Wir haben zwei Reihen die wir miteinander multiplizieren wollen. Das Produkt dieser Reihen soll dabei wieder als Reihe dargestellt werden. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir, wie diese Reihendarstellung aussieht.
Ansatz zur Multiplikation von Reihen
Wir haben zwei Reihen $\sum_{n=1}^\infty a_n$ und $\sum_{n=1}^\infty b_n$ und wollen diese miteinander multiplizieren, also \[ \left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right) \left(\sum_{m=1}^\infty b_m\right) =: \sum_{k=1}^\infty c_k \] bilden. Das Produkt wollen wir wieder als Reihe darstellen, mit den $c_k$ als Summanden. Wie sehen diese $c_k$ aus?
Es ist offensichtlich, dass wir für die Bildung des Produktes jedes $a_n$ mit jedem $b_m$ multiplizieren und über alle diese Kombinationen aufsummieren müssen. Dies legt zunächst nahe, das Produkt der beiden Reihen in der Form \[ \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty a_n b_m \] darzustellen. Hierbei besteht allerdings das Problem, dass die einzelnen Summanden der äußeren Reihe selbst wieder Reihen sind. Für jedes $a_n$ bildet $\sum_{m=1} a_n b_m = a_n\sum_{m=1}^\infty b_m$ selber wieder eine Reihe. Wir haben also unendliche Reihen als Summanden innerhalb einer Reihe. Dies wollen wir aber nicht. Wir möchten stattdessen die einzelnen Summanden $c_k$ ohne Grenzwertbildung angeben können.
Um die Idee zur Bildung des Cauchy-Produktes anschaulich darzustellen, betrachten wir die folgende Tabelle. \[ \begin{array}{c|ccccc} & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & \cdots \\ \hline a_1 & a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 &a_1b_4 & \cdots \\ a_2 & a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 &a_2b_4 & \cdots \\ a_3 & a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 &a_3b_4 & \cdots \\ a_4 & a_4b_1 & a_4b_2 & a_4b_3 &a_4b_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{array} \] Oben ist die Folge $(b_m)$ angegeben, an der linken Seite die Folge $(a_n)$. In der $n$-ten-Zeile und $m$-ten Spalte steht das Produkt $a_nb_m$.
Unser gewünschtes Produkt entspricht der Summation über alle $a_nb_m$ der Tabelle. Der Ansatz mit der Darstellung $\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty a_n b_m$ entspricht damit einer Summenbildung, die zeilenweise erfolgt. Die innere Reihe $\sum_{m=1}^\infty a_n b_m$ ist die Summe der $n$-ten Zeile. Wir könnten natürlich auch spaltenweise aufsummieren, was zu der Darstellung $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty a_n b_m$ führt, uns aber auch nicht weiterbringt. Wir benötigen eine andere Art der Aufsummierung.
Die wesentliche Idee besteht nun darin, dass wir entlang Diagonalen von rechts oben nach links unten summieren. Die erste Diagonale besteht dabei nur aus $a_1b_1$, die zweite aus $a_1b_2 + a_2b_1$, die dritte aus $a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1$, die vierte aus $a_1b_4 + a_2b_3 + a_3b_2 + a_4b_1$ usw. Jede Diagonale hat dabei eine endliche Länge, ist also nur eine Summe aber keine Reihe. In der $k$-ten Diagonale werden genau die $a_i b_j$ aufsummiert, für die $i+j=k+1$ gilt. Damit ergeben sich für die $k$-te Diagonale die Indexkombinationen $(1,k),(2,k-1),\ldots,(k,1)$. Damit können wir die gesuchten Summanden $c_k$ der Produktdarstellung in der Form \[ c_k = \sum_{j=1}^k a_j b_{k-j+1} \] schreiben. Die Produktdarstellung erhalten wir, indem wir über alle Diagonalen summieren. Damit erhalten wir \[ \sum_{k=1}^\infty \left(\sum_{j=1}^k a_j b_{k-j+1}\right) \] für die Produktdarstellung. Diese hat jetzt die gewünschte Form, bestehend aus einer Reihe mit den Summanden $c_k$. Diese Produktdarstellung ist das sogenannte Cauchy-Produkt.
