Potenzreihen als Funktionenfolgen
Jede Potenzreihe \[ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \] mit Konvergenzradius $R > 0$ können wir als Funktionenfolge $(S_n)$ auffassen.
Hierzu nehmen wir als Definitionsbereich der $S_n$ das Innere des Konvergenzbereichs der Potenzreihe, also das offene Intervall $(-R,R)$. Damit haben wir Funktionen $S_n: (-R,R) \rightarrow \R$. Weiterhin sei die Funktion $S_n$ die $n$-te Partialsumme der Potenzreihe, also \[ S_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k \] oder etwas genauer \begin{eqnarray*} S_0(x) & = & a_0 \\ S_1(x) & = & a_0 + a_1 x \\ S_2(x) & = & a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \\ S_3(x) & = & a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \\ \vdots & & \vdots \\ S_n(x) & = & a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \\ \vdots & & \vdots \end{eqnarray*} Wir wissen, dass die Potenzreihe für $x\in(-R,R)$ und damit die Funktionenfolge zumindest punktweise gegen eine Funktion $f(x)$ konvergiert.
In dieser Blog-Folge gehen wir der Frage nach, ob diese Konvergenz nicht nur punktweise sondern eventuell sogar gleichmäßig ist und was aus dieser gleichmäßigen Konvergenz für die Stetigkeit der Funktion $f(x)$ folgt.
Gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen
Der folgende Satz liefert eine Aussage zur gleichmäßigen Konvergenz von Potenzreihen.
Satz
Es sei \[ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$.
Dann konvergiert die Funktionenfolge \begin{eqnarray*} f_n:[x_0-r,x_0+r] & \rightarrow & \R \\ x & \mapsto & \sum_{k=0}^n a_k(x-x_0)^k \end{eqnarray*} für alle $0 < r < R$ gleichmäßig gegen \begin{eqnarray*} f:[x_0-r,x_0+r] & \rightarrow & \R \\ x & \mapsto & \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}
Wir können den letzten Satz folgendermaßen zusammenfassen: Eine Potenzreihe konvergiert auf jedem abgeschlossenen Intervall, das Teilmenge des Konvergenzbereiches ist, gleichmäßig.
Auf diese etwas kompliziert klingende Aussage möchte ich kurz genauer eingehen. Es ist möglich, jedes $x$ aus dem Konvergenzbereich $(x_0-R,x_0+R)$ durch ein abgeschlossenes Intervall zu überdecken. Ist somit eine Potenzreihe nicht sogar auf dem gesamten Intervall $(x_0-R,x_0+R)$ gleichmäßig konvergent, statt nur auf jedem abgeschlossenen Teilintervall?
Tatsächlich gilt dies im Allgemeinen nicht. Während es immer möglich ist, für ein abgeschlossenes Teilintervall den notwendigen Index $n_0$ zu finden, so dass $|f_n(x) - f(x)|$ kleiner als $\epsilon$ wird, muss dies für den gesamten Konvergenzbereich $(x_0-R,x_0+R)$ nicht möglich sein. Das Problem dabei sind die Ränder. In der Regel gilt: Je näher wir dem Rand kommen, desto größer muss der Index $n_0$ sein, den wir für den Beweis der gleichmäßigen Konvergenz brauchen. Die Bedingung $r < R$ garantiert, dass wir mit dem abgeschlossenen Intervall immer einen positiven Abstand zum Rand haben. Wir werden im Beweis sehen, dass uns dies die Existenz eines Index $n_0$ garantiert.
Beweis
Die Potenzreihe hat den Konvergenzradius $R$. Somit ist für $0 < \rho < R$ die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty a_n\rho^n \] konvergent.
Mit dem Nullfolgenkriterum folgt, dass $(a_n\rho^n)$ eine Nullfolge ist.
Eine konvergente Folge ist immer beschränkt. Also existiert ein $K\in\R$ mit $|a_n \rho^n| \leq K$ für alle $n\in\N_0$.
Für ein $x$ mit $|x-x_0| \leq r < \rho$ gilt somit: \[ \left| a_n(x-x_0)^n\right| = \left| a_n \rho^n \frac{(x-x_0)^n}{\rho^n}\right| \leq K \theta^n \] mit $0 < \theta := \frac{r}{\rho} < 1$.
Nun ist die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty K \theta^n = K \sum_{n=0}^\infty \theta^n \] als geometrische Reihe (mal Faktor $K$) konvergent.
Aus der Konvergenz dieser Reihe folgt, dass zu jedem $\epsilon > 0$ ein $n_0\in\N$ existiert, so dass \[ \sum_{n=n_0+1}^\infty K \theta^n < \epsilon \] gilt, denn diese Summe ist genau die Differenz zwischen $n_0$-ter Partialsumme und dem Grenzwert.
Für alle $x\in [x_0-r,x_0+r]$ und alle $n\geq n_0$ gilt damit: \begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| & = & \left| \sum_{k=n+1}^\infty a_k(x-x_0)^k \right| \\ & \leq & \sum_{k=n+1}^\infty \left| a_k(x-x_0)^k \right| \\ & \leq & \sum_{k=n_0+1}^\infty \left| a_k(x-x_0)^k \right| \\ & \leq & \sum_{k=n_0+1}^\infty K \theta^k \\ & < & \epsilon. \end{eqnarray*}
Stetigkeit von Potenzreihen
Im vorigen Abschnitt konnten wir zeigen, dass eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius $R > 0$ auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von $(x_0-R, x_0+R)$ nicht nur punktweise sondern gleichmäß konvergiert.
Nun sind die Partialsummen einer Potenzreihe Polynome und damit stetige Funktionen. Als Funktionenfolge ist eine Potenzreihe also eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig konvergiert.
In der vorigen Blog-Folge hatten wir gezeigt, dass die Grenzfunktion einer Funktionenfolge aus stetigen Funktion bei gleichmäßiger Konvergenz ebenfalls stetig ist.
Somit muss die Funktion, die von einer Potenzreihe im Innern des Konvergenzbereichs dargestellt wird, stetig sein.
Korollar
Es sei \[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$.
Dann ist die Funktion \begin{eqnarray*} f:(x_0-R,x_0+R) & \rightarrow & \R \\ x & \mapsto & f(x) \end{eqnarray*} stetig.
Dies bedeutet, dass alle Funktionen, die wir als Potenzreihe schreiben können, im Innern des Konvergenzbereichs stetig sind. Dies gilt natürlich insbesondere für die elementaren Funktionen Cosinus, Sinus, Cosinus Hyperbolicus und Sinus Hyperbolicus, denn diese sind auf ganz $\R$ konvergent.
Korollar
Die Funktionen
- $\cos: \R \rightarrow \R$
- $\sin: \R \rightarrow \R$
- $\cosh: \R \rightarrow \R$
- $\sinh: \R \rightarrow \R$
sind alle stetig auf $\R$.
Natürlich gilt dies auch für die Exponentialfunktion, aber deren Stetigkeit hatten wir bereits explizit bewiesen.
Stetige Fortsetzbarkeit einfach zeigen
Zum Abschluss dieser Blog-Folge zeige ich an zwei Beispielen, wie wir die Aussagen dieser Blog-Folge nutzen können, um Grenzwerte zu berechnen und die stetige Fortsetzbarkeit von Funktionen zu zeigen.
Beispiel
Es gilt \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \]
Beweis: Für $x\neq 0$ ist \[ \frac{\sin(x)}{x} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}. \] Die Potenzreihe rechts hat den Konvergenzradius $R=\infty$ (Prüfe es selbst nach!). Sie konvergiert im Entwicklungspunkt $0$ und nimmt dort den Wert $1$ an.
Da die Potenzreihe stetig ist, folgt die Behauptung.
Beispiel
Es gilt \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = 0. \] Der Beweis verläuft ähnlich wie im letzten Beispiel. Versuche es selbst!
Übung 1
Beweise den Grenzwert aus dem letzten Beispiel.
Und hier noch eine Übung.
Übung 2
- Zeige: \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3\sinh(x)}{2x} = \frac{3}{2} \]
- Ermittle den Grenzwert: \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\exp(x) - 1}{x} \]
- Existiert der folgende Grenzwert? \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x^2} \]
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