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Analysis-Blog: Folge 61

Funktionenfolgen und deren Konvergenz

Wenn Folgenglieder keine Zahlen sondern Funktionen sind


Peter Becker

veröffentlicht: 18 Oct 2024, zuletzt geändert: 27 Nov 2024 16:01

Schlüsselwörter: Funktionenfolge, Konvergenz, punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz, Grenzfunktion

Der Begriff der Funktionenfolge

Wir haben Folgen als Abbildungen der Form $a:\N \rightarrow M$ kennengelernt, d. h. jeder natürlichen Zahl $n\in \N$ wird ein Folgenglied $a_n \in M$ zugeordnet. Bis auf ganz wenige Ausnahmen war dabei die Menge $M$ der Folgenglieder bisher identisch mit $\R$ oder $\C$. Wir haben also immer Zahlenfolgen betrachtet.

Dies ändert sich in dieser Blog-Folge. Hier betrachten wir als $M$ keine Zahlenmenge sondern eine Menge von Funktionen. Unsere Folgenglieder sind also Funktionen statt Zahlen. Solch eine Funktion hängt dabei in irgendeiner Weise von $n$ ab, d. h. die Funktionsdefinition enthält $n$ als Parameter.

Betrachten wir hierzu ein erstes Beispiel. Es sei $(f_n)$ eine Folge mit $f_n: [0,1] \rightarrow \R$ als Folgenglieder, also Funktionen, die das abgeschlossene Intervall $[0,1]$ in die reellen Zahlen abbilden. Z. B. könnten die Folgenglieder die Funktionen \[ f_n(x) = x^n \] sein, eingeschränkt auf den Definitionsbereich $[0,1]$. Dann hätten wir als erste Folgenglieder: \[ f_1(x) = x, f_2(x) = x^2, f_3(x) = x^3, \ldots \] Die nachfolgende Grafik veranschaulicht einige dieser Funktionen.

Funktionenfolge
Quelle: Daniel Grieser, Analysis I, Springer, 2015

Nachdem wir nun eine erste Vorstellung davon haben, was eine Funktionenfolge ist, definieren wir den Begriff exakt.

Definition

Eine Funktionenfolge ist eine Folge, deren Folgenglieder Funktionen $f_n:D \rightarrow B$ sind. Dabei müssen alle Funktionen $f_n$ den gleichen Definitionsbereich $D$ und den gleichen Bildbereich $B$ haben.

Wir gehen im folgenden stets davon aus, dass der Definitionsbereich $D$ und der Bildbereich $B$ bei Funktionenfolgen Teilmengen von $\R$ oder $\C$ sind. Als Bildbereich $B$ wählen wir in den meisten Fällen einfach $\R$.

Jetzt stellt sich uns natürlich sofort die Frage, ob wir auch bei Funktionenfolgen von Konvergenz sprechen können. Analog zu konvergenten Zahlenfolgen, bei denen sich die Folgenglieder $a_n$ immer stärker einem Grenzwert $a$ nähern, müssten sich bei einer konvergenten Funktionenfolge die Funktionen $f_n(x)$ immer stärker einer Grenzfunktion $f(x)$ nähern. Dies ist natürlich möglich. Wir werden aber gleich sehen, dass wir diese Annäherung mathematisch unterschiedlich definieren können, wodurch, anders als bei Zahlenfolgen, unterschiedliche Konvergenzbegriffe entstehen. Während es bei Zahlenfolgen also nur einen Konvergenzbegriff gibt, eine Zahlenfolge ist entweder konvergent oder nicht, betrachten wir bei Funktionenfolgen zwei verschiedene Arten der Konvergenz. Diese beiden unterschiedlichen Konvergenzbegriffe sind das Thema der nächsten beiden Abschnitte.

Punktweise Konvergenz

Wenn wir ein festes $x$ aus dem gemeinsamen Definitionsbereich $D$ der Funktionen $f_n: D \rightarrow B$ einer Funktionenfolge betrachten, dann ist $(f_n(x))$ eine Zahlenfolge. Wenn nun die Zahlenfolgen $(f_n(x))$ für alle $x$ aus dem Definitionsbereich konvergent sind, dann sprechen wir von punktweiser Konvergenz. Die Grenzfunktion hat als Funktionswerte dann die Grenzwerte dieser Zahlenfolgen.

