Mit der Partialbruchzerlegung können wir einen Quotienten von Polynomen in eine Summe einfacherer Terme zerlegen.
Für rekursiv definierte Folgen $(a_n)$ ist die Funktion, die von der Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ dargestellt wird, oft eine rationale Funktion \[ \frac{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_0}{c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \cdots + c_0}, \] also ein Quotient zweier Polynome. Um diese Funktion weiter analysieren zu können, bietet es sich an, sie in einfachere Terme zu zerlegen. Die Technik, mit der dieses möglich ist, ist die Partialbruchzerlegung.
Wir behandeln hier nur Partialbruchzerlegungen, bei denen das Polynom im Nenner ausschließlich reelle Nullstellen hat. Auf Partialbruchzerlegungen mit komplexen Nullstellen gehe ich in einer späteren Blog-Folge in Zusammenhang mit Integralen ein.
Satz (Partialbruchzerlegung)
Es seien $Z(x)$ und $N(x)$ Polynome, wobei der Grad von $Z(x)$ kleiner als der Grad von $N(x)$ ist und $N(x)$ nur reelle Nullstellen hat. Weiterhin sei
- $m$ die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von $N(x)$,
- $x_1,x_2, \ldots,x_m$ seien diese Nullstellen und
- für $i=1,\ldots,m$ sei $r_i$ die Vielfachheit der Nullstelle $x_i$.
Dann existieren $a_{ij}~(1\leq i \leq m, 1 \leq j \leq r_i)$ mit \[ \frac{Z(x)}{N(x)} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}. \]
Die drei Punkte in der Aufzählung bei den Voraussetzungen bedeuten, dass das Nennerpolynom $N(x)$ die Form \[ N(x) = (x-x_1)^{r_1} (x-x_2)^{r_2} \cdots (x-x_m)^{r_m} \] hat. Diese muss man bestimmen, bevor man die Partialbruchzerlegung durchführen kann.
Die Einschränkung, dass der Grad des Zählerpolynoms $Z(x)$ kleiner als der Grad des Nennerpolynoms $N(x)$ sein muss, ist unwesentlich. Sollte dies nicht der Fall sein, können wir vor der Partialbruchzerlegung eine Polynomdivision durchführen und $Z(x)/N(X)$ in der Form \[ \frac{Z(x)}{N(x)} = P(x) + \frac{\tilde{Z}(x)}{N(x)} \] darstellen. Das Polynom $P(x)$ ist dabei der ganze Teil der Polynomdivision, während $\tilde{Z}(X)$ den Rest darstellt. Das Polynom $\tilde{Z}(x)$ hat dann auf jeden Fall einen Grad, der kleiner als der von $N(x)$ ist.
Der Satz über die Partialbruchzerlegung sagt nur aus, dass reelle Zahlen $a_{ij}$ existieren, so dass sich $Z(x)/N(x)$ als Summe von Termen der Form $\frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}$ schreiben lässt. Unklar ist an dieser Stelle noch, wie wir diese Zahlen $a_{ij}$ bestimmen können. Hierzu bildet wir durch passende Erweiterung wieder $N(x)$ als den Hauptnenner der $(x-x_i)^j$. Anschließend können wir die $a_{ij}$ durch Koeffizientenvergleich und die Lösung eines linearen Gleichungssystems ermitteln. Um zu sehen, wie dies genau geht, schauen wir uns zwei Beispiele an.
Beispiel
Wir führen für \[ \frac{5x - 7}{x^2 - 5x + 6} \] eine Partialbruchzerlegung durch. Zunächst müssen wir die Nullstellen des Nennerpolynoms bestimmen. Mit der $p$-$q$-Formel erhalten wir \begin{eqnarray*} x_{1,2} & = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 6} \\ & = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ & = & \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\ & = & 3 \text{ bzw. } 2. \end{eqnarray*} Die Vielfachheiten der Nullstellen sind demnach $1$ und es gilt $x^2 -5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
Mit dem Satz zur Partialbruchzerlegung folgt, dass $A,B \in \R$ existieren, so dass \[ \frac{5x - 7}{x^2 - 5x + 6} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} \] gilt. Um $A$ und $B$ zu bestimmen, bringen wir die beiden Brüche wieder auf den Hauptnenner und ermitteln im Zähler die Koeffizienten der Potenzen von $x$. \begin{eqnarray*} \frac{5x - 7}{x^2 - 5x + 6} & = & \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} \\ & = & \frac{A(x-3) + B(x-2)}{(x-2)(x-3)} \\ & = & \frac{(A+B)x + (-3A -2B)}{x^2 - 5x + 6} \end{eqnarray*} Jetzt führen wir im Zähler einen Koeffizientenvergleich durch. Damit der letzte Term zum Ausgangsterm identisch ist, muss $A+B=5$ und $-3A -2B = -7$ gelten. Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit der Lösung $A=-3$ und $B=8$. Also gilt \[ \frac{5x - 7}{x^2 - 5x + 6} = \frac{8}{x-2} - \frac{3}{x-3}. \]
Das nächste Beispiel zeigt, wie wir mit Vielfachheiten bei Nullstellen des Nennerpolynoms umgehen.
Beispiel
Wir führen eine Partialbruchzerlegung für \[ \frac{2x^2 - 14}{x^3 + 3x^2 -9x + 5} \] durch. Wegen \[ 1^3 + 3\cdot 1^2 - 9\cdot 1 + 5 = 1 + 3 - 9 + 5 = 0 \] hat das Nennerpolynom die Nullstelle $x_1 = 1$. Mit Polynomdivision erhalten wir \[ (x^3 + 3x^2 -9x + 5) : (x-1) = x^2 + 4x - 5. \] Jetzt können wir mit der $p$-$q$-Formel die Nullstellen des verbliebenen Polynoms $x^2 + 4x - 5$ bestimmen. Diese sind $1$ und $-5$. Also ist $1$ eine zweifache Nullstelle und $-5$ eine einfache Nullstelle. Somit gilt $x^3 + 3x^2 -9x + 5 = (x-1)^2 (x+5)$.
Mit dem Satz zur Partialbruchzerlegung folgt, dass $A,B,C\in\R$ existieren, so dass \[ \frac{2x^2 - 14}{x^3 + 3x^2 -9x + 5} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+5} \] gilt. Um $A,B,C$ zu bestimmen, bringen wir wieder die Brüche auf den Hauptnenner. \begin{eqnarray*} \frac{2x^2 - 14}{x^3 + 3x^2 -9x + 5} & = & \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+5} \\ & = & \frac{A(x-1)(x+5) + B(x+5) + C(x-1)^2}{(x-1)^2(x-5)} \\ & = & \frac{A(x^2 + 4x - 5) + B(x+5) + C(x^2 -2x + 1)}{x^3 + 3x^2 -9x + 5} \\ & = & \frac{(A+C)x^2 + (4A+B-2C)x + (-5A +5B + C)}{x^3 + 3x^2 -9x + 5} \end{eqnarray*} Ein Koeffizientenvergleich ergibt das lineare Gleichungssystem \[ \begin{array}{rcrcrcr} A & & & + & C & = & 2 \\ 4A & + & B & - & 2C & = & 0 \\ -5A & + & 5B & + & C & = & -14 \end{array} \] mit der Lösung $A=C=1$ und $B=-2$. Also gilt \[ \frac{2x^2 - 14}{x^3 + 3x^2 -9x + 5} = \frac{1}{x-1} - \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{x+5}. \]
Teilen und Drucken