Bisher haben wir ausschließlich reelle Folgen behandelt. Aber natürlich können wir auch Folgen mit komplexen Zahlen als Folgenglieder definieren, ebenso Folgen, deren Folgenglieder Vektoren sind. In dieser Blog-Folge werden wir den Grenzwertbegriff auf solche Folgen ausdehnen. Du wirst feststellen, dass sich gegenüber dem Grenzwertbegriff für reelle Folgen praktisch nichts ändert. Auch viele weitere Aussagen, die wir für reelle Folgen formuliert und bewiesen haben, lassen sich auf komplexe Folgen übertragen.
Grenzwert einer komplexen Folge
Unsere Definition für den Grenzwert einer reellen Zahlenfolge formalisiert die Aussage, dass für alle noch so kleinen Abstände $\epsilon >0$ ein Index $n_0$ existiert, so dass ab diesem Index $n_0$ alle Folgenglieder vom Grenzwert einen Abstand haben, der kleiner als $\epsilon$ ist. Der Abstand zwischen Folgenglied und Grenzwert wird dabei in der Grenzwertdefinition durch den Betrag der Differenz zwischen Folgenglied $a_n$ und Grenzwert $a$ ausgedrückt. Dies können wir genauso aber auch dann formulieren, wenn die Folgenglieder $a_n$ und der Grenzwert $a$ komplexe Zahlen sind. Der Term \[ |a_n - a| \] beschreibt auch im Komplexen den Abstand zwischen Folgenglied $a_n$ und Grenzwert $a$.
Durch den Betrag ist die Ungleichung \[ |a_n -a| < \epsilon \] ebenfalls im Komplexen formulierbar, denn der Betrag ist stets reell. Somit können wir tatsächlich die bisherige Grenzwertdefinition für reelle Folgen auch auf komplexe Folgen anwenden.
Definition
Es sei $(z_n)$ eine komplexe Zahlenfolge.
Eine Zahl $z\in\C$ heißt Grenzwert der Folge $(z_n)$, wenn zu jeder reellen Zahl $\epsilon > 0$ eine Zahl $n_0\in\N$ existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen $n\geq n_0$ \[ |z_n-z| < \epsilon \] gilt. Kurz: \[ \forall \epsilon>0\exists n_0\in\N \forall n \geq n_0: |z_n-z| < \epsilon \]
Damit gehen wir bei komplexen Folgen auch genauso wie bei reellen Folgen vor, um zu beweisen, dass $z$ der Grenzwert einer Folge $(z_n)$ ist.
Beispiel
Wir betrachten die Folge $(z_n)$ mit \[ z_n = \frac{1 + (n-1)\I}{n}. \] Somit ist $(z_n)$ eine komplexe Folge. Es gilt \[ z := \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1 + (n-1)\I}{n} = \I. \] Um diese Aussage zu beweisen, gehen wir prinzipiell wie im Reellen vor.
Es sei $\epsilon > 0$ beliebig. Wir untersuchen $|z_n-z|$: \begin{eqnarray*} |z_n-z| & = & \left| \frac{1 + (n-1)\I}{n} - \I\right| \\ & = & \left| \frac{1+(n-1)\I -n\I}{n}\right| \\ & = & \left| \frac{1-\I}{n} \right| \\ & = & \frac{|1-\I|}{|n|} \\ & = & \frac{\sqrt{2}}{n} \end{eqnarray*} Mache Dir die einzelnen Schritte klar: Die zweite Zeile entsteht durch Erweiterung von $\I$ mit $n$, damit wir die Differenz in einem Bruch schreiben können. Dann können wir den Zähler vereinfachen, was zur dritten Zeile führt. Die vierte Zeile entsteht, indem wir eine der bekannten Rechenregeln für Beträge anwenden. Mit $|1-\I| = \sqrt{2}$ und $|n| = n$ folgt die letzte Zeile.
