Die Ermittlung des Konvergenzradius für eine Potenzreihe ist eine typische Klausuraufgabe, wofür in Übung 2 eine Reihe von Beispielaufgaben bereit gestellt werden. Viele dieser Beispiele stammen auch aus Klausuren.
Vorher widmen wir uns in Übung 1 aber noch dem Cauchy-Produkt in Zusammenhang mit Potenzreihen.
Übung 1
- Es sei $z\in\mathbb{C}$ mit $|z| < 1$. Zeigen Sie: \[ \sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)z^n = \frac{2}{(1-z)^3} \] Hinweis: Nutzen Sie in geeigneter Weise ein Cauchy-Produkt. Weiterhin benötigen Sie eine allseits bekannte Summenformel.
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Welche Funktion wird durch die Potenzreihe \[ \sum_{n=0}^\infty (5n^2-2n+7) z^n \] dargestellt?
Hinweis: Bilden Sie eine geeignete Linearkombination bekannter Potenzreihen.
- Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{4n^2-2n}{2^n}. \] Hinweis: Betrachten Sie diese Reihe als Potenzreihe für ein spezielles $z$.
- Wir nutzen im Beweis die bekannte Summenformel \[ 1 + 2 + \cdots + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n (n+1). \] Beweis: \begin{eqnarray*} \frac{2}{(1-z)^3} & = & 2\cdot \frac{1}{1-z}\cdot\frac{1}{(1-z)^2} \\ & = & 2 \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n\right)\cdot\left(\sum_{m=0}^\infty z^m\right) \\ & \stackrel{\textnormal{Cauchy-Produkt}}{=} & 2 \cdot \sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{j=0}^k (j+1) z^j z^{k-j}\right) \\ & = & 2 \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k \underbrace{\left(\sum_{j=0}^k (j+1)\right)}_{=\frac{1}{2}(k+1)(k+2)} \\ & = & 2 \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k \frac{(k+1)(k+2)}{2} \\ & = & \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) z^k \end{eqnarray*}
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Die Reihe aus (i) können wir auch als $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n^2+3n+2)z^n$ schreiben. Weiterhin wissen wir: \[ \sum_{n=0}^\infty z^n = \frac{1}{1-z} \quad\text{und}\quad \sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n = \frac{1}{(1-z)^2}. \] Wir stellen nun die Reihe $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (5n^2-2n+7) z^n$ als Linearkombination dieser Reihen dar. Hierfür müssen wir Faktoren $\alpha, \beta$ und $\gamma$ finden, mit \[ \alpha (n^2+3n+2) + \beta(n+1) + \gamma = 5n^2 - 2n + 7. \] Koeffizientenvergleich für die Koeffizienten von $n^2$ liefert $\alpha = 5$. Dies eingesetzt und Koeffizientenvergleich für $n$ liefert $15+\beta = -2$ also $\beta = -17$. Dies wiederum eingesetzt und der Koeffizientenvergleich für $n^0$ liefert $10-17+\gamma=7$ also $\gamma=14$. Also \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (5n^2-2n+7) z^n & = & 5\sum_{n=0}^\infty (n^3+3n+2)z^n -17\sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n + 14 \sum_{n=0}^\infty z^n \\ & = & \frac{10}{(1-z)^3} - \frac{17}{(1-z)^2} + \frac{14}{1-z}. \end{eqnarray*}
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Es gilt: \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{4n^2-2n}{2^n} = \sum_{n=0}^\infty (4n^2-2n)z^n \text{ für } z=\frac{1}{2}. \] Jetzt suchen wir wie in (ii) eine Linearkombination bekannter Reihen zur Darstellung der Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty (4n^2-2n)z^n$.