Definition

Es sei $D \subseteq \R$ und $f_n: D \rightarrow \R$ für $n\in\N$.

Dann heißt die Funktionenfolge $(f_n)$ punktweise konvergent gegen eine Funktion $f: D \rightarrow \R$, wenn für alle $x\in D$ gilt: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x). \] In Quantorenschreibweise bedeutet dies: \[ \forall x \in D\,\forall \epsilon> 0\,\exists n_0 \in \N\,\forall n \geq n_0: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon. \]

Schaue Dir die Quantorenschreibweise für die punktweise Konvergenz genau an! Du wirst feststellen, dass hinter dem ersten Allquantor "$\forall x \in D$" genau die Grenzwertdefinition für Zahlenfolgen steht, mit $f_n(x)$ als $n$-tes Folgenglied und $f(x)$ als Grenzwert. Wir halten also nochmals fest: Eine Funktionenfolge $(f_n)$ ist genau dann punktweise konvergent, wenn für jedes $x\in D$ die Zahlenfolge $(f_n(x))$ konvergent ist.

Beispiel

Wir betrachten wieder die Funktionenfolge $(f_n)$ mit $f_n:[0,1] \rightarrow \R, x \mapsto x^n$.

Für $0 \leq x < 1$ gilt \[ \lim_{n\rightarrow \infty} x^n = 0. \] Für $x=1$ gilt $x^n=1$ für alle $n\in\N$ und somit \[ \lim_{n\rightarrow \infty} x^n = 1. \] Also konvergiert die Funktionenfolge $(f_n)$ punktweise gegen die Grenzfunktion \[ f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{für } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{für } x=1. \end{array} \right. \]

Beachte, dass im voranstehenden Beispiel die Grenzfunktion $f(x)$ unstetig ist, obwohl alle Folgenglieder $f_n(x)$ stetige Funktionen sind. Ähnliche Effekte kennen wir aber auch schon von Zahlenfolgen. Eine Eigenschaften, die von allen Folgenglieder einer Zahlenfolge erfüllt wird, kann vom Grenzwert durchaus verletzt werden. So gilt ja beispielsweise $\frac{1}{n} > 0$ für alle $n\in\N$, aber $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} = 0$ und somit nicht mehr größer als $0$.

Gleichmäßige Konvergenz

Ich beginne direkt mit der Definition der gleichmäßigen Konvergenz und erkläre anschließend, worin der Unterschied zur punktweisen Konvergenz besteht.

Definition

Es sei $D \subseteq \R$ und $f_n: D \rightarrow \R$ für $n\in\N$.

Dann heißt die Funktionenfolge $(f_n)$ gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion $f: D \rightarrow \R$, wenn gilt: \[ \forall \epsilon> 0\,\exists n_0 \in \N\,\forall n \geq n_0\,\forall x \in D: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon. \]

Die Definition der beiden Konvergenzbegriffe sieht in Quantorenschreibweise fast identisch aus. Punktweise konvergent bedeutet: \[ \forall x \in D\,\forall \epsilon> 0\,\exists n_0 \in \N\,\forall n \geq n_0: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon. \] Demgegenüber bedeutet gleichmäßig konvergent: \[ \forall \epsilon> 0\,\exists n_0 \in \N\,\forall n \geq n_0\,\forall x \in D: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon. \] Siehst Du den Unterschied?

Während bei der punktweisen Konvergenz der Allquantor "$\forall x \in D$" ganz außen und damit vor dem Existenzquantor "$\exists n_0\in\N$" steht, ist dies bei der gleichmäßigen Konvergenz genau umgekehrt. Dort steht der Allquantor "$\forall x \in D$" hinter dem Existenzquantor "$\exists n_0\in\N$". Dies macht einen fundamentalen Unterschied.

Aus den logischen Grundlagen solltest Du wissen, dass es in der Prädikatenlogik zwar erlaubt ist, gleiche Quantoren zu vertauschen, also zwei Existenzquantoren oder zwei Allquantoren, Du unterschiedliche Quantoren aber nicht vertauschen darfst. Wenn Dir sofort klar ist, warum dies so ist, dann kannst Du das nächste Beispiel überspringen. Ansonsten nutze es, um Deine Logikkompetenz zu schärfen.

