Diese Blog-Folge bietet Dir die Gelegenheit, Partialbruchzerlegungen zu üben.
Die Partialbruchzerlegung ist eine wichtige Technik, die man als Student eines mathematisch orientierten Studiengangs unbedingt beherrschen sollte. Also muss die Partialbruchzerlegung geübt werden. Diese Blog-Folge präsentiert vier Partialbruchzerlegungen als Übung inklusive der zugehörigen Lösungen.
Übung 1
Führen Sie für \[ \frac{x + 16}{x^2 - x -2} \] eine Partialbruchzerlegung durch.
Als erstes bestimmen wir die Nullstellen des Polynoms im Nenner mit der $p$-$q$-Formel. \[ x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} = 2 \text{ bzw. } -1. \] Also gilt $x^2 - x -2 = (x-2)(x+1)$.
Somit existieren $A,B\in\R$, so dass \[ \frac{x + 16}{x^2 - x -2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \] gilt. Wir ermitteln nun die unbekannten Zahlen $A, B$: \begin{eqnarray*} \frac{x + 16}{x^2 - x -2} & = & \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \\ & = & \frac{A(x+1) + B(x-2)}{(x-2)(x+1)} \\ & = & \frac{(A+B)x + (A-2B)}{x^2 - x -2}. \end{eqnarray*} Ein Koeffizientenvergleich ergibt das lineare Gleichungssystem \[ \begin{array}{rcrcr} A & + & B & = & 1 \\ A & - & 2B & = & 16 \end{array} \] mit der Lösung $A=6$ und $B=-5$. Also gilt \[ \frac{x + 16}{x^2 - x -2} = \frac{6}{x-2} - \frac{5}{x+1}. \]
Übung 2
Führen Sie eine Partialbruchzerlegung für \[ \frac{x-1}{x^2-6x+9} \] durch.
Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind \[ x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9-9} = 3 \pm 0 = 3. \] Damit ist $3$ eine doppelte Nullstelle, es gilt also $x^2- 6x + 9 = (x-3)^2$.
Somit existieren $A,B\in\R$ mit \[ \frac{x-1}{x^2-6x+9} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)^2}. \] Wir ermitteln die unbekannten Zahlen $A,B$: \begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x^2-6x+9} & = & \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)^2} \\ & = & \frac{A(x-3)+B}{(x-3)^2} \\ & = & \frac{Ax+(-3A+B)}{(x-3)^2}. \end{eqnarray*} Mit Koeffizientenvergleich folgt $A=1$ und damit $-3+B=-1$ und somit $B=2$. Also gilt \[ \frac{x-1}{x^2-6x+9} = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{(x-3)^2} \]
Übung 3
Führen Sie für \[ \frac{4x}{x^2-2} \] eine Partialbruchzerlegung durch.
Das Nennerpolynom hat die Nullstellen $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$ womit $x^2 - 2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ gilt.
Somit existieren $A,B\in\R$ mit \[ \frac{4x}{x^2-2} = \frac{A}{x-\sqrt{2}} + \frac{B}{x+\sqrt{2}}. \] Wir ermitteln die unbekannten Zahlen $A,B$: \begin{eqnarray*} \frac{4x}{x^2-2} & = & \frac{A}{x-\sqrt{2}} + \frac{B}{x+\sqrt{2}} \\ & = & \frac{A(x+\sqrt{2}) + B(x-\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})} \\ & = & \frac{(A+B)x + (A\sqrt{2} - B\sqrt{2})}{x^2-2}. \end{eqnarray*} Mit einem Koeffizientenvergleich folgt $A\sqrt{2} - B\sqrt{2} = 0$ und somit $A=B$. Damit ergibt sich wiederum $A+A=4$ und somit $A=B=2$. Also gilt \[ \frac{4x}{x^2-2} = \frac{2}{x-\sqrt{2}} + \frac{2}{x+\sqrt{2}}. \]
Übung 4
Geben Sie die Partialbruchzerlegung von \[ \frac{2x^2-13x+22}{x^3-10x^2+32x-32} \] an.
Wir können leicht eine Nullstelle des Nennerpolynoms raten. Es gilt \[ 2^3 - 10\cdot 2^2 + 32\cdot 2 - 32 = 8 - 40 + 64 - 32 = 0. \] Somit ist $x_1=2$ eine Nullstelle des Nennerpolynoms. Mit Polynomdivision erhalten wir \[ (x^3-10x^2+32x-32) : (x-2) = x^2 - 8x + 16. \] Als Nullstellen des verbleibenden Polynoms erhalten wir \[ x_{2,3} = 4 \pm \sqrt{16-16} = 4. \] Also ist $4$ eine zweifache Nullstelle und es gilt $x^3-10x^2+32x-32 = (x-2)(x-4)^2$.
Somit existieren Zahlen $A,B,C \in \R$ mit \[ \frac{2x^2-13x+22}{x^3-10x^2+32x-32} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{(x-4)^2} + \frac{C}{x-2}. \] Wir ermitteln die unbekannten Zahlen $A,B,C$: \begin{eqnarray*} \frac{2x^2-13x+22}{x^3-10x^2+32x-32} & = & \frac{A}{x-4} + \frac{B}{(x-4)^2} + \frac{C}{x-2} \\ & = & \frac{A(x-4)(x-2) + B(x-2) + C(x-4)^2}{(x-4)^2(x-2)} \\ & = & \frac{A(x^2-6x+8) + B(x-2) + C(x^2-8x+16)}{x^3-10x^2+32x-32} \\ & = & \frac{(A+B)x^2 + (-6A+B-8C)x + (8A-2B+16C)}{x^3-10x^2+32x-32}. \end{eqnarray*} Ein Koeffizientenvergleich ergibt das lineare Gleichungssystem \[ \begin{array}{rcrcrcr} A & & & + & C & = & 2 \\ -6A & + & B & - & 8C & = & 13 \\ 8A & - & 2B & + & 16C & = & 22 \end{array} \] mit der Lösung $A=B=C=1$. Also gilt \[ \frac{2x^2-13x+22}{x^3-10x^2+32x-32} = \frac{1}{x-4} + \frac{1}{(x-4)^2} + \frac{1}{x-2}. \]
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