Herleitung des $\epsilon$-$\delta$-Kriteriums
Für die Definition der Stetigkeit wären zwei Ansätze möglich gewesen. Wir haben uns für den Ansatz entschieden, der die Stetigkeit einer Funktion $f$ in einem Punkt $x_0$ über ein Folgenkriterium definiert: Wenn eine Folge $(x_n)$ gegen $x_0$ konvergiert, dann muss die Folge $(f(x_n))$ gegen $f(x_0)$ konvergieren.
Der andere Ansatz für die Stetigkeit beruhte auf der Idee, dass bei einer stetigen Funktion eine hinreichend kleine Änderung des Arguments $x$ zu einer beliebig kleinen Änderungen des Funktionswertes $f(x)$ führen soll. Diesen zweiten Ansatz werden wir in dieser Blog-Folge nicht nur formalisieren sondern auch zeigen, dass beide Ansätze zur Definition der Stetigkeit äquivalent sind. Danach werden wir uns einige Beispiele anschauen, wie wir Stetigkeit mithilfe des zweiten Kriteriums beweisen können.
Beim zweiten Ansatz wollen wir eine beliebig kleine Änderung des Funktionswertes erreichen. Dies bedeutet, dass für alle $\epsilon > 0$ \[ |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \] gelten muss, wenn $x$ nahe genug bei $x_0$ liegt. Wie nahe $x$ bei $x_0$ liegen muss, wird dabei natürlich von $\epsilon$ abhängen. Wenn $\epsilon$ sehr klein ist, wird auch der Abstand zwischen $x$ und $x_0$ sehr klein sein müssen, um $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ garantieren zu können, bei einem größeren $\epsilon$ wird dagegen auch ein größerer Abstand zwischen $x$ und $x_0$ möglich sein.
Für jedes $\epsilon > 0$ wird also ein maximal erlaubter Abstand, nennen wir ihn einmal $\delta > 0$, existieren müssen, so dass wir \[ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \] garantieren können. Und für welche $x$ soll dies gelten? Natürlich für alle $x$ aus dem Definitionsbereich der Funktion $f$. Damit können wir das sogenannte $\epsilon$-$\delta$-Kriterium formulieren.
Satz ($\epsilon$-$\delta$-Kriterium)
Es sei $D\subseteq\R$ und $x_0\in D$. Für eine Funktion $f: D\rightarrow \mathbb{R}$ sind dann die folgenden Aussagen äquivalent.
- $f$ ist stetig in $x_0$.
- Für alle $\epsilon > 0$ existiert ein $\delta > 0$, so dass für alle $x\in D$ gilt: \[ |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| <\epsilon. \]
Die folgenden Grafiken veranschaulichen das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium.
Grafisch können wir das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium folgendermaßen interpretieren: Egal, wie klein wir den horizontalen Streifen um $f(a)$ herum auch machen, wir finden immer einen zweiten vertikalen Streifen um $a$ herum, so dass die Funktion innerhalb dieses zweiten Streifens komplett im ersten horizontalen Streifen liegt.
Die zweite Grafik zeigt Dir das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium bei Stetigkeit und bei Unstetigkeit.
Die linke Grafik entspricht der oberen: Egal wie schmal wir den grauen horizontalen Streifen mit der Breite von $2\epsilon$ um $f(x_0)$ herum auch machen, wir finden immer einen vertikalen Streifen um $x_0$ herum, so dass die Funktion innerhalb des vertikalen Streifens komplett in dem grauen Streifen liegt.
In der rechten Grafik sehen wir, dass die Funktion an der Stelle $x_0$ nicht stetig ist. Für den gewählten grauen Streifen gilt die vorige Aussage nun nicht mehr. Hier gelingt es uns nicht, die Funktion innerhalb des vertikalen Streifens mit dem grauen Bereich zu überdecken. Egal wie klein wir $\delta$ wählen würden, die Funktion $f(x)$ würde in dem Intervall $(x_0,x_0+\delta)$ immer außerhalb des grauen Streifens liegen.
In kompakter Schreibweise lautet das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium: \[ \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D: |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon. \] An einer Stelle im Beweis benötigen wir auch die Negation des $\epsilon$-$\delta$-Kriteriums. Sie lautet natürlich: \[ \exists \epsilon > 0 \forall \delta > 0 \exists x\in D: |x - x_0| < \delta \wedge |f(x) - f(x_0)| \geq \epsilon. \]
Beweis ($\epsilon$-$\delta$-Kriterium)
Wir müssen die Äquivalenz der Aussagen (i) und (ii) zeigen. Hierzu zeigen wir zunächst, dass aus dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium die Stetigkeit folgt. Diese Richtung des Beweises ist die etwas Einfachere. Anschließend zeigen wir dann, dass Stetigkeit stets die Erfüllung des $\epsilon$-$\delta$-Kriteriums impliziert.
