Die Analysis, die wir in diesem Kurs behandeln, basiert in erster Linie auf den reellen Zahlen. Daher werden wir die reellen Zahlen im ersten Kapitel recht genau einführen. Wir beginnen damit, dass wir von den reellen Zahlen verlangen, dass sie einen Körper bilden. In diesem Zusammenhang werde ich den Begriff des Körpers und seine wichtigsten Eigenschaften kurz wiederholen.
Bekannte Zahlenmengen
Sicher kennst Du aus der Schule oder auch aus der ersten Mathematikvorlesung des Studiums die folgenden Zahlenmengen:
- die natürlichen Zahlen \[ \N = \{1,2,3,\ldots\} \quad \text{bzw.} \quad \N_0 = \{0,1,2,3,\ldots \}, \]
- die ganzen Zahlen \[ \Z = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots \} \]
- und die rationalen Zahlen \[ \mathbb{Q} = \left\{ \left. \frac{p}{q} \right| p,q \in \Z, q \neq 0 \right\}. \]
Die Analysis fußt aber auf keiner dieser Zahlenmengen sondern auf den reellen und komplexen Zahlen, wobei die komplexen Zahlen die reellen Zahlen beinhalten und diese wiederum alle Zahlenmengen von oben. Daher werden wir die reellen und komplexen Zahlen im ersten Kapitel dieses Kurses recht genau einführen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf den reellen Zahlen.
Im Prinzip werden wir die reellen Zahlen axiomatisch festlegen, das heißt, wir betrachten die reellen Zahlen als eine Zahlenmenge, die gewisse Anforderungen erfüllt. Diese Anforderungen nennen wir Axiome.
Axiome
Axiome spielen ganz allgemein eine zentrale Rolle bei der Entwicklung von mathematischen Strukturen. Sie legen die grundlegenden Regeln und Eigenschaften solcher Strukturen, z. B. einer Zahlenmenge, fest. Axiome sind daher unsere "unumstößlichen" Prinzipien, die wir niemals in Frage stellen. Ausgehend von diesen Axiomen führen wir mathematische Schlussfolgerungen durch und leiten damit Theoreme her. Wir bezeichnen Theoreme auch als Sätze. Ein mathematischer Satz ist also nichts anderes als ein Theorem. Solche Schlussfolgerungen durchzuführen, also Sätze zu formulieren und zu beweisen, ist der eigentliche Gegenstand der Mathematik und die Beweise deren Herzstück.
Wir möchten nun zu Beginn dieses Kurses die Axiome für die reellen Zahlen festlegen, also angeben, durch welche mathematische Eigenschaften die reellen Zahlen charakterisiert sind, was sie ausmacht. Diese Axiome können wir in drei Gruppen aufteilen:
- die Körperaxiome,
- die Anordnungsaxiome und
- das Vollständigkeitsaxiom.
Durch die Körper- und Anordnungsaxiome alleine sind die rellen Zahlen aber noch nicht eindeutig definiert. Die Dir schon bekannten rationalen Zahlen erfüllen ebenfalls diese Axiome. Aber die rationalen Zahlen haben einen wesentlichen Mangel: Gewisse wichtige Gleichungen, z. B. $x^2 = 2$, sind in den rationalen Zahlen nicht lösbar. Daher versehen wir die reellen Zahlen mit einem weiteren Axiom, dem Vollständigkeitsaxiom. Dieses garantiert uns, dass eine Gleichung wie $x^2 = 2$ eine Lösung hat.
Gruppe und Körper
Eigentlich setze ich für diesen Kurs voraus, dass Du den Begriff des Körpers bereits kennst, üblicherweise aus einer mathematischen Grundvorlesung. Nichtsdestotrotz wiederhole ich hier kurz, was ein Körper ist. Dazu definiere ich zunächst, was eine abelsche Gruppe ist, die Dir natürlich auch schon bekannt sein sollte.