Jetzt müssen wir den Term $\frac{\sqrt{2}}{n}$ nur noch kleiner als $\epsilon$ bekommen. Dies ist nicht schwer, denn \[ \frac{\sqrt{2}}{n} < \epsilon \quad \Longleftrightarrow \quad n > \frac{\sqrt{2}}{\epsilon}. \] Also ist mit $n_0 > \frac{\sqrt{2}}{\epsilon}$ die Ungleichung \[ |z_n-z| < \epsilon \] für alle $n \geq n_0$ erfüllt.
Das folgende Lemma zeigt uns eine weitere Möglichkeit auf, wie wir für eine komplexe Folge $(z_n)$ deren Konvergenz nachweisen können. Statt die Folge als Ganzes zu betrachten, können wir die Folge $(\Re(z_n))$ der Realteile und die Folge $(\Im(z_n))$ der Imaginärteile getrennt untersuchen.
Proposition
Es sei $(z_n)$ eine komplexe Folge und $z\in\C$.
Dann gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} z_n = z\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \Re(z_n) = \Re(z) \wedge \lim_{n\rightarrow\infty} \Im(z_n) = \Im(z). \]
Die komplexe Folge $(z_n)$ ist also genau dann konvergent, wenn die Folge der Realteile und die Folge der Imaginärteile konvergent ist. Real- und Imaginärteilfolge sind dabei reelle Folgen.
Beweis
Für den Beweis nutzen wir die beiden Hilfsaussagen \[ |\Re(z)| \leq |z| \text{ und } |\Im(z)| \leq |z|. \] Hier die Beweise für die Aussagen: \[ |z| = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} \geq \sqrt{\Re(z)^2} = |\Re(z)| \] und \[ |z| = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} \geq \sqrt{\Im(z)^2} = |\Im(z)|. \]
Jetzt zum Beweis der Proposition. Da es sich um eine Äquivalenzaussage handelt, müssen wir zwei Richtungen zeigen.
"$\Rightarrow$": Es sei $(z_n)$ eine komplexe Folge mit Grenzwert $z$, d. h. es gilt \[ \forall\epsilon > 0 \exists n_0 \in\N \forall n \geq n_0: |z_n - z| < \epsilon. \] Mit der Hilfsaussage von oben gilt dann: \[ |\Re(z_n) - \Re(z)| = |\Re(z_n-z)| \leq |z_n -z| < \epsilon \] für alle $n \geq n_0$.
Statt mit dem Realteil können wir diesen Beweis in gleicher Weise auch mit dem Imaginärteil führen. Damit haben wir die Richtung "$\Rightarrow$" bewiesen.
"$\Leftarrow$": Die Folgen $(\Re(z_n))$ und $(\Im(z_n))$ seien konvergent mit den Grenzwerten $\Re(z)$ und $\Im(z)$, d. h. für alle $\epsilon > 0$ gilt: \begin{align} & \exists n_1 \in \N \forall n \geq n_1 : |\Re(z_n) - \Re(z)| < \epsilon \\ & \exists n_2 \in \N \forall n \geq n_2 : |\Im(z_n) - \Im(z)| < \epsilon. \end{align} Damit gilt für alle $n \geq n_0 := \max\{n_1,n_2\}$: \begin{eqnarray*} |z_n - z| & = & |(\Re(z_n) + \I\,\Im(z_n)) - (\Re(z) + \I\,\Im(z))| \\ & = & |(\Re(z_n) - \Re(z)) + \I\,(\Im(z_n) - \Im(z))| \\ & \leq & |\Re(z_n) - \Re(z)| + |\I|\,|\Im(z_n) - \Im(z)| \\ & = & |\Re(z_n) - \Re(z)| + |\Im(z_n) - \Im(z)| \\ & < & \epsilon + \epsilon \\ & = & 2\epsilon \end{eqnarray*}
Damit haben wir auch die Gegenrichtung bewiesen.
Beispiel
Wir betrachten die gleiche Folge wie im vorigen Beispiel, nutzen für den Nachweis des Grenzwertes aber nun die vorangegangene Proposition.