Beispiel

Es sei $M=\{1,2,3\}$ und $R = \{(1,2),(1,3),(2,1),(3,2)\} \subseteq M \times M$ eine Relation über $M$.

Dann ist die Aussage \[ \forall x\in M\,\exists y\in M : (x,y) \in R. \] wahr, denn für $x=1$ existiert z. B. $y=2$, für $x=2$ existiert $y=1$ und für $x=3$ existiert $y=2$, so dass das Tupel $(x,y)$ in der Relation $R$ enthalten ist.

Demgegenüber ist die Aussage \[ \exists y\in M\,\forall x \in M: (x,y) \in R \] mit vertauschten Quantoren falsch. Hier wird verlangt, dass ein $y\in M$ existiert, so dass $(1,y)$, $(2,y)$ und $(3,y)$ in $R$ enthalten sind. Dies ist aber für kein $y\in M$ der Fall.

Worin besteht der Unterschied? Während bei der ersten Aussage das $y$, dessen Existenz verlangt wird, von $x$ abhängen darf, ist dies bei der zweiten Aussage nicht der Fall. Hier wird ein einzelnes $y$ verlangt, das für alle $x$ die nachfolgende Aussage $(x,y)\in R$ wahr macht.

Für ein beliebiges Prädikat $P$ gilt aber immer \[ (\exists y \forall x: P(x,y)) \quad\Longrightarrow \quad (\forall x \exists y: P(x,y)). \] Damit ist die linke Aussage die stärkere.

Jetzt schauen wir uns an, was die Unterschiede in der Reihenfolge der beiden Quantoren "$\forall x \in D$" und "$\exists n_0\in\N$" konkret bedeuten. Während bei der punktweisen Konvergenz der Index $n_0$ von $x$ abhängen darf, weil "$\exists n_0\in\N$" hinter "$\forall x \in D$" steht, ist dies bei der gleichmäßigen Konvergenz nicht erlaubt. Daher muss bei der gleichmäßigen Konvergenz der Index $n_0$ unabhängig von $x$ sein. Wir müssen dort zu einem beliebigem $\epsilon > 0$ ein einzelnes $n_0 \in \N$ finden, dass für alle $x\in D$ funktioniert, also $|f_n(x) - f(x)|$ für jedes $x \i D$ kleiner als $\epsilon$ werden lässt.

Die folgende Grafik veranschaulicht den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz: Ab dem Index $n_0$ müssen die Funktionen $f_n$ in einem Schlauch um die Grenzfunktion $f$ mit Radius $\epsilon$ liegen.

Gleichmäßige Konvergenz
Quelle: Daniel Grieser, Analysis I, Springer, 2015

Aus diesen Ausführungen folgt auch, dass die gleichmäßige Konvergenz der strengere Konvergenzbegriff ist.

Korollar

Eine Funktionenfolge $(f_n)$, die gleichmäßig konvergent ist, ist stets auch punktweise konvergent.

Das folgende Lemma (ohne Beweis) liefert eine äquivalente Charakterisierung für die gleichmäßige Konvergenz.

Lemma

Eine Funktionenfolge $(f_n)$ konvergiert genau dann gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion $f$, wenn \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{x\in D} |f_n(x) - f(x)| = 0 \] gilt.

Gemäß der Lemmaaussage bedeutet gleichmäßige Konvergenz, dass der größte Abstand, der zwischen zwischen $f_n(x)$ und $f(x)$ auf dem Definitionsbereich existiert, gegen $0$ geht.

Wir hatten oben die Funktionenfolge $(f_n)$ mit $f_n(x) = x^n$ betrachtet und bewiesen, dass sie punktweise konvergent ist. Aber ist sie auch gleichmäßig konvergent? Die Antwort ist nein, diese Funktionfolge ist nicht gleichmäßig konvergent. Ich verzichte an dieser Stelle aber auf den Beweis hierfür, denn im nächsten Abschnitt werden wir einen Satz kennenlernen, aus dem sich dies unmittelbar ergibt.

Wir sollten uns aber zumindest mal eine Funktionenfolge anschauen, die gleichmäßig konvergent ist.

