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Analysis-Blog: Folge 16

Übung zu Komplexen Zahlen

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Peter Becker

veröffentlicht: 25 Mar 2024, zuletzt geändert: 17 Mar 2025 16:16

Schlüsselwörter: Komplexe Zahl, Betrag, konjugiert komplexe Zahl, imaginäre Einheit, Realteil, Imaginärteil, Polarkoordinaten, Sinus, Cosinus, Tangens, Arcus Tangens, Einheitswurzel

Übung 1

Stelle das Ergebnis jeweils in der Form $a + b\I$ dar.

  1. $(3 + 5\I) + (2 - 7\I)$

  2. $(3 + 5\I)\cdot (2 - 7\I)$

  3. $\displaystyle\frac{1}{2 - 7\I}$

  4. $\displaystyle\frac{4+2\I}{1 + \I}$

  5. $\overline{(2+2\I)(5-\I)}$

  1. Mit der Berechnungsvorschrift für die Addition erhalten wir: \[ (3 + 5\I) + (2 - 7\I) = (3+2) + (5-7)\I = 5 -2\I. \]

  2. Wir nutzen die Berechnunsvorschrift für die Multiplikation: \begin{eqnarray*} (3 + 5\I)\cdot (2 - 7\I) & = & (3\cdot 2 - 5\cdot(-7)) + (3\cdot(-7) + 5\cdot 2)\I \\[2mm] & = & (6+35) + (-21 + 10)\I \\[2mm] & = & 41 - 11\I. \end{eqnarray*}

  3. Gesucht ist hier $(2-7\I)^{-1}$. Die erste Möglichkeit besteht darin, die Formel $\displaystyle z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ für das Inverse einer komplexen Zahl zu nutzen. Damit ergibt sich: \begin{eqnarray*} \frac{1}{2-7\I} & = & (2-7\I)^{-1} \\[2mm] & = & \frac{\overline{2-7\I}}{|2-7\I|^2} \\[2mm] & = & \frac{2+7\I}{2^2 + 7^2} \\[2mm] & = & \frac{2+7\I}{53} \\[2mm] & = & \frac{2}{53} + \frac{7}{53}\I. \end{eqnarray*}

    Du musst Dir die Formel für das Inverse aber nicht merken. Stattdessen kannst Du auch einfach den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitern. Wegen $z\,\overline{z} \in \R$ ergibt dies immer einen reellen Nenner. \begin{eqnarray*} \frac{1}{2 - 7\I} & = & \frac{1\cdot(\overline{2-7\I})}{(2-7\I)(\overline{2-7\I})} \\[2mm] & = & \frac{2+7\I}{(2-7\I)(2+7\I)} \\[2mm] & = & \frac{2+7\I}{2^2 + 7^2} \\[2mm] & = & \frac{2+7\I}{53} \\[2mm] & = & \frac{2}{53} + \frac{7}{53}\I. \end{eqnarray*}

  4. Hier ist die Erweiterung des Nenners mit dem konjugiert Komplexen auf jeden Fall einfacher, als erst das Inverse des Nenners zu bestimmen und dann die Multiplikationsvorschrift anzuwenden. Also: \begin{eqnarray*} \frac{4+2\I}{1+\I} & = & \frac{(4+2\I)(\overline{1+\I})}{(1+\I)(\overline{1+\I})} \\[2mm] & = & \frac{(4+2\I)(1-\I)}{(1+\I)(1-\I)} \\[2mm] & = & \frac{(4\cdot 1 - 2\cdot(-1))+(4\cdot(-1)+2\cdot 1)\I}{1^2+1^2} \\[2mm] & = & \frac{6-2\I}{2} \\[2mm] & = & 3 -\I. \end{eqnarray*}

  5. Wir wenden die Rechenregel $\overline{z_1\,z_2} = \overline{z_1}\,\,\overline{z_2}$ an: \begin{eqnarray*} \overline{(2+2\I)(5-\I)} & = & \overline{2+2\I} \,\, \overline{5-\I} \\[2mm] & = & (2-2\I)(5+\I) \\[2mm] & = & (2\cdot 5 - (-2)\cdot 1) + (2\cdot 1 + (-2)\cdot 5)\I \\[2mm] & = & 12 -8\I. \end{eqnarray*}

Übung 2

  1. Zeige: Für alle $z\in\C$ mit $z\neq 0$ gilt \[ \left| \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{|z|}. \] Interpretation: Der Betrag des multiplikativ Inversen ist gleich dem multiplikativ Inversen des Betrags.