Definition
Eine abelsche Gruppe ist ein Paar $(G, +)$, das aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung $+$ besteht und das die folgenden Eigenschaften (Gruppenaxiome) erfüllt.- Assoziativgesetz
- Für alle $a,b,c \in G$ gilt: \[ (a + b) + c = a + (b + c). \]
- Kommutativgesetz
- Für alle $a,b\in G$ gilt: \[ a + b = b + a. \]
- Existenz des neutralen Elements
- Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: \[ a + e = a. \]
- Existenz eines inversen Elements
- Für alle $a \in G$ existiert ein $a' \in G$ mit: \[ a + a' = e. \]
Falls dich der Begriff "innere zweistellige Verknüpfung" irritiert: Eine innere Verknüpfung ist nichts anderes als eine Abbildung, die Elemente einer Menge wieder auf diese Menge abbildet. Solch eine Verknüpfung ist "zweistellig", wenn die Abbildung zwei Argumente hat. Bei der Definition der Gruppe bedeutet dies einfach, dass $+$ eine Abbildung der Art \begin{eqnarray*} + & : & G \times G \longrightarrow G \\ & & (a,b) \mapsto a + b \end{eqnarray*} ist. Die Abbildung "$+$" bildet also zwei Argumente, die beiden Operanden $a$ und $b$, auf irgendein Element aus $G$ ab, das wir mit $a+b$ bezeichnen.
Mit dem Begriff der abelschen Gruppe können wir nun den des Körpers definieren.
Definition
Ein Köper ist ein Tripel $({\cal K}, +, \cdot)$, das aus einer Menge $\cal K$ und zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen $+$ (Addition) und $\cdot$ (Multiplikation) besteht und das die folgenden Eigenschaften (Körperaxiome) erfüllt.
- (K1)
- $({\cal K}, +)$ ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element $0_{\cal K}$).
- (K2)
- $({\cal K} \setminus \{0_{\cal K}\}, \cdot)$ ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element $1_{\cal K}$).
- (K3)
- Für alle $a,b,c \in \cal K$ gilt das Distributivgesetz: \[ a \cdot (b+c) = (a\cdot b) + (a\cdot c). \]
In Körpern sind gewisse Bezeichnungen üblich, die ich auch in diesem Kurs verwenden möchte. Für alle $a \in \cal K$ bezeichnet
- $-a$ das additiv Inverse von $a$ und
- $a^{-1}$ das multiplikativ Inverse von $a$ (für $a \neq 0_{\cal K}$).
Wichtige Rechenregeln
Aus den Köperaxiomen können wir eine Fülle von Rechenregeln herleiten. Viele von ihnen wendest Du schon seit der Grundschule an. Zur Wiederholung liste ich hier eine Reihe dieser Regeln auf, aber ohne einen Anspruch auf Vollständigkeit. Wie schon geschrieben: Der Begriff des Körpers sollte Dir schon bekannt sein und damit solltest Du auch wissen, wie die Rechenregeln, die in einem Körper gelten, lauten und wie Du sie korrekt anwendest.
Ich werde diese Rechenregeln auch beweisen. Schau Dir diese Beweise an, damit Du beispielhaft siehst, wie man solche Beweise führt. In den Übungen zum Kurs und in der Klausur wirst Du selbst immer wieder Aussagen beweisen oder herleiten müssen.
Proposition (Umformung von Gleichungen)
Es sei $({\cal K}, +, \cdot)$ ein Körper. Dann gilt für alle $x,a,b \in \cal K$:
$x + a = b \Rightarrow x = b - a$
-
$ax = b, a\neq 0_{\cal K} \Rightarrow x = \frac{b}{a}$
Beweis
Ich führe die Beweise hier sehr, sehr kleinschrittig durch. Im Verlauf des Kurses solltest Du aber Schritt für Schritt an Erfahrung gewinnen, so dass die "Schrittweite" bei den Beweisen auch etwas größer werden wird.
Es gilt \[ x + a = b. \] Wir addieren auf beiden Seiten das additiv Inverse von $a$, also $-a$. \[ \Rightarrow \quad (x + a) + (-a) = b + (-a) \] Wir wenden auf der linken Seite das Assoziativgesetz für die Addition an und auf der rechten Seite die Definition für die Differenz. \[ \Rightarrow \quad x + (a + (-a)) = b - a \] Es gilt $a + (-a) = 0_{\cal K}$ (inverses Element). \[ \Rightarrow \quad x + 0_{\cal K} = b - a \] Das neutrale Element $0_{\cal K}$ können wir streichen. \[ \Rightarrow \quad x = b - a \] Damit ist die Aussage bewiesen.
-
Führe diesen Beweis selbst durch! Orientiere Dich dazu am Beweis von (i). Wenn Du die Lösung sehen möchtest, dann klicke den Button.
Es gilt \[ ax = b. \] Wegen $a\neq 0_{\cal K}$ existiert $a^{-1}$. Damit multiplizieren wir die Gleichung. \[ \Rightarrow\quad a^{-1} a x = a^{-1} b \] Wir wenden auf beiden Seiten das Kommutativgesetz für die Multiplikation an. \[ \Rightarrow\quad a a^{-1} x = b a^{-1} \] Es gilt $a a^{-1} = 1_{\cal K}$. \[ \Rightarrow\quad 1_{\cal K} \cdot x = b a^{-1} \] Das neutrale Element $1_{\cal K}$ können wir streichen und rechts wenden wir die Definition des Quotienten an. \[ x = \frac{b}{a} \] Damit ist die Aussage bewiesen.
