In den folgenden Übungen sollen Sie die Konvergenz von Reihen untersuchen oder Grenzwerte ermitteln.
Übung 1
Ermitteln Sie die Grenzwerte der folgenden konvergenten Reihen.
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$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{2^{3n}}{3^{2n}}$
Hinweis: Die Reihe beginnt erst bei $n=2$.
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$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2 - 1}$
Hinweis: 3. binomische Formel, Teleskopsumme
- \begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{2^{3n}}{3^{2n}} & = & \sum_{n=2}^\infty \frac{(2^3)^n}{(3^2)^n} \\ & = & \sum_{n=2}^\infty \left(\frac{8}{9}\right)^n \\ & = & -1 -\frac{8}{9} + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{8}{9}\right)^n \\ & = & -1 - \frac{8}{9} + \frac{1}{1-\frac{8}{9}} \\ & = & -1 - \frac{8}{9} + 9 = 7 + \frac{1}{9} \end{eqnarray*}
- \[ \frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2(n+1)-1}\right) \] Die Partialsummen $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2-1}$ sind also Teleskopsummen. Es gilt \[ S_n = \frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) \] und damit \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1} = \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2}. \]
Übung 2
Sind die folgenden Reihen konvergent oder divergent? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort formal durch die Anwendung eines Kriteriums für Konvergenz oder Divergenz (inklusive eventuell notwendiger Abschätzungen).
- $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2015}{n^{\frac{1}{2}}}$
- $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{p_n}{n^2+1}$ mit $p_n = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \textnormal{falls } n \textnormal{ Primzahl}\\ -1 & \textnormal{sonst} \end{array} \right.$.
- $\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{n^2+1}$
- $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{n^3}{3^n}$
- $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1+5n+3n^2}{(2n+2)^2}\right)^{2n}$
- \[ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2015}{n^{\frac{1}{2}}} = 2015 \cdot \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \] Da $\frac{1}{\sqrt{n}}$ eine monoton fallende Nullfolge ist, ist die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergent.
- Es gilt \[ \left|\frac{p_n}{n^2+1}\right| \leq \frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2} \textnormal{ für alle } n\in\mathbb{N}. \] Da die Reihe $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ absolut konvergent ist, folgt mit dem Majorantenkriterium, dass auch $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{p_n}{n^2}$ absolut konvergent und damit auch konvergent ist.
- Es gilt \[ \frac{n}{n^2+1} \geq \frac{n}{n^2+n} = \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1} \geq 0. \] Die Reihe $\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n+1} = -1 -\frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ ist divergent (bis auf eine Konstante gleich mit der Harmonischen Reihe). Also ist nach dem Minorantenkriterium auch die Reihe $\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{n^2+1}$ divergent.
- Mit dem Quotientenkriterium ergibt sich \[ \left|\frac{ \frac{(n+1)^3}{3^{n+1}} }{ \frac{n^3}{3^n} }\right| = \frac{(n+1)^3}{n^3} \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\cdot\underbrace{\frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}{n^3}}_{\rightarrow 1} \longrightarrow \frac{1}{3} < 1. \] Also ist die Reihe konvergent.
Übung 3
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.
- Wenn die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergent ist und $(b_n)$ eine Folge ist, mit $b_n\in\{0,1\}$ für alle $n\in\mathbb{N}$, dann ist auch die Reihe $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n a_n$ konvergent.
- Wenn die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent ist und $(b_n)$ eine konvergente Folge ist, dann ist auch die Reihe $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n a_n$ absolut konvergent.
- Wenn die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent ist, dann ist auch die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{2n}$ absolut konvergent.
- Die Aussage ist falsch. Sei $\displaystyle a_n = (-1)^n\frac{1}{n}$ und \[ b_n = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textnormal{falls } n \textnormal{ gerade} \\ 0 & \textnormal{falls } n \textnormal{ ungerade} \end{array} \right. \] Dann ist die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergent (alternierende Harmonische Reihe). Aber die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty b_n a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \] ist divergent.
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Die Aussage ist wahr. Wenn $(b_n)$ eine konvergente Folge ist, dann ist $(b_n)$ auch beschränkt.
In Teil (b) dieser Übung haben wir gezeigt, dass, wenn $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent und $(b_n)$ beschränkt ist, die Reihe $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n a_n$ absolut konvergent ist.
- Die Aussage ist wahr. \[ \sum_{n=1}^\infty |a_n| = \sum_{n=1}^\infty (|a_{2n-1}|+|a_{2n}|) \] Sei $b_n:=|a_{2n-1}|+|a_{2n}|$. Dann gilt $|a_{2n}|\leq |b_n|$ für alle $n\in\mathbb{N}$ und $\sum_{n=1}^\infty b_n$ ist absolut konvergent. Also ist nach dem Majorantenkriterium auch $\sum_{n=1}^\infty a_{2n}$ absolut konvergent.
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