  2. Zeige mit (i): Für alle $z_1,z_2 \in\C$ mit $z_2 \neq 0$ gilt \[ \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}. \] Interpretation: Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge.

  3. Berechne den Betrag von \[ \frac{7 - 3\I}{2 + 5\I}. \]

  1. Für alle $z\in\C$ mit $z\neq 0$ gilt $z \cdot z^{-1} = 1$.

    Wir wenden auf beiden Seiten den Betrag an: \[ \Rightarrow\, |z\cdot z^{-1}| = |1| = 1. \] Mit der Homogenität des Betrags folgt: \[ \Rightarrow\, |z|\cdot |z^{-1}| = 1. \] Division durch $|z|$: \[ \Rightarrow\, |z^{-1}| = \frac{1}{|z|}. \] Wegen $\displaystyle z^{-1} = \frac{1}{z}$ gilt somit: \[ \Rightarrow\, \left| \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{|z|}. \]

  2. Mit der Homogenität des Betrags lässt sich die Formel nun leicht aus (i) herleiten. \begin{eqnarray*} \left|\frac{z_1}{z_2}\right| & = & |z_1\cdot z_2^{-1}| \\[2mm] & = & |z_1| \cdot |z_2^{-1}| \\[2mm] & = & |z_1| \cdot \frac{1}{|z_2|} \\[2mm] & = & \frac{|z_1|}{|z_2|}. \end{eqnarray*}

  3. Mit der Formel aus (ii) können wir den Betrag einfach berechnen. \begin{eqnarray*} \left| \frac{7 - 3\I}{2 + 5\I} \right| & = & \frac{|7 - 3\I|}{|2 + 5\I|} \\[2mm] & = & \frac{\sqrt{7^2 + 3^2}}{\sqrt{2^2 + 5^2}} \\[2mm] & = & \frac{\sqrt{49+9}}{\sqrt{4+25}} \\[2mm] & = & \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{29}} \\[2mm] & = & \sqrt{\frac{58}{29}} \\[2mm] & = & \sqrt{2}. \end{eqnarray*}

Übung 3

  1. Löse die Gleichung \[ (5-i)\cdot z + (3+2\I) = 8 + 3\I \] für $z\in\C$ und stelle die Lösung in der Form $a+b\I$ dar.

  2. Löse das folgende Gleichungssystem: \[ \begin{array}{rcrcl} (5+2\I)z_1 & + & (1-\I)z_2 & = & 2 + 2\I \\ (7-3\I)z_1 & + & (4+5\I)z_2 & = & 33 + 2\I \end{array} \]

  1. Da auch $\C$ ein Körper ist, können wir Gleichung so lösen, wie wir es gewohnt sind. \begin{eqnarray*} & & (5-i)\cdot z + (3+2\I) = 8 + 3\I \\[2mm] & \Rightarrow & (5-i)\cdot z = (8 + 3\I) - (3+2\I) \\[2mm] & \Rightarrow & (5-i)\cdot z = 5 + \I \\[2mm] & \Rightarrow & z = \frac{5+\I}{5-\I} \\[2mm] & \Rightarrow & z = \frac{(5+\I)^2}{(5-\I)(5+\I)} \\[2mm] & \Rightarrow & z = \frac{5^2 +10\I + \I^2}{5^2+1^2} \\[2mm] & \Rightarrow & z = \frac{24 +10\I}{26} \\[2mm] & \Rightarrow & z = \frac{12}{13} + \frac{5}{13}\I. \end{eqnarray*}

