Arithmetische Verknüpfung von Funktionen
Wir haben in der vorigen Blog-Folge die Stetigkeit einer Funktion mithilfe eines Folgen-Kriteriums definiert. Eine Funktion $f:D\rightarrow \R$ ist demnach stetig an einer Stelle $x_0\in D$, wenn für alle Folgen $(x_n)$ aus $D$ gilt: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = f(x_0). \] Für Folgen kennen wir bereits eine Reihe von Rechenregeln, siehe hier. Mit diesen Rechenregeln für Folgen können wir nun wiederum Rechenregeln für die Stetigkeit von Funktionen herleiten. Der folgende Satz liefert zunächst Rechenregeln für die Stetigkeit von Funktionen, die durch arithmetische Verknüpfungen einfacherer Funktionen entstanden sind.
Satz
Es sei $D\subseteq\R$. Weiterhin seien $f,g: D \rightarrow \mathbb{R}$ in $x_0\in D$ stetige Funktionen und es sei $\lambda\in\mathbb{R}$.
Dann sind auch die Funktionen \[ \begin{array}{rclcl} f + g & : & D\rightarrow \mathbb{R}, & & x\mapsto f(x) + g(x) \\ \lambda\cdot f & : & D\rightarrow \mathbb{R}, & & x\mapsto \lambda\cdot f(x) \\ f\cdot g & : & D\rightarrow \mathbb{R}, & & x\mapsto f(x)\cdot g(x) \end{array} \] stetig in $x_0$. Gilt außerdem $g(x_0)\neq 0$, dann ist auch \[ \frac{f}{g}: D' \rightarrow \mathbb{R}, \quad x\mapsto\frac{f(x)}{g(x)} \] stetig in $x_0$, mit $D' := \{x\in D|g(x)\neq 0\}$.
Beweis
Alle Aussagen dieses Satzes folgen direkt aus den bekannten Rechenregeln für Folgen. Als Beispiel betrachten wir die erste Aussage. Es sei $x_0$ in $D$ und $(x_n)$ eine beliebige Folge aus $D$ mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$. Dann folgt: \begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} (f+g)(x_n) & = & \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) + g(x_n) \\ & = & \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) + \lim_{n\rightarrow\infty} g(x_n) \\ & = & f(x_0) + g(x_0) \\ & = & (f+g)(x_0). \end{eqnarray*} Das zweite "=" gilt, weil beide Grenzwerte existieren und die Grenzwerte existieren, weil beide Funktionen in $x_0$ stetig sind. Die Stetigkeit der beiden Funktionen ist dann in Verbindung mit der Grenzwertregel für "+" auch die Begründung für das dritte "=".
Alle anderen Aussagen des Satzes können analog gezeigt werden.
Aus dem vorstehenden Satz folgt ebenfalls direkt die Stetigkeit von Polynomen auf $\R$ und von rationalen Funktionen auf ihrem Definitionsbereich.
Folgerung
- Jedes Polynom $f:\R\rightarrow\R$ ist stetig.
- Wenn $f,g:\R\rightarrow\R$ Polynome sind, dann ist die Funktion $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ stetig auf $\R \setminus \{x\in\R|g(x) = 0\}$.
Beweis
- Die Funktionen $f(x) = 1$ und $g(x)=x$ sind als konstante bzw. lineare Funktion stetig. Durch induktive Anwendung der Stetigkeitsregel für $f\cdot g$ folgt, dass die Funktion $f(x)=x^n$ für alle $n\in\N_0$ stetig ist. Die Stetigkeits-Rechenregel für $\lambda\cdot f$ liefert dann die Stetigkeit der Funktion $f(x) = a x^n$ für alle $a\in\R$ und alle $n\in\N_0$. Eine induktive Anwendung der Stetigkeit-Rechenregel für $f+g$ führt dann dazu, dass alle Polynome stetig sind.
- Mit der Stetigkeits-Rechenregel für die Divsision folgt Aussage (ii) direkt aus (i).
Beispiel
- Die Funktion $f(x) = x^3 - 3x + 2$ ist als Polynom auf $\R$ stetig.
