Bei Cauchy-Folgen liegen die einzelnen Folgenglieder ab einem Index $n_0$ beliebig nahe beieinander. Wir werden sehen, dass dies äquivalent zur Konvergenz einer Folge ist, woraus ein weiteres Konvergenzkriterium entsteht.
Cauchy-Folgen
Wir starten gleich mit der Definition einer Cauchy-Folge.
Definition
Eine reelle Folge $(a_n)$ heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: \[ \forall \epsilon > 0\,\exists n_0\in\N\,\forall m,n\geq n_0 : |a_n - a_m| < \epsilon. \]Die Definition sieht sehr ähnlich zur Grenzwertdefinition für Folgen aus. Im Gegensatz zu dieser taucht der Grenzwert in der Bedingung für eine Cauchy-Folge aber nicht auf. Während bei der Grenzwertdefinition der Abstand $|a_n-a|$ zwischen Folgenglied und Grenzwert beliebig klein werden muss, wird für Cauchy-Folgen verlangt, dass der Abstand $|a_n - a_m|$ zwischen den Folgengliedern beliebig klein wird.
Wir werden im Verlauf dieser Blog-Folge zeigen, dass eine reelle Folge genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn sie konvergent ist. Damit haben wir ein äquivalentes Kriterium für die Konvergenz. Da in der Definition einer Cauchy-Folge aber kein Grenzwert auftritt, haben wir damit ein weiteres Konvergenzkriterium ohne Grenzwert.
Der Beweis für die Äquivalenz von konvergenter Folge und Cauchy-Folge ist recht umfangreich. Insbesondere der Nachwies, dass eine Cauchy-Folge immer konvergent ist, ist nicht leicht, da wir zeigen müssen, dass die Grenzwertbedingung erfüllt ist, wir für eine Cauchy-Folge aus der Definition heraus aber erstmal keinen Grenzwert kennen. Hier hilft uns der Satz von Bolzano-Weierstraß. Über den Umweg einer konvergenten Teilfolge können wir mit diesem Satz einen Grenzwert konstruieren. Was wir dafür aber benötigen, ist die Beschränktheit einer Cauchy-Folge.
Lemma
Jede reelle Cauchy-Folge ist beschränkt.Wir hatten ja schon gezeigt, dass jede konvergente Folge beschränkt ist. Der Beweis für die Beschränktheit einer Cauchy-Folge ist sehr ähnlich dazu.
Beweis
Nach Voraussetzung existiert ein $n_0\in\N$, so dass für alle $n,m \geq n_0$ gilt: \[ |a_n - a_m| < 1. \] Wir nutzen also die definitorische Eigenschaft einer Cauchy-Folge mit $\epsilon = 1$.
Damit erhalten wir für alle $n\geq n_0$ die Abschätzung \begin{eqnarray*} |a_n| & = & |a_n - a_{n_0} + a_{n_0}| \\ & \leq & |a_n - a_{n_0}| + |a_{n_0}| \\ & < & 1 + |a_{n_0}|. \end{eqnarray*} Damit gilt schon mal $a_n \leq 1 + |a_{n_0}|$ für alle $n\geq n_0$. Jetzt müssen wir uns nir noch um die restlichen Folgenglieder mit einem Index $1 \leq n \leq n_0-1$ kümmern.
Hierfür definieren wir \[ K:=\max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{n_0-1}|,1+|a_{n_0}|\}. \] Damit gilt \[ |a_n| \leq K \] für alle $n\in\N$.
Jetzt kommt der entscheidende Satz dieser Blog-Folge.
Satz
Eine reelle Folge $(a_n)$ ist genau dann konvergent, wenn $(a_n)$ eine Cauchy-Folge ist.Der Satz formuliert eine Äquivalenzaussage, so dass wir zwei Richtungen beweisen müssen. Wir fangen mit der Richtung an, die deutlich einfacher nachzuweisen ist. Da die Folge konvergent ist, müssen ab einer Stelle $n_0$ alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung des Grenzwerts liegen. Damit können zwei Folgenglieder dann höchstens noch den Abstand $2\epsilon$ haben, was uns schon ausreicht.
Beweis: konvergent $\Rightarrow$ Cauchy-Folge
Sei $(a_n)$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $a$, d. h. \[ \forall \epsilon_1 \exists n_1\in\N \forall n\geq n_1: |a_n - a| < \epsilon_1. \]
Wir müssen nachweisen, dass die Aussage aus der Definition für eine Cauchy-Folge gilt. Hierfür sei $\epsilon > 0$ beliebig. Wir definieren $\epsilon_1 := \frac{\epsilon}{2}$. Weiterhin sei $n_0 := n_1$, also der Index, der nach Voraussetzung für $\epsilon_1$ existiert.