Proposition (Allgemeine Rechenregeln)
Es sei $({\cal K}, +, \cdot)$ ein Körper. Dann gilt für alle $a,b,c,d \in \cal K$:
$-(-a) = a$
$(-a) + (-b) = -(a+b)$
$\left(a^{-1}\right)^{-1} = a$ für $a \neq 0_{\cal K}$
$a^{-1}\cdot b^{-1} = (a\cdot b)^{-1}$ für $a,b \neq 0_{\cal K}$
$a\cdot 0_{\cal K} = 0_{\cal K}$
$a\cdot (-b) = -(a\cdot b)$
$(-1)\cdot a = -a$
$(-a)\cdot (-b) = a\cdot b$
$a\cdot (b-c) = a\cdot b - a\cdot c$
$\cal K$ ist nullteilerfrei, d. h.: \[ a \cdot b = 0_{\cal K} \Rightarrow a = 0_{\cal K} \vee b = 0_{\cal K} \]
Regeln für das Bruchrechnen: \begin{eqnarray*} \frac{a}{c} + \frac{b}{d} & = & \frac{a\cdot d + b \cdot c}{c\cdot d} \quad \text{für } c,d \neq 0_{\cal K} \\ \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d} & = & \frac{a\cdot b}{c\cdot d} \quad \text{für } c,d \neq 0_{\cal K} \\ \frac{a/c}{b/d} & = & \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \quad \text{für } b,c,d \neq 0_{\cal K} \end{eqnarray*}
Beweis
Ich gebe in den Beweisen die Körperaxiome, die ich anwende, jeweils an. "A" bedeutet Assoziativgesetz, "K" Kommutativgesetz, "N" Neutrales Element, "I" Inverses Element und "D" Distributivgesetz. Für die ersten vier Gesetze steht hinter dem Buchstaben jeweils ein "$+$" oder ein "$\cdot$", um deutlich zu machen, ob sich das Gesetz auf die Addition oder die Multiplikation bezieht.
Es gilt \[ (-a) + a \stackrel{K+}{=} a + (-a) \stackrel{I+}{=} 0_{\cal K}. \] Also ist $a$ das additiv inverse Element zu $(-a)$, d. h. $-(-a) = a$.
-
Es gilt \[ (a+b) + ((-a) + (-b)) \stackrel{A+,K+}{=} (a + (-a)) + (b + (-b)) \stackrel{N+}{=} 0_{\cal K} + 0_{\cal K} \stackrel{N+}{=} 0_{\cal K}. \] Also ist $(-a) + (-b)$ das additiv inverse Element zu $a+b$, d. h. $(-a) + (-b) = -(a+b)$.
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Es gilt \[ a^{-1} \cdot a \stackrel{K\cdot}{=} a \cdot a^{-1} \stackrel{I\cdot} = 1_{\cal K}. \] Also ist $a$ das multiplikativ inverse Element zu $a^{-1}$, d. h. $\left(a^{-1}\right)^{-1} = a$.
-
Es gilt \[ (a\cdot b) \cdot (a^{-1}\cdot b^{-1}) \stackrel{A\cdot, K\cdot}{=} (a\cdot a^{-1})\cdot(b\cdot b^{-1}) \stackrel{N\cdot}{=} 1_{\cal K}\cdot 1_{\cal K} \stackrel{N\cdot}{=} 1_{\cal K}. \] Also ist $a^{-1}\cdot b^{-1}$ das multiplikativ inverse Element zu $a\cdot b$, d. h. $a^{-1}\cdot b^{-1} = (a\cdot b)^{-1}$.
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Es gilt \[ a + a\cdot 0_{\cal K} \stackrel{N\cdot}{=} a\cdot 1_{\cal K} + a\cdot 0_{\cal K} \stackrel{D}{=} a\cdot(1_{\cal K}+0_{\cal K}) \stackrel{N+}{=} a\cdot 1_{\cal K} \stackrel{N\cdot}{=} a. \] Also ist $a\cdot 0_{\cal K}$ das neutrale Element der Addition, d. h. $a\cdot 0_{\cal K} = 0_{\cal K}$.