  2. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4+5\I$ und die zweite Gleichung mit $1-\I$. Dies führt zu: \[ \begin{array}{rcrcl} (10+33\I)z_1 & + & (9+1\I)z_2 & = & -2 + 18\I \\ (4-10\I)z_1 & + & (9+1\I)z_2 & = & 35 - 31\I. \end{array} \] Wir subtrahieren die beiden Gleichungen. Dies ergibt: \[ (6+43\I)z_1 = -37 + 49\I. \] Damit erhalten wir: \[ z_1 = \frac{-37+49\I}{6+43\I} = 1 + \I. \] Wir setzen dieses Resultat in die erste ursprüngliche Gleichung ein: \begin{eqnarray*} & & (5+2\I)(1+\I) + (1-\I)z_2 = 2 + 2\I \\[2mm] & \Rightarrow & (3+7\I) + (1-\I)z_2 = 2 + 2\I \\[2mm] & \Rightarrow & (1-\I)z_2 = -1-5\I \\[2mm] & \Rightarrow & z_2 = \frac{-1-5\I}{1-\I} \\[2mm] & \Rightarrow & z_2 = 2-3\I. \end{eqnarray*}

Übung 4

  1. Bestimme Real- und Imaginärteil von $z = (2\sqrt{3}-2\I)^7$.

  2. Gib die Polarkoordinatendarstellung von \[ \frac{4}{1+\I\sqrt{3}} \] an.

  3. Bestimme alle Lösungen in $\C$ der Gleichung \[ z^7 - \I - 1 = 0. \]

  1. Es sei $w = 2\sqrt{3} - 2\I$. Damit gilt $z=w^7$.

    Wir schreiben nun $w$ in Polarkoordinaten, also in der Form $r\e^{i\varphi}$.

    Es gilt \[ r = |w| = \sqrt{2^2\cdot 3 + 2^2} = \sqrt{16} = 4 \] und damit \[ w = 2\sqrt{3} - 2\I = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\I\right). \] Nun ermitteln wir den Winkel $\varphi$. \[ \varphi = \arctan\left( \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{\pi}{6}. \] Damit erhalten wir $w = 4 \e^{-\I \frac{\pi}{6}}$.

    Damit berechnen wir nun $z$. \begin{eqnarray*} z & = & w^7 \\[2mm] & = & \left(4\e^{-\I \frac{\pi}{6}}\right)^7 \\[2mm] & = & 4^7 \e^{-\I\frac{7\pi}{6}} \\[2mm] & = & 2^{14} \e^{\I \frac{5\pi}{6}} \\[2mm] & = & 16384 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\I\right) \\[2mm] & = & -8192\sqrt{3} + 8192\I. \end{eqnarray*}

  2. Zunächst schreiben wir $\frac{4}{1+\I\sqrt{3}}$ in der Form $a+b\I$. \begin{eqnarray*} \frac{4}{1+\I\sqrt{3}} & = & \frac{4(1-\sqrt{3}\I)}{(1+\sqrt{3}\I)(1-\sqrt{3}\I)} \\[2mm] & = & \frac{4(1-\sqrt{3}\I)}{1+3} \\[2mm] & = & 1-\sqrt{3}\,\I. \end{eqnarray*} Damit folgt \[ r = \left| \frac{4}{1+\I\sqrt{3}} \right| = |1-\sqrt{3}| = \sqrt{1+3} = 2 \] sowie \[ \frac{4}{1+\I\sqrt{3}} = 1-\sqrt{3} = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right). \] Für den Winkel $\varphi$ erhalten wir \[ \varphi = \arctan\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}. \] Also gilt: \[ \frac{4}{1+\I\sqrt{3}} = 1-\sqrt{3}\,\I = 2\e^{-\I\frac{\pi}{3}}. \]

  3. Es gilt \[ z^7 -\I - 1 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad z^7 = 1 + \I. \] Die Gleichung ist also genau dann erfüllt, wenn $z$ eine der siebten Wurzeln von $1+\I$ ist.

