Es ist wichtig zu wissen, ob eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich ein Maximum oder ein Minimum annimmt. Der folgende Satz, als Extremwertsatz von Weierstraß bekannt, liefert uns ein hinreichendes Kriterium für deren Existenz.
Es ist wichtig zu wissen, ob eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich ein Maximum oder ein Minimum annimmt. Der folgende Satz, als Extremwertsatz von Weierstraß bekannt, liefert uns ein hinreichendes Kriterium für deren Existenz.
Satz
Jede stetige Funktion $f:[a,b] \rightarrow \R$ ist beschränkt und hat im Intervall $[a,b]$ eine Maximal- und eine Minimalstelle.
Beweis
O. B. d. A. zeigen wir nur die Beschränkung nach oben und die Existenz einer Maximalstelle. Der Nachweis für die Beschränkung nach unten und die Existenz eines Minimums erfolgt analog zu diesem Beweis.
Wir zeigen zunächst, dass $f$ nach oben beschränkt ist. Hierzu führen wir einen Widersprichsbeweis: Wir nehmen an, dass $f$ nicht nach oben beschränkt ist.
Wenn $f$ auf dem Definitionsbereich $[a,b]$ nicht nach oben beschränkt ist, dann werden die Funktionswerte beliebig groß. Insbesondere existiert dann für alle $n\in\N$ ein Funktionswert $y_n \in f([a,b])$ mit $y_n > n$. Zu jedem solchen $y_n$ existiert dann wiederum ein Argument $x_n\in[a,b]$ mit $f(x_n) = y_n$. Wir betrachten nun die Folge $(x_n)$.
Die Folge $(x_n)$ liegt in $[a,b]$ und ist somit beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat sie damit eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})$. Für diese konvergente Teilfolge sei \[ x_0 := \lim_{k\rightarrow \infty} x_{n_k} \] deren Grenzwert. Das Intervall $[a,b]$ ist abgeschlossen, es gilt also $a \leq x_{n_k} \leq b$, woraus auch $a \leq x_0 \leq b$, also $x_0 \in [a,b]$, folgt. Da $f$ stetig ist, muss damit $\lim_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$ gelten.
Andererseits haben wir die Folge $(x_n)$ und damit auch die deren Teilfolge $(x_{n_k})$ so konstruiert, dass $f(x_{n_k})$ nach oben unbeschränkt ist, sie muss also divergent sein. Somit liegt ein Widerspruch vor.
Also ist die Annahme der Unbeschränktheit falsch. Die Funktion $f$ muss demnach auf dem Intervall $[a,b]$ beschränkt sein.
Nachdem wir gezeigt haben, dass $f$ nach oben beschränkt ist, weisen wir nun die Existenz eines Maximums nach. Aus der Beschränktheit von $f$ ergibt sich, dass die Menge $\{f(x) \mid x\in[a,b]\}$ ein Supremum haben muss. Es sei $M$ dieses Supremum. Wir müssen nun $M \in f([a,b])$ zeigen.
Aus der Supremumseigenschaft folgt, dass für alle $\epsilon > 0$ ein $y_\epsilon\in f([a,b])$ existiert mit $M-\epsilon < y_\epsilon \