Aus \[ z_n = \frac{1 + (n-1)\I}{n} \] ergibt sich \[ \Re(z_n) = \frac{1}{n} \quad\text{und}\quad \Im(z_n) = \frac{n-1}{n}. \] Damit folgt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \Re(z_n) = 0 \] und \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \Im(z_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{1} = 1. \] Also ist sowohl die Realteil- als auch die Imaginärteilfolge konvergent und damit auch die Folge $(z_n)$. Weiterhin muss dann für den Grenzwert $z$ von $(z_n)$ gelten: \[ z = 0 + \I \cdot 1 = \I. \]
Alle bekannten Aussagen für reelle Folgen, die nicht die Anordnung der reellen Zahlen nutzen, können wir ohne Probleme auf komplexe Folgen übertragen. Dazu gehören:
die Eindeutigkeit von Grenzwerten,
die Beschränktheit konvergenter Folgen,
Rechenregeln für Grenzwerte,
der Satz von Bolzano-Weierstraß sowie
die Äquivalenz von konvergenten Folgen und Cauchy-Folgen.
Nicht übertragen können wir Begriffe und Säzte, die die Anordnung der reellen Zahlen ausnutzen. So ergibt beispielsweise der Begriff der Monotonie für komplexe Zahlen keinen Sinn. Dementsprechend können wir auch das Monotoniekriterium für komplexe Folgen nicht auf eine Folge als Ganzes anwenden. Sehr wohl können wir aber, da ja $(\Re(z_n))$ und $(\Im(z_n))$ reelle Folgen sind, das Monotoniekriterium auf die Real- und Imaginärteilfolge anwenden und evtl. damit zeigen, dass eine komplexe Folge konvergent ist.
Ebenso können wir für eine komplexe Folge die Begriffe "nach oben beschränkt" und "nach unten beschränkt" nicht verwenden, denn diese Begriffe basieren auf der Ordnungsrelation $\leq$ für die reellen Zahlen. Dagegen können wir aber sehr wohl auch im Komplexen von einer beschränkten Folge sprechen, denn der Begriff der Beschränktheit ist über den Betrag definiert. Zur Erinnerung: Eine Folge $(z_n)$ heißt beschränkt, wenn eine Konstante $K\in\R_+$ existiert, mit \[ |z_n| \leq K \] für alle $n\in\N$. Dies ist auch in den komplexen Zahlen möglich.
Das nächste Beispiel zeigt die Anwendung der Rechenregeln für Grenzwerte am Beispiel einer komplexen Folge.
Beispiel
Wir betrachten zum dritten mal die Folge $(z_n)$ mit \[ z_n = \frac{1+(n-1)\I}{n}. \] Diesmal zeigen wir die Konvergenz und berechnen den Grenzwert mithilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte.
Es gilt \[ z_n = \frac{1+(n-1)\I}{n} = \frac{\frac{1}{n} + \frac{n-1}{n}\I}{1} = \underbrace{\frac{1}{n}}_{\rightarrow 0} + \underbrace{\left(1 - \frac{1}{n}\right)}_{\rightarrow 1}\,\I. \] Somit gilt nach den Rechenregeln für Grenzwerte: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} z_n = \I. \]
Konvergenz für Vektorfolgen
Definition
Es sei $d\in\N$. Bei einer Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $\R^d$ ist jedes Folgenglied ein Vektor des $\R^d$, also \[ a_n = \left( \begin{array}{c} a_n^{(1)} \\ a_n^{(2)} \\ \vdots \\ a_n^{(d)} \end{array} \right) \in \R^d. \]
Die Folge $(a_n)$ in $\R^d$ konvergiert gegen den Vektor \[ a = \left( \begin{array}{c} a^{(1)} \\ a^{(2)} \\ \vdots \\ a^{(d)} \end{array} \right) \in\R^d, \] wenn für jede Komponentenfolge $(a_n^{(i)})_{n\in\N}$ für $i=1,\ldots,d$ gilt: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n^{(i)} = a^{(i)}. \]
Beispiel
Die Folge $(a_n)$ mit \[ a_n = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{n} \\ \frac{n-1}{n} \end{array} \right) \in \R^2 \] konvergiert gegen den Vektor \[ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right), \] denn \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} = 0 \] und \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n-1}{n} = 1. \]Teilen und Drucken