-
Es gilt \[ (a\cdot b) + (a\cdot(-b)) \stackrel{D}{=} a\cdot(b + (-b)) \stackrel{N+}{=} a\cdot 0_{\cal K} \stackrel{\text{(v)}}{=} 0_{\cal K}. \] Also ist $a\cdot(-b)$ das inverse Element der Addition zu $a\cdot b$, d. h. $a\cdot(-b) = -(a\cdot b)$.
\[ (-1_{\cal K})\cdot a \stackrel{K\cdot}{=} a \cdot (-1_{\cal K}) \stackrel{\text{(vi)}}{=} -(a\cdot 1_{\cal K}) \stackrel{N\cdot}{=} -a \]
-
Zunächst gilt \[ (-1_{\cal K})\cdot (-1_{\cal K}) \stackrel{\text{(vii)}}{=} -(-1_{\cal K}) \stackrel{\text{(i)}}{=} 1_{\cal K}. \] Damit ergibt sich \[ (-a)\cdot (-b) \stackrel{\text{(vii)}}{=} ((-1_{\cal K})\cdot a)\cdot ((-1_{\cal K})\cdot b) \stackrel{A\cdot,K\cdot}{=} a \cdot b \cdot (-1_{\cal K})\cdot(-1_{\cal K}) = a\cdot b \cdot 1_{\cal K} \stackrel{N\cdot}{=} a\cdot b. \]
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\[ a \cdot (b-c) \stackrel{Def.}{=} a\cdot (b + (-c)) \stackrel{D}{=} a\cdot b + a \cdot (-c) \stackrel{\text{(vi)}}{=} a\cdot b + (-(a\cdot c)) \stackrel{Def.}{=} a\cdot b - a\cdot c \]
-
Wir machen eine Fallunterscheidung.
Es gelte $a=b=0_{\cal K}$. Dann ist die Aussage offensichtlich erfüllt.
Es gelte $b \neq 0_{\cal K}$. Damit ergibt sich \begin{align} & a \cdot b = 0_{\cal K} \\ \Rightarrow\quad & a\cdot b \cdot b^{-1} = 0_{\cal K}\cdot b^{-1} \\ \Rightarrow\quad & a = 0_{\cal K}. \end{align}
Es gelte $a \neq 0_{\cal K}$. Damit ergibt sich \begin{align} & a \cdot b = 0_{\cal K} \\ \Rightarrow\quad & a\cdot b \cdot a^{-1} = 0_{\cal K}\cdot a^{-1} \\ \Rightarrow\quad & a\cdot a^{-1} \cdot b = 0_{\cal K} \\ \Rightarrow\quad & b = 0_{\cal K}. \end{align}
Damit ist die Aussage bewiesen.
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Bruchregel zum Addieren: \begin{eqnarray*} \frac{a}{c} + \frac{b}{d} & = & ac^{-1} + bd^{-1} \\ & = & (ac^{-1} + bd^{-1}) (cc^{-1}dd^{-1}) \\ & = & (ac^{-1} + bd^{-1}) (cd)(c^{-1}d^{-1}) \\ & = & (ac^{-1}cd + bd^{-1}cd) (c^{-1}d^{-1}) \\ & = & (ad + bc)(c^{-1}d^{-1}) \\ & = & (ad + bc)(cd)^{-1} \\ & = & \frac{ad+bc}{cd} \end{eqnarray*}
Bruchregel zum Multiplizieren: \begin{eqnarray*} \frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d} & = & (ac^{-1})\cdot(bd^{-1}) \\ & = & a b c^{-1} d^{-1} \\ & = & a b (c d)^{-1} \\ & = & \frac{ab}{cd} \end{eqnarray*}
Bruchregel zum Dividieren: \begin{eqnarray*} \frac{a/c}{b/d} & = & (a c^{-1}) \left(b d^{-1}\right)^{-1} \\ & = & a c^{-1} b^{-1} \left(d^{-1}\right)^{-1} \\ & = & a c^{-1} b^{-1} d \\ & = & a d (bc)^{-1} \\ & = & \frac{ad}{bc} \end{eqnarray*}
Körper der reellen Zahlen
Jetzt können wir unser erstes Axiom für die reellen Zahlen aufstellen. Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit $\R$.
Wir wollen mit reellen Zahlen mittels der üblichen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) rechnen können. Daher fordern wir per Axiom, dass die Menge $\R$ der reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Körper bildet.
Axiom
$(\R, +, \cdot)$ ist ein Körper.Wenn wir uns im Körper $\R$ bewegen, schreiben wir ab sofort einfach $0$ statt $0_\R$ für das neutrale Element der Addition und $1$ statt $1_\R$ für das neutrale Element der Multiplikation.
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