & |a| - |b| \leq |a-b|. \quad\quad (4) \end{eqnarray*} Wir setzen $x=a-b$ und $y=-a$ in die Ungleichung $(1)$ ein: \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & |a-b-a| - |-a| \leq |a-b| \\ & \Rightarrow & |b| - |a| \leq |a-b|. \quad\quad (5) \end{eqnarray*} Aus den Ungleichungen (4) und (5) folgt \[ ||a| - |b|| \leq |a-b| \] also die linke Ungleichung mit "$-$".
Damit sind alle Ungleichungen des Satzes beweisen.
Auch hier haben wir wieder nur Betrags- und Körperregeln genutzt, so dass die Aussagen der umgekehrten Dreiecksungleichung tatsächlich in jedem normierten Körper gelten und nicht nur in $\R$.
Betragsungleichungen
In einer Ungleichung kann selbst wieder ein Betrag auftauchen. Tatsächlich basieren viele wichtige Definitionen der Analysis, z. B. die des Grenzwerts, auf solchen Betragsungleichungen. Daher ist es unerlässlich, dass wir mit solchen Betragsungleichungen umgehen können, also beispielsweise in der Lage sind, die Lösungsmenge solch einer Betragsungleichung zu bestimmen. Die Lösungsmenge einer Betragsungleichung ist die Menge alle Variablenwerte, die die Ungleichung erfüllen.
Beispiel
Wir wollen als Beispiel die Betragsungleichung \[ |3x + 2| \leq 5 \] lösen. Wie können wir die Lösungsmenge dieser Ungleichung systematisch bestimmen, also ermitteln, für welche $x\in\R$ die Ungleichung erfüllt ist?
Im Prinzip ganz einfach: Indem wir die Fallunterscheidung, die wir bei der Betragsdefinition vorgenommen haben, auch für die Lösung der Ungleichung anwenden. Das heißt, wir unterscheiden die beiden Fälle $3x+2 \geq 0$ und $3x+2 < 0$, denn je nach dem welcher Fall vorliegt, ist $|3x+2|$ anders definiert.
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Es gelte $3x + 2 \geq 0$.
Zunächst ergibt sich damit: \[ 3x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow 3x \geq -2 \Leftrightarrow x \geq -\frac{2}{3}. \] Jetzt lösen wir die Betragsungleichung für diesen Fall. Wir erhalten: \begin{eqnarray*} |3x+2| \leq 5 & \Leftrightarrow & 3x+2 \leq 5 \\ & \Leftrightarrow & 3x \leq 3 \\ & \Leftrightarrow & x \leq 1. \end{eqnarray*} Damit ergibt sich als Lösungsmenge ${\cal L}_1$ für diesen Fall: \[ {\cal L}_1 = \{ x\in \R | -\frac{2}{3} \leq x \leq 1 \}. \] Beachte, dass wir bei der ersten Äquivalenz unsere Voraussetzung für diesen Fall, $3x + 2 \geq 0$, ausgenutzt haben. Dadurch verschwand der Betrag und wir konnten die Ungleichung anschließend einfach auflösen. Außerdem müssen wir beim Aufstellen der Lösungsmenge immer die Restriktionen berücksichtigen, die sich durch den Fall ergeben. Beim Auflösen der Ungleichung erhalten wir zwar $x\leq 1$, aber unsere Betrachtungen in diesem Fall sind ja so nur für $x \geq -\frac{2}{3}$ gültig.
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Es gelte $3x + 2 < 0$.
Damit ergibt sich: \[ 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{2}{3}. \] Daraus folgt wiederum: \begin{eqnarray*} |3x+2| \leq 5 & \Leftrightarrow & -(3x+2) \leq 5 \\ & \Leftrightarrow & -3x -2 \leq 5 \\ & \Leftrightarrow & -3x \leq 7 \\ & \Leftrightarrow & x \geq -\frac{7}{3}. \end{eqnarray*} Somit erhalten wir als Lösungsmenge ${\cal L}_2$ für diesen Fall: \[ {\cal L}_2 = \{ x\in\R | -\frac{7}{3} \leq x < -\frac{2}{3} \}. \]
Als gesamte Lösungsmenge $\cal L$ für diese Ungleichung erhalten wir nun: \[ {\cal L} = {\cal L}_1 \cup {\cal L}_2 = \{x\in\R | -\frac{7}{3} \leq x \leq 1\}. \] Damit ist die Betragsungleichung gelöst.
Innerhalb der Analysis werden uns immer wieder Betragsungleichungen der Form \[ |x - a| < \epsilon \] begegnen, für ein festes $a\in\R$ und $\epsilon > 0$. Da bietet es sich doch an, diese Betragsungleichung ein für allemal zu lösen.
Satz
Es sei $a\in\R$ und $\epsilon > 0$. Dann hat die Betragsungleich \[ |x - a| < \epsilon \] als Lösungsmenge \[ {\cal L} = \{ x \in\R | a-\epsilon < x < a + \epsilon \}. \]Beweis
Wie im Beispiel zur Betragsungleichung $|3x+2| \leq 5$ machen wir eine Fallunterscheidung.
$x \leq a$
Damit folgt $a-x \geq 0$ und somit \[ |a-x| < \epsilon \Leftrightarrow a-x < \epsilon \Leftrightarrow a-\epsilon < x. \] Also: \[ {\cal L}_1 = \{x\in\R | a-\epsilon < x \leq a \} \]
$x > a$
Damit folgt $a-x < 0$ und somit \[ |a-x| < \epsilon \Leftrightarrow x-a < \epsilon \Leftrightarrow x < a + \epsilon. \] Also: \[ {\cal L}_2 = \{x\in\R | a < x < a + \epsilon \} \]
Aus (i) und (ii) ergibt sich die Behauptung.
Die Menge \[ \{ x \in\R | a-\epsilon < x < a + \epsilon \} \] wird in der Analysis auch als $\epsilon$-Umgebung von $a$ bezeichnet. Anschaulich betrachtet besteht sie aus allen reellen Zahlen $x$, die auf dem Zahlenstrahl von $a$ einen Abstand haben, der kleiner als $\epsilon$ ist.
Die nächste Blog-Folge ist wieder eine, mit der Du das Gelernte weiter vertiefen kannst. Sie bietet Übungsaufgaben zu den Thema Fakultät, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz, Bernoullische Ungleichung und Betrag.
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