    Es gilt $|1+\I| = \sqrt{2}$. Die Polarkoordinatendarstellung von $1+\I$ lautet \[ 1 + \I = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\I\right) = \sqrt{2}\e^{\I\frac{\pi}{4}}. \] Der zugehörige Winkel ist also $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

    Die siebten Wurzeln von $1+\I$ ergeben sich somit durch die Formel \[ z_j = \sqrt[7]{r}\,\e^{\I\left(\frac{\varphi}{7}+\frac{2j\pi}{7}\right)}, \quad j=0,\ldots,6. \] Damit erhalten wir \begin{eqnarray*} z_0 & = & \sqrt[14]{2} \e^{\I\frac{\pi}{28}} \\[2mm] z_1 & = & \sqrt[14]{2} \e^{\I\frac{9\pi}{28}} \\[2mm] z_2 & = & \sqrt[14]{2} \e^{\I\frac{17\pi}{28}} \\[2mm] z_3 & = & \sqrt[14]{2} \e^{\I\frac{25\pi}{28}} \\[2mm] z_4 & = & \sqrt[14]{2} \e^{\I\frac{33\pi}{28}} \\[2mm] z_5 & = & \sqrt[14]{2} \e^{\I\frac{41\pi}{28}} \\[2mm] z_6 & = & \sqrt[14]{2} \e^{\I\frac{49\pi}{28}}. \end{eqnarray*} Für $k \in \{1,9,17,25,33,41,49\}$ gilt also: \[ z = \sqrt[14]{2} \left(\cos\left(\frac{k\pi}{28}\right) + \I\sin\left(\frac{k\pi}{28}\right)\right) \] löst die Gleichung $z^7 - \I - 1 = 0$.

Übung 5

Es gelte \[ z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}. \]

Berechne: \[ z^{999} + \frac{1}{z^{999}} \]

\begin{eqnarray*} & & z + \frac{1}{z} = \sqrt{3} \\ & \Rightarrow & z^2 + 1 = \sqrt{3}z \\ & \Rightarrow & z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0 \\ & \Rightarrow & z = \frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}\I = \e^{\I(\pm\frac{\pi}{6})}. \end{eqnarray*}

Damit ergibt sich für $z=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\I$: \[ z^{999} = \left( \e^{\I\frac{\pi}{6}} \right)^{999} = \e^{\I \frac{999}{6}\pi} = \e^{\I(166 + \frac{1}{2})\pi} = \e^{\I \frac{\pi}{2}} = \I. \] Dementsprechend gilt \[ \frac{1}{z^{999}} = \left(z^{999}\right)^{-1} = \I^{-1} = -\I \] und damit \[ z^{999} + \frac{1}{z^{999}} = \I - \I = 0. \]

Analog ergibt sich auch für $z=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\I$, dass \[ z^{999} + \frac{1}{z^{999}} = 0 \] gilt.

Übung 6

Bestimme alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems: \begin{eqnarray*} z + w & = & 6 \\ z\cdot w & = & 36 \end{eqnarray*}

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich \[ w = \frac{36}{z}. \] Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten damit \begin{eqnarray*} z + \frac{36}{z} = 6 & \Rightarrow & z^2 +36 = 6z \\[2mm] & \Rightarrow & z^2 -6z + 36 = 0 \\[2mm] & \Rightarrow & z_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9-36} \\[2mm] & \Rightarrow & z_{1,2} = 3 \pm \sqrt{27}\,\I. \end{eqnarray*} Für $w$ erhalten wir damit \begin{eqnarray*} w_{1,2} & = & 6 - z_{1,2} \\ & = & 3 \mp \sqrt{27}\,\I \\ & = & \overline{z_{1,2}}. \end{eqnarray*}

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