- Die Funktion \[ g(x) = \frac{7x^3 + 4x^2 - 2x + 5}{x^4 + 1} \] ist ebenfalls auf $\R$ stetig. Beachte dabei, dass das Nennerpolynom keine reellen Nullstellen hat.
- Die Funktion \[ h(x) = \frac{1+x^2}{\exp(x)} \] ist als Quotient zweier stetiger Funktionen auf $\R$ stetig, weil $\exp(x)$ keine Nullstellen hat.
- Die Funktion \[ i(x) = \frac{|x|}{x^2 - 2x -3} \] ist auf $\R \setminus \{3,-1\}$ stetig. Die Betragsfunktion ist stetig auf $\R$, ebenso das Polynom im Nenner. Allerdings hat das Nennerpolynom die Nullstellen $3$ und $-1$.
Verkettung von Funktionen
Es fehlt noch eine Rechenregeln für die Verkettung von stetigen Funktionen. Diese liefert der folgende Satz.
Satz
Es seien $D,E \subseteq \R$. Weiter seien $f:D\rightarrow\R$ und $g:E\rightarrow\R$ Funktionen mit $f(D)\subseteq E$.
Wenn $f$ stetig in $x_0$ und $g$ stetig in $f(x_0)\in E$ ist, dann ist die Funktion \[ g \circ f : D\rightarrow \mathbb{R},\quad x\mapsto g(f(x)) \] ebenfalls stetig in $x_0$.
Zur Erinnerung: Der Operator $\circ$ bezeichnet die Hintereinanderausführung (Verkettung) von Fuktionen, also \[ (g\circ f)(x) = g(f(x)). \] Man wendet auf das Argument $x$ zunächst die Funktion $f$ an und dann auf den Funktionswert $f(x)$ die Funktion $g$.
Beweis
Wir müssen zeigen, dass für jede Folge $(x_n)$ in $D$ gilt: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} g(f(x_n)) = g(f(x_0)). \] Sei also $(x_n)$ eine beliebige konvergente Folge aus $D$ mit Grenzwert $x_0$. Da $f$ stetig in $x_0$ ist, folgt $\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = f(x_0)$. Damit ist $\left(f(x_n)\right)$ eine konvergente Folge in $E$ mit dem Grenzwert $f(x_0)$. Weil $g$ wiederum in $f(x_0)\in E$ stetig ist, folgt $\lim_{n\rightarrow\infty} g(f(x_n)) = g(f(x_0))$.
Beispiel
- Wenn $f:D\rightarrow\R$ stetig ist, dann ist auch \begin{eqnarray*} |f| & : & D \rightarrow \R \\ & & x \mapsto |f(x)| \end{eqnarray*} stetig, weil die Betragsfunktion stetig auf $\R$ ist und wir damit die Verkettung von zwei stetigen Funktionen haben.
- Die Funktionen $g(x):=\exp(x)$ und $f(x):=-x^2$ sind stetig, also ist auch $g(f(x)) = \exp(-x^2)$ stetig.
- Die Funktion \[ f(x) = \exp\left(\frac{1}{x^2-2x-3}\right) \] ist auf $\R \setminus \{3,-1\}$ stetig, da die innere Funktion bei $3$ und $-1$ Definitionslücken hat, aber ansonsten stetig ist.
- Die Funktion \[ f(x) = \frac{1}{\exp^2(x) -2\exp(x) - 3} \] ist stetig auf $\R \setminus \{x_0\}$, wobei $x_0$ der Wert ist, für den $\exp(x_0) = 3$ gilt. Verglichen mit (iii) haben wir hier nur eine Definitionslücke, da $\exp(x) > 0$ für alle $x\in\R$ gilt, es also kein $x_0$ mit $\exp(x_0) = -1$ gibt.
Fazit
Die Verknüpfung stetiger Funktionen, entweder mittels arithmetischer Operationen oder Verkettung, liefert wieder eine stetige Funktion, mit Ausnahme von Nullstellen im Nenner bei einer Quotientenbildung.
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