Definition (Cauchy-Produkt)
Es seien $(a_n)$ und $(b_n)$ reelle oder komplexe Folgen. Dann heißt die Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty \left(\sum_{j=1}^k a_j b_{k-j+1}\right) \] das Cauchy-Produkt der Reihen $\sum_{n=1}^\infty a_n$ und $\sum_{n=1}^\infty b_n$.
Die genaue Form des Cauchy-Produkts ist natürlich vom Indexbereich der beiden Reihen bzw. Folgen abhängig. Häufig betrachten wir Reihen die mit $n=0$ beginnen. Dann lautet das Cauchy-Produkt der Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{m=0}^\infty b_m$ \[ \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^k a_j b_{k-j}\right). \] Hier starten wir also mit einer $0$-ten Diagonalen und in der $k$-ten Diagonalen sind die Indexkombinationen $(0,k),(1,k-1),\ldots,(k,0)$.
Übung
Wie lautet das Cauchy-Produkt der Reihen $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ und $\displaystyle \sum_{m=0}^\infty b_m$?
Eine mögliche Formulierung ist \[ \sum_{k=1}^\infty \left( \sum_{j=1}^k a_j b_{k-j} \right). \] Wir starten mit $k=1$ als Diagonale und in der $k$-ten Diagonale sind dann die Indexkombinationen $(1,k-1),(2,k-2),\ldots,(k,0)$. Durch Indexverschiebung kann man weitere äquivalent Formulierungen bilden.
Cauchy-Produkt und das Produkt von Reihen
Das Cauchy-Produkt ist zunächst nur ein formaler Ausdruck: Wir bilden aus zwei Reihen nach einer formalen Forschrift eine neue Reihe. Wir können im Allgemeinen nicht davon ausgehen, dass aus der Konvergenz der Reihen $\sum_{n=1}^\infty a_n$ und $\sum_{m=1}^\infty b_m$ auch die Konvergenz des Cauchy-Produktes, also der Reihe $\sum_{k=1}^\infty \left(\sum_{j=1}^k a_j b_{k-j+1}\right)$, folgt. Und selbst wenn das Cauchy-Produkt konvergent ist, muss nicht unbedingt \[ \left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right) \left(\sum_{m=1}^\infty b_m\right) = \sum_{k=1}^\infty \left(\sum_{j=1}^k a_j b_{k-j+1}\right) \] gelten, also die Identität der Grenzwerte. Allerdings können wir diese Identität garantieren, wenn absolute Konvergenz vorliegt. Dies ist eine wichtige Eigenschaft.
Satz
Wenn die Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ absolut konvergent sind, dann ist auch deren Cauchy-Produkt absolut konvergent und es gilt \[ \left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right) \left(\sum_{m=1}^\infty b_n\right) = \sum_{k=1}^\infty \left(\sum_{j=1}^k a_j b_{k-j+1}\right). \]
Beispiel
Wir betrachten die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^n. \] Mit dem Quotientenkriterium können wir leicht nachweisen, dass sie absolut konvergent ist: \[ \left| \frac{(n+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{(n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^n} \right| = \frac{n+2}{n+1}\cdot \frac{1}{2} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2} < 1. \] Aber wie lautet der Grenzwert der Reihe? Hier hilft das Cauchy-Produkt. Obiger Satz erlaubt uns die folgende Rechnung, in der wir das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe $\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n=2$ mit sich selbst bilden: \begin{eqnarray*} 4 & = & 2\cdot 2 \\ & = & \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \left(\sum_{m=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^m\right) \\ & = & \sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{j=0}^k \left(\frac{1}{2}\right)^j \left(\frac{1}{2}\right)^{k-j}\right) \\ & = & \sum_{k=0}^\infty \left( \sum_{j=0}^k \left(\frac{1}{2}\right)^k \right) \\ & = & \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\sum_{j=0}^k 1\right) \\ & = & \sum_{k=0}^\infty (k+1) \left(\frac{1}{2}\right)^k. \end{eqnarray*} Zur Erläuterung: In der dritten Zeilen bilden wir das Cauchy-Produkt. Die Anwendung des Potenzgesetzes $a^r a^s = a^{r+s}$ liefert die vierte Zeile. Der Term $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ ist unabhängig von $j$ und kann deshalb aus der inneren Summe ausgeklammert werden. Deshalb bleiben in der inneren Summe nur noch $k+1$ Einsen als Summanden, was die Formel liefert.
Damit haben wir den Grenzwert für die Reihe ermittelt: \[ \sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^n = 4. \]
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