Die Exponentialfunktion gehört zu den wichtigsten Funktionen in der Mathematik. In dieser Blog-Folge schauen wir uns die Definition dieser Funktion auf Basis einer Potenzreihe und wichtige daraus resultierende Eigenschaften an.
Definition
In dieser Blog-Folge betrachten wir die Potenzreihe \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}. \] Zunächst möchten wir natürlich wissen, für welche $z\in\mathbb{C}$ diese Potenzreihe konvergiert. Mit dem Quotientenkriterium können wir dies leicht feststellen. Für alle $z\in\mathbb{C}$ gilt \[ \left| \frac{z^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{z^n} \right| = \frac{|z|}{n+1} \longrightarrow 0 < 1. \] Also ist die Potenzreihe für alle $z\in\mathbb{C}$ konvergent, für den Konvergenzradius $R$ gilt $R=\infty$. Dies motiviert die nachfolgende Funktionsdefinition.
Definition
Die durch \begin{eqnarray*} \exp & : & \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\\ & & z \mapsto \exp(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \end{eqnarray*} definierte Funktion heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
Häufig betrachten wir die Exponentialfunktion eingeschränkt auf dem Definitionsbereich $\mathbb{R}$, also die Funktion \begin{eqnarray*} \exp & : & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ & & x \mapsto \exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \end{eqnarray*} Wir sprechen dann von der reellen Exponentialfunktion oder auch einfach wieder nur von der Exponentialfunktion, wenn aus dem Kontext klar ist, dass wir sie in $\mathbb{R}$ betrachten.
Die folgende Graphik zeigt den Verlauf der Exponentialfunktion in einem ausgewähltem Bereich der reellen Zahlen.
Ausgehend von der Null nähert sich die Exponentialfunktion nach links, also in den negativen Bereich, immer stärker der $x$-Achse an, bleibt aber stets überhalb der $x$-Achse. Es gilt also immer $\exp(x) > 0$, was wir auch noch beweisen werden. An der Stelle $0$ nimmt die Exponentialfunktion den Wert $1$ an. Auch dies werden wir weiter unten beweisen. Ausgehend von der Null nach rechts steigt die Exponentialfunktion sehr stark an. Wenn wir genügend weit nach rechts gehen, ist der Anstieg stärker als der eines Polynoms beliebigen Grades. Die Exponentialfunktion schlägt also im Wachstum jedes Polynom.
Funktionalgleichung und Eulersche Zahl
Die Exponentialfunktion erfüllt die folgende wichtige Funktionalgleichung.
Satz
Für alle $x,y\in\mathbb{C}$ gilt \[ \exp(z+w) = \exp(z)\cdot\exp(w). \]
Beweis
Wir nutzen das Cauchy-Produkt: \begin{eqnarray*} \exp(z)\cdot\exp(w) & = & \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\right) \left(\sum_{m=0}^\infty\frac{w^m}{m!}\right) \\ & = & \sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{j=0}^k\frac{z^j}{j!}\cdot\frac{w^{k-j}}{(k-j)!}\right) \\ & = & \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k{k \choose j} z^j w^{k-j}\right) \\ & = & \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (z+w)^k\\ & = & \exp(z+w). \end{eqnarray*} In der zweiten Zeile bilden wir das Cauchy-Produkt. Anschließend nutzen wir die Identität $\frac{1}{j!(k-j)!} = \frac{1}{k!}\binom{k}{j}$. Da $\frac{1}{k!}$ unabhängig von $j$ ist, können wir diesen Faktor außerdem aus der inneren Summe ausklammern. Für die nächste Zeile wenden wir den binomischen Lehrsatz an. Die Reihe, die dadurch entsteht, ist die Definition für $\exp(z+w)$.
Der Funktionswert der Exponentialfunktion an der Stelle $1$ ist die Eulersche Zahl.
Definition
Die Zahl \[ \e := \exp(1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \] heißt Eulersche Zahl.
Die Eulersche Zahl $\e$ spielt in der gesamten Mathematik eine bedeutende Rolle. Es ist eine irrationale Zahl, die somit unendliche viele Nachkommastellen hat. Auf Hundert Nachkommastellen genau beträgt ihr numerischer Wert \[ \e = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274. \] Benannt ist $\e$ nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, der zahlreiche Eigenschaften von $\text{e}$ beschrieb.
Der folgende Satz gibt einige wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion an.
Satz
Es gilt:
- $\exp(0) = 1$,
- $\exp(z)\neq 0$ für alle $z\in\C$,
- $\exp(-z) = \frac{1}{\exp(z)}$ für alle $z\in\C$,
- $\overline{\exp(z)} = \exp(\overline{z})$ für alle $z\in\C$,
- $\exp(x) > 0$ für alle $x\in\R$,
- $\exp(r) = \e^r$ für alle $r\in\mathbb{Q}$.
Beweis
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Einsetzen: $0^0 = 1$, $0!=1$ und $0^n=0$ für $n\geq 1$. Damit ergibt sich \[ \exp(0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{0^n}{n!} = \frac{0^0}{0!} = 1. \]
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Annahme: Es existiert $z\in\mathbb{C}$ mit $\exp(z)=0$. Dann gilt \[ 1 = \exp(0) = \exp(z-z) = \exp(z)\cdot\exp(-z) = 0\cdot\exp(-z) = 0. \] Widerspruch!
Beachte: Die rechte Seite beim dritten $=$ folgt mit dem Additionstheorem der Exponentialfunktion.
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Folgt aus \[ 1 = \exp(0) = \exp(z-z) = \exp(z)\cdot\exp(-z). \]
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Wir betrachte zunächst die Partialsummen: \[ \overline{\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}} = \sum_{k=0}^n \overline{\frac{z^k}{k!}} = \sum_{k=0}^n \frac{\overline{z}^k}{k!}. \] Weiterhin wissen wir: Wenn eine komplexe Folge $(z_n)$ gegen $z$ konvergiert, dann konvergiert die Folge $(\overline{z_n})$ gegen $\overline{z}$. Damit folgt die Aussage.
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Für $x\geq 0$ gilt $\exp(x) = 1 + x + \sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n!} \geq 1 > 0$.
Wegen (iii) gilt dann auch für $x < 0$ die Ungleichung $\exp(x) > 0$.
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$r=0:$ Die Aussage gilt wegen (i).
$r>0$: Dann gilt $r=\frac{p}{q}$ mit $p,q\in\N$ und \begin{eqnarray*} (\exp(r))^q & = & \overbrace{\exp(r)\exp(r) \cdot \ldots \cdot \exp(r)}^{q-\text{mal}} \\ & = & \exp(r + r + \cdots + r) \\ & = & \exp(r\cdot q) \\ & = & \exp(p) \\ & = & \exp(1+1+\cdots + 1) \\ & = & \exp(1)\exp(1)\cdot \ldots \cdot\exp(1) \\ & = & (\exp(1))^p \\ & = & \e^p. \end{eqnarray*} Also: $\exp(r) = \sqrt[q]{\e^p}$.
$r < 0$: Mit (iii), der Fall für $r>0$ und Potenzregeln folgt \[ \exp(r) = \frac{1}{\exp(-r)} = \frac{1}{\e^{-r}} = \e^r. \]
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