Mit diesen Definitionen gilt dann für alle $n,m \geq n_0$: \begin{eqnarray*} |a_n - a_m| & = & |a_n -a + a - a_m|\\ & \leq & |a_n - a| + |a - a_m|\\ & < & \epsilon_1 + \epsilon_1 \\ & = & \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \\ & = & \epsilon. \end{eqnarray*} Also ist $(a_n)$ eine Cauchy-Folge.
Nun der Beweis für die andere Richtung.
Beweis: Cauchy-Folge $\Rightarrow$ konvergent
Es sei $(a_n)$ eine reelle Cauchy-Folge.
Nach obigem Lemma ist $(a_n)$ beschränkt.
Mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, dass $(a_n)$ eine konvergente Teilfolge $(a_{n_k})$ hat. Es sei $a$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Wir zeigen jetzt, dass $a$ auch der Grenzwert von $(a_n)$ ist.
Sei $\epsilon> 0$ beliebig. Da $(a_{n_k})$ gegen $a$ konvergiert, existiert ein $n_1\in\N$ mit $|a_{n_k} - a| < \epsilon$ für alle $n_k \geq n_1$.
Aus der Cauchy-Eigenschaft von $(a_n)$ folgt, dass ein $n_2\in\N$ existiert, so dass für alle $n,m\geq n_2$ gilt: $|a_n-a_m|<\epsilon$.
Es sei nun $n_0 := \max\{n_1,n_2\}$. Weiterhin wählen wir einen beliebigen Teilfolgenindex $n_k$ mit $n_k \geq n_0$. Damit gilt dann für alle $n \geq n_0$: \begin{eqnarray*} |a_n-a| & = & |a_n-a_{n_k}+a_{n_k}-a| \\ & \leq & |a_n-a_{n_k}| + |a_{n_k}-a| \\ & < & 2\epsilon. \end{eqnarray*} Die zweite Zeile folgt mit der Dreiecksungleichung, die dritte Zeile mit der Cauchy-Eigenschaft (linker Summand) und der Konvergenz der Teilfolge gegen $a$ (rechter Summand).
Damit ist der Nachweis der Konvergenz erbracht.
Beispiel
Wir betrachten die Folge $(a_n)$ mit $a_n = \frac{1}{n}$. Ich zeige, wie wir mit dem Cauchy-Kriterium nachweisen können, dass diese Folge konvergent ist, ohne den Grenzwert zu nutzen.
Es sei $\epsilon > 0$ beliebig. Wir untersuchen $|a_n - a_m|$. O. B. d. A. gelte dabei $m \geq n$: \begin{eqnarray*} |a_n - a_m| & = & \left|\frac{1}{n} - \frac{1}{m}\right| \\ & \leq & \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \\ & \leq & \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \\ & = & \frac{2}{n} \end{eqnarray*} Wir wählen \[ n_0 > \frac{2}{\epsilon}. \] Dann gilt für alle $n,m \geq n_0$ mit $m \geq n$: \[ |a_n - a_m| \leq \frac{2}{n} \leq \frac{2}{n_0} < \epsilon. \] Also ist $(a_n)$ eine Cauchy-Folge und somit konvergent.
Da die Begriffe Cauchy-Folge und konvergente Folge in den reellen Zahlen äquivalent sind, können wir das Cauchy-Kriterium auch dazu nutzen, die Divergenz einer Folge nachzuweisen. Hierfür benötigen wir die Negation des Cauchy-Kriteriums. Sie lautet: \[ \exists \epsilon > 0 \forall n_0 \in \N \exists n,m \geq n_0: |a_n - a_m| \geq \epsilon \] Eine Folge ist also genau dann divergent, wenn diese Aussage erfüllt ist.
Beispiel
Wir betrachten die Folge $(a_n)$ mit $a_n = (-1)^n$.
Wir wählen $\epsilon = 1$. Es sei nun $n_0\in\N$ beliebig. Dann wählen wir $n = n_0$ und $m = n_0+1$. Damit gilt: \begin{eqnarray*} |a_n - a_m| & = & |(-1)^{n_0} - (-1)^{n_0+1}| \\ & = & |(-1)^{n_0}(1 - (-1)| \\ & = & |2\,(-1)^{n_0}| \\ & = & |2|\,|(-1)^{n_0}| \\ & = & 2 \geq \epsilon. \end{eqnarray*} Also ist die Folge $(a_n)$ keine Cauchy-Folge und somit divergent.
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