Beispiel

Wir betrachten die Funktionenfolge $(f_n)$ mit $f_n: \R \rightarrow \R$ und \[ f_n(x) = x + \frac{1}{n}. \] Diese Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion \[ f(x) = x. \]

Beweis: Sei $\epsilon > 0$ beliebig. Wähle ein $n_0 \in \N$ mit $n_0 > \frac{1}{\epsilon}$.

Dann gilt für alle $n\geq n_0$ und alle $x\in\R$: \[ |f_n(x) - f(x)| = |x+\frac{1}{n} - x| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} < \epsilon. \]

Stetigkeit der Grenzfunktion

Bei der Funktionenfolge $(f_n)$ mit $f_n(x) = x^n$ konnten wir beobachten, dass die Grenzfunktion unstetig ist, obwohl die Folgenglieder $f_n(x)$ stets stetige Funktionen sind. Der folgende Satz zeigt, dass dies bei gleichmäßiger Konvergenz nicht passieren kann.

Satz

Wenn eine Funktionenfolge $(f_n)$ stetiger Funktionen gleichmäßig gegen eine Funktion $f$ konvergiert, dann ist $f$ stetig.

Beweis

Wir zeigen die Stetigkeit der Grenzfunktion mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium: \[ \forall\epsilon > 0 \exists\delta > 0\forall x \in D: |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon. \]

Es sei also $x_0\in D$ beliebig. Damit zeigen wir die Stetigkeit an einer beliebigen Stelle $x_0\in D$, womit $f(x)$ dann auf ganz $D$ stetig ist.

Es sei $\epsilon > 0$ beliebig. Wir definieren $\epsilon' := \frac{\epsilon}{3} > 0$.

Da $(f_n)$ gleichmäßig konvergiert, existiert ein $n_0\in\N$, so dass für alle $n\geq n_0$ und alle $x\in D$ gilt: \[ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon'. \] Insbesondere gilt dies auch für $x_0$, also \[ |f_n(x_0) - f(x_0)| < \epsilon'. \] Wir wählen irgendein festes $n \geq n_0$ und nutzen die Stetigkeit von $f_n(x)$ aus. Danach existiert ein $\delta > 0$, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_0| < \delta$ gilt: \[ |f_n(x) - f_n(x_0)| < \epsilon'. \] Dieses für $f_n$ existierende $\delta$ soll auch das $\delta$ für unseren Beweis mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium sein.

Damit haben wir unser $\delta$ festgelegt. Jetzt müssen wir noch den Teil der Aussage zeigen, der im $\epsilon$-$\delta$-Kriterium hinter "$\exists \delta > 0$" steht, also \[ \forall x \in D: |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon. \]

Es sei also $x\in D$ mit $|x - x_0| < \delta$ beliebig. Wir müssen dann nachweisen, dass $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ gilt. Dazu wollen wir die drei Ungleichungen von oben mit $\epsilon'$ auf der rechten Seite nutzen. Dies gelingt uns durch eine geschickte Anwendung der Dreiecksungleichung. \begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| & = & |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)| \\ & \leq & |f(x) - f_n(x)|+ |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\ & < & \epsilon' + \epsilon' + \epsilon' \\ & = & \epsilon. \end{eqnarray*} Der wesentliche Trick steht hier schon in der ersten Zeile. Wir erweitern den Ausdruck $|f(x) - f(x_0)|$ sowohl mit $-f_n(x) + f_n(x) = 0$ als auch mit $- f_n(x_0) + f_n(x_0) = 0$. Danach wenden wir die Dreiecksungleichung und die drei Ungleichungen von oben an.

Damit ist der Satz beweisen.

Mit dem letzen Satz können wir nun leicht begründen, dass bei der Funktionenfolge mit $f_n(x) = x^n$ (mit $D=[0,1]$ als Definitionsbereich) keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen kann. Jede der Funktionen $f_n$ ist stetig. Würde die Funktionenfolge $f_n$ gleichmäßig gegen die Grenzfunktion konvergieren, müsste diese demnach stetig sein. Dies ist aber nicht der Fall (siehe Beispiel 1). Also kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

Man kann den letzten Satz auch so interpretieren: Die Stetigkeit der Grenzfunktion ist eine notwendige Bedingung dafür, dass eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig konvergiert.

In der nächsten Blog-Folge nutzen wir unser Wissen über Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz aus, um Potenzreihen auf Stetigkeit zu untersuchen.

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