Gesucht sind also $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{R}$, so dass \[ \alpha\cdot(n^2+3n+2)+\beta\cdot(n+1) + \gamma = 4n^2 - 2n \] gilt. Ein Koeffizientenvergleich für $n^2$ liefert $\alpha=4$. Dies eingesetzt in den Koeffizientenvergleich für $n$ führt zu $12 + \beta = -2$, also $\beta = -14$. Wieder eingesetzt ensteht $8-14+\gamma = 0$, also $\gamma=6$. Also \[ \sum_{n=0}^\infty (4n^2-2n)z^n = \frac{8}{(1-z)^3} - \frac{14}{(1-z)^2} + \frac{6}{1-z}. \] Für $z=\frac{1}{2}$ erhalten wir: \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{4n^2-2n}{2^n} = \frac{8}{\frac{1}{8}} - \frac{14}{\frac{1}{4}} + \frac{6}{\frac{1}{2}} = 64 -56 + 12 = 20. \]
Übung 2
Ermitteln Sie für die folgenden Potenzreihen jeweils den Konvergenzradius $R$.
- $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^3}$
- $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {2n \choose n} x^n$
- $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n(3z)^{2n}$
- $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^3}\left(\frac{x}{2}\right)^n$
- $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(3n)!}{(n!)^3} x^n$
- $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^2(4z)^{2n}$
- $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n^n} x^n$
- Quotientenkriterium: \[ \left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^3}}{\frac{x^n}{n^3}}\right| = \left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)^3}\cdot\frac{n^3}{x^n}\right| = \underbrace{\frac{n^3}{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}}_{\longrightarrow 1} |x|. \] Also $R=1$.
- Quotientenkriterium: \[ \left|\frac{{2n+2 \choose n+1} x^{n+1}}{{2n \choose n} x^n}\right| = \frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} \cdot \frac{n! n!}{(2n)!} |x| = \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2} |x| = \underbrace{\frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 2n + 1}}_{\longrightarrow 4} |x| \] Aus $4|x| < 1$ folgt $|x| < \frac{1}{4}$. Also $R=\frac{1}{4}$.
- Quotientenkriterium: \[ \left|\frac{(n+1)(3z)^{2n+2}}{n(3z)^{2n}}\right| = \left|\frac{(n+1)(3z)^2}{n}\right| = 9 \underbrace{\frac{n+1}{n}}_{\longrightarrow 1} |z|^2 \] Also konvergiert die Reihe für $|z|^2 < \frac{1}{9}$, also $R=\frac{1}{3}$.
- Quotientenkriterium: \[ \left| \frac{\frac{1}{(n+2)^3}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{(n+1)^3}\left(\frac{x}{2}\right)^n} \right| = \left| \frac{2^n(n+1)^3 x^{n+1}}{2^{n+1}(n+2)^3x^n} \right| = \frac{1}{2} \underbrace{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^3}_{\rightarrow 1} |x| \longrightarrow \frac{1}{2} |x| \] Also $R=2$.
- Quotientenkriterium: \begin{eqnarray*} \left| \frac{\frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3} x^{n+1}}{\frac{(3n)!}{(n!)^3} x^n}\right| & = & \frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3}\cdot\frac{(n!)^3}{(3n)!} |x| \\ & = & \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1)^3}|x| \\ & = & \frac{27n^3 + 54 n^2 + 33n + 6}{n^3+3n^3 + 3n + 1} |x| \longrightarrow 27 |x| \end{eqnarray*} Also $R=\frac{1}{27}$.
- Quotientenkriterium: \[ \left| \frac{(n+1)^2(4z)^{2n+2}}{n^2(4z)^{2n}} \right| = 16 \underbrace{\left(\frac{n+1}{n}\right)^2}_{\rightarrow 1} |z|^2 \longrightarrow 16 |z|^2 \] Also ist die Reihe konvergent f"ur $|z|^2 < \frac{1}{16}$, also für $|z| < \frac{1}{4}$, also $R=\frac{1}{4}$.
- Wurzelkriterium: \[ \sqrt[n]{\left|\frac{3^n}{n^n} x^n\right|} = \frac{3}{n} |x| \longrightarrow 0 \] Also $R=\infty$.
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