(ii) $\Rightarrow$ (i): Es gilt (ii), also das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium: \[ \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D: |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon. \] Es sei nun $(x_n)$ eine beliebige Folge mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$. Wir müssen zeigen, dass $\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = f(x_0)$ gilt, was nach Grenzwertdefinition \[ \forall \epsilon > 0 \exists n_0\in\N \forall n\geq n_0: |f(x_n) - f(x_0)| < \epsilon \] bedeutet.
Es sei also $\epsilon > 0$ beliebig. Wir wählen hierzu ein passendes $\delta > 0$ gemäß dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium. Wegen $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$ muss es zu unserem $\delta$ ein $n_0\in\N$ geben, so dass $|x_n - x_0| < \delta$ für alle $n\geq n_0$ gilt. Mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium, wobei wir $x=x_n$ setzen, folgt dann mit diesem $n_0$: \[ |f(x_n) - f(x_0)| < \epsilon \] für alle $n \geq n_0$. damit haben wir die Konvergenz der Folge $(f(x_n))$ gegen den Grenzwert $f(x_0)$ nachgewiesen. Also ist die Funktion $f(x)$ stetig an der Stelle $x_0$.
(i) $\Rightarrow$ (ii): Es gilt (i), also: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0 \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = f(x_0) \] für alle Folgen $(x_n)$ aus $D$. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Hierzu nehmen wir an, dass das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium nicht gilt, was \[ \exists \epsilon > 0 \forall \delta > 0 \exists x\in D: |x - x_0| < \delta \wedge |f(x) - f(x_0)| \geq \epsilon. \] bedeutet. Wir werden nun diese Aussage nutzen, um eine Folge $(x_n)$ zu konstruieren, so dass zwar $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$ gilt, aber nicht $\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = f(x_0)$. Dies ist dann ein Widerspruch zur Voraussetzung, der Stetigkeit von $f$ an der Stelle $x_0$.
Wir wählen nun solch ein $\epsilon$, dass nach der Annahme existieren muss und wenden es für $\delta = \frac{1}{n}, n=1,2,3,\ldots$ auf das negierte $\epsilon$-$\delta$-Kriterium an. Wir erhalten damit für jedes $n$ ein $x_n$ in $D$ mit $|x_n - x_0| < \frac{1}{n}$ und $|f(x_n) - f(x_0)| \geq \epsilon$. Damit haben wir eine Folge $(x_n)$ aus $D$ konstruiert.
Für diese so konstruierte Folge muss dann $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$ gelten, aber $\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)\neq f(x_0)$, eventuell existiert der Grenzwert auch gar nicht. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass $f$ an der Stelle $x_0$ stetig ist.
Also ist unsere Annahme, dass das $\epsilon$-$\delta$-kriterium nicht gilt, falsch.
Anwendungsbeispiele
Ich zeige Dir nun einige Beispiele zur Anwendung des $\epsilon$-$\delta$-Kriteriums. Schaue Dir diese Beispiele gut an. Stetigkeitsbeweise mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium sind typische Klausuraufgaben. Die Behherschung des Kriteriums erfordert aber einige Übung. Solche Übungen präsentiere ich Dir dann auch in der nächsten Blog-Folge.
Beispiel
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Wir zeigen mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium, dass eine lineare Funktion $f(x) = ax+b$ mit $a,b\in\R$ und $a\neq 0$ stetig auf $\R$ ist.
Es sei $x_0\in\R$ beliebig. Durch die Beliebigkeit von $x_0$ folgt später, dass $f$ auf ganz $\R$ stetig ist.
Es sei nun $\epsilon > 0$ beliebig. Um zu zeigen, dass das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium erfüllt wird, müssen wir ein passendes $\delta$ konstruieren, dass von $\epsilon$ und meistens auch von $x_0$ abhängt. Hierzu untersucht man den Term $|f(x)-f(x_0)|$, der ja kleiner als $\epsilon$ werden soll. \begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| & = & |(ax+b) - (ax_0+b)| \\ & = & |a(x-x_0)| \\ & = & |a| |x-x_0| \end{eqnarray*} Im $\epsilon$-$\delta$-Kriterium ist aber $|x-x_0| < \delta$ die Prämisse, wir dürfen dies also annehmen. Damit ergibt sich dann \[ |f(x) - f(x_0)| < |a|\delta. \] Damit das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium erfüllt ist, muss der Term auf der rechten Seite kleiner als $\epsilon$ sein, es muss also \[ |a|\delta < \epsilon. \] gelten. Dies ist äquivalent mit \[ \delta < \frac{\epsilon}{|a|}. \] Damit haben wir das $\delta$ bestimmt. Da wir in der Herleitung schon vorher ein "<" hatten, können wir \[ \delta := \frac{\epsilon}{|a|} \] wählen.
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Wir zeigen mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium, dass die Funktion $f(x) = x^2$ stetig auf $\R$ ist.
Wir untersuchen wieder den Term $|f(x) - f(x_0)|$: \begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| & = & |x^2 - x_0^2| \\ & = & |(x+x_0)(x-x_0)| \\ & = & |x+x_0| |x-x_0| \\ & \leq & \left( |x| + |x_0| \right) |x-x_0| \end{eqnarray*} Wir haben auf der rechten Seite einen Term, in dem $|x-x_0|$ als Faktor auftritt. Diesen Faktor können wir wieder durch $\delta$ nach oben abschätzen. Damit verbleibt noch $|x| + |x_0|$ als Faktor. Problemmatisch in diesem Term ist das $x$, denn das zu konstruierende $\delta$ darf zwar von $x_0$ nicht aber von $x$ abhängen (man beachte, dass im $\epsilon$-$\delta$-Kriterium "$\exists \delta$" vor "$\forall x$" steht). Demnach müssen wir dieses $x$ durch Abschätzungen eliminieren. Hier hilft ein Trick, denn man immer wieder anwendet: Man setzt $\delta \leq 1$. Dies dürfen wir tun, müssen diese Einschränkung aber später, wenn wir $\delta$ genau definieren, berücksichtigen.
Wegen $|x-x_0| < \delta$ folgt aus $\delta \leq 1$: \[ x_0 - 1 < x < x_0 + 1 \] und daraus wiederum $|x| < |x_0| + 1$. Dies setzen wir oben ein und erhalten damit \[ |f(x) - f(x_0)| \leq \left( |x| + |x_0| \right) |x-x_0| < \left( |x_0| + 1 + |x_0| \right) \delta = \left(2|x_0|+1\right) \delta. \] Damit das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium erfüllt ist, muss der Term auf der rechten Seite kleiner als $\epsilon$ sein, es muss also \[ \left(2|x_0|+1\right) \delta < \epsilon \] gelten. Dies ist äquivalent zu \[ \delta < \frac{\epsilon}{2|x_0|+1}. \] Da wir in der Herleitung schon vorher ein "<" hatten, können wir \[ \delta := \min\left\{1,\frac{\epsilon}{2|x_0|+1} \right\} \] wählen. Die Minimumsbildung ist notwendig, da wir bei der Herleitung die Voraussetzung $\delta \leq 1$ eingeführt haben.
Teil (ii) des Beispiels zeigte das typische Vorgehen bei einem Beweis der Stetigkeit mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium. Wir beginnen mit $|f(x)-f(x_0)|$ und müssen zunächst durch Termumformungen und Abschätzungen den Faktor $|x-x_0|$ konstruieren, den wir ja durch $\delta$ abschätzen dürfen. Anschließend müssen wir in dem Restterm durch Abschätzungen alle Vorkommen von $x$ eliminieren. Hierbei ist oft der gezeigte Trick oder ein ähnliche Abschätzung hilfreich. Nachdem es uns gelungen ist, alle $x$ zu eliminieren, setzen wir den kompletten Term $< \epsilon$ und lösen ihn nach $\delta$ auf.
Beispiel
Wir zeigen, dass die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ auf ihrem Definitionsbereich, den nichtnegativen reellen Zahlen, stetig ist. Hierzu bietet sich eine Fallunterscheidung in $x_0=0$ und $x_0>0$ an.
$x_0=0$: Damit gilt \[ |x-x_0| < \delta \Leftrightarrow |x-0| < \delta \Leftrightarrow x < \delta. \] Wegen $x\geq 0$ können wir auf den Betrag verzichten. Jetzt untersuchen wir $|f(x)-f(x_0)|$ und erhalten mit der rechten Ungleichung von oben: \[ |f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{0}| = \sqrt{x} < \sqrt{\delta}. \] Es muss nun $\sqrt{\delta} < \epsilon$ gelten, was äquovalent zu $\delta < \epsilon^2$ ist. Also ist \[ \delta := \epsilon^2 \] eine geeignete Wahl, damit das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium für diesen Fall erfüllt ist.
$x_0>0$: Wir untersuchen $|f(x)-f(x_0)|$ und erhalten: \begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| & = & \left| \sqrt{x} - \sqrt{x_0} \right| \\ & = & \left| \frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \right| \\ & = & \left| \frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \right| \\ & = & \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} |x-x_0| \\ & < & \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \delta \\ & \leq & \frac{1}{\sqrt{x_0}} \delta. \end{eqnarray*} Nun ist \[ \frac{1}{\sqrt{x_0}} \delta < \epsilon \] äquivalent zu $\delta < \sqrt{x_0}\,\epsilon$. Also ist \[ \delta := \sqrt{x_0}\,\epsilon \] eine geeignete Wahl um das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium zu erfüllen.
An dieser Herleitung sehen wir auch, warum die Fallunterscheidung notwendig ist. Für $x_0=0$ ist der Term $\frac{1}{\sqrt{x_0}} \delta$ nicht definiert bzw. $\delta = \sqrt{x_0}\epsilon$ würde die Bedingung $\delta > 0$ verletzen.
Die nächste Blog-Folge bietet eine Reihe von Aufgaben, um die Anwendung des $\epsilon$-$\delta$-Kriteriums zu üben.
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