\( \newcommand{\I}{\textnormal{i}} \newcommand{\e}{\textnormal{e}} \renewcommand{\Re}{\textnormal{Re}} \renewcommand{\Im}{\textnormal{Im}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\K}{{\cal K}} \)

Analysis-Blog: Folge 60

Übungen zum Extremwertsatz von Weierstrass

Beweise für die Existenz eines Minimums oder Maximums

Peter Becker

veröffentlicht: 22 May 2022, zuletzt geändert: 04 Mar 2024 12:00

Schlüsselwörter: Stetigkeit, Extremwert, Minimum, Maximum, Satz von Weierstrass

Übung 1

Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktion $f$, die die folgenden Eigenschaften hat.

  1. $f:(0,1) \rightarrow \R$, $f$ ist stetig und beschränkt und hat weder Minimum noch Maximum.
  2. $f:[-2,2] \rightarrow \R$, $f$ ist beschränkt und hat weder Minimum noch Maximum.
  3. $f:\R \rightarrow\R$, $f$ ist stetig und beschränkt und hat weder Minimum noch Maximum.

  1. Der Definitionsbereich von $f$ ist hier kein abgeschlossenens Intervall, wie es der Extremwertsatz von Weierstraß verlangt. Es sei nun $f:(0,1)$ mit $f(x) = x$.

    Mit dieser Definition gilt $0 < f(x) < 1$ für alle $x\in(0,1)$ und außerdem \[ \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 \quad\text{und}\quad \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 1. \] Also ist $0$ das Infimum und $1$ das Supemum der Funktionswerte, $0$ und $1$ werden aber nie angenommen, womit weder Minimum noch Maximum existieren.

  2. Hier wird für $f$ keine Stetigkeit verlangt. Es sei \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{für } -2 \leq x \leq -1 \\ x & \text{für } -1 < x < 1 \\ 0 & \text{für } 1 \leq x \leq 2 \end{array} \right. \] Damit gilt $-1 < f(x) < 1$ für alle $x\in[-2,2]$ und außerdem \[ \lim_{x\searrow -1} f(x) = -1 \quad\text{und}\quad \lim_{x\nearrow 1} f(x) = 1. \] Damit ist $-1$ das Infimum der Funktionswerte und $1$ das Supremum. Beide Werte werden aber nie angenommen, also existieren weder ein Minimum noch ein Maximum.

  3. Hier ist $f$ auf ganz $\R$ definiert. Es sei \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} \exp(x) - 1 & \text{für } x < 0 \\ 1 - \exp(-x) & \text{für } x \geq 0 \end{array} \right. \] Die beiden Teile der Funktion sind für sich jeweils stetig und in $x_0 = 0$ gilt \[ \lim_{x\nearrow 0} f(x) = \lim_{x\nearrow 0} \exp(x) -1 = 1-1 = 0 = f(0) = \lim_{x\searrow 0} 1 - \exp(-x) = \lim_{x\searrow 0} f(x). \] Also ist $f$ auf ganz $\R$ stetig.

    Weiterhin gilt \[ \lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = 1 \quad\text{und} \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -1 \] sowie \[ -1 < f(x) < 1 \text{ für alle } x \in \R \] wegen $\exp(x) > 0$. Damit ist $-1$ das Infimum und $1$ das Supremum der Funktionswerte. Beide Werte werden aber nirgendwo angenommen. Damit existiert weder ein Maximum noch ein Minimum.

Übung 2

Es sei $f:(0,1) \rightarrow \R$ eine stetige Funktion für die \[ \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = \infty \] gilt.

Zeigen Sie: Die Funktion $f$ hat ein Minimum.

Es sei $y_0 := f(\frac{1}{2})$. Wegen $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = \infty$ existiert ein $0 < a < \frac{1}{2}$ mit $f(x) > y_0$ für alle $ 0 < x < a$. Ebenso existiert, wegen $\lim_{x\rightarrow 1} f(x) = \infty$, ein $\frac{1}{2} < b < 1$ mit $f(x) > y_0$ für alle $b < x < 1$.

Auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ muss nun die Funktion $f:[a,b] \rightarrow\R$ nach dem Extremwertsatz von Weierstraß ein Minimum haben. Sei $x_1$ solch eine Minimalstelle. Gemäß der Konstruktion von $a$ und $b$ gilt $\frac{1}{2} \in [a,b]$. Wegen \[ f(x_1) \leq f\left(\frac{1}{2}\right) = y_0 < f(x) \text{ für alle } 0 < x < a \] und \[ f(x_1) \leq f\left(\frac{1}{2}\right) = y_0 < f(x) \text{ für alle } b < x < 1 \] kann in $(0,a) \cup (b,1)$ kein kleinerer Funktionswert als $f(x_1)$ existieren. Es folgt, dass $x_1$ auch eine Minimalstelle für $f:(0,1) \rightarrow \R$ ist.

Übung 3

Es sei $f: [0,\infty)\rightarrow \R$ eine stetige Funktion und $c\in\R$ mit $c \geq 0$. Weiterhin gelte \[ f(0) = 0 \text{ und } \lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = c. \]

  1. Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ ein Minimum hat.
  2. Hat sie auch ein Maximum? Zeigen Sie die Existenz eines Maximums oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

  1. Wir machen eine Fallunterscheidung:

    1. $f(x) \geq 0$ für alle $x\in[0,\infty)$.

      Wegen $f(0) =0$ ist dann $0$ eine Minimalstelle.

    2. Es existiert ein $x_0 \in (0,\infty)$ mit $f(x_0) < 0$.

      Da $f$ stetig ist gilt \[ \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0) = 0. \] Somit existiert ein $0 < a < x_0$ mit \[ |x - 0| < a \Rightarrow |f(x) - f(0)| < |f(x_0)|. \] woraus \[ x < a \Rightarrow f(x) > f(x_0) \] folgt.

      Wegen $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = c \geq 0$ existiert andererseits ein $b > x_0$ mit \[ f(x) > f(x_0) \text{ für alle } x > b. \]

      Auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ hat die Funktion $f:[a,b] \rightarrow \R$ nach dem Extremwertsatz von Weierstraß ein Minimum. Sei $x_1$ solch eine Minimalstelle. Gemäß der Konstruktion von $a$ und $b$ gilt $x_0 \in [a,b]$. Wegen \[ f(x_1) \leq f(x_0) < f(x) \text{ für alle } 0 \leq x < a \] und \[ f(x_1) \leq f(x_0) < f(x) \text{ für alle } x > b \] kann in $[0,a) \cup (b,\infty)$ kein kleinerer Funktionswert als $f(x_1)$ existieren. Es folgt, dass $x_1$ auch eine Minimastelle für $f[0,\infty) \rightarrow \R$ ist.

  2. Die Funktion muss keine Maximalstelle haben. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion $f:[0,\infty) \rightarrow \R$ mit \[ f(x) = 1 - \exp(-x). \] Es gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = \lim_{x\rightarrow\infty} 1 - \exp(-x) = 1 - \lim_{x\rightarrow -\infty} \exp(x) = 1 - 0 = 1 \] und $f(0) = 1 - \exp(0) = 1- 1 =0$. Andererseits gilt $\exp(x) > 0$ für alle $x\in\R$ woraus \[ 1- \exp(-x) < 1 \text{ für alle } x\in[0,\infty) \] folgt. Damit ist $1$ das Supremum der Funktionswerte, das aber nie angenommen wird, womit kein Maximum existiert.

Übung 4

Es sei $f:\R \rightarrow \R$ stetig und es gelte \[ \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = -\infty. \]

Zeigen Sie: Die Funktion $f$ hat ein Maximum.

Es sei $y_0 := f(0)$. Wegen $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = -\infty$ existiert ein $b > 0$ mit $f(x) < f(0)$ für alle $x > b$. Ebenso existiert, wegen $\lim_{x\rightarrow -\infty} = -\infty$, ein $a < 0$ mit $f(x) < f(0)$ für alle $x < a$.

Auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ muss die Funktion $f:[a,b]\rightarrow\R$ nach dem Extremwertsatz von Weierstraß ein Maximum haben. Sei $x_1$ solch eine Maximalstelle. Gemäß der Konstruktion von $a$ und $b$ gilt $0\in[a,b]$. Wegen \[ f(x_1) \geq f(0) = y_0 > f(x) \text{ für alle } x < a \] und \[ f(x_1) \geq f(0) = y_0 > f(x) \text{ für alle } x > b \] kann in $(-\infty,a) \cup (b,\infty)$ kein größerer Funktionswert als $f(x_1)$ exisyieren. Es folgt, dass $x_1$ auch eine Maximalstelle für $f:\R \rightarrow \R$ ist.

Vorige Folge Nächste Folge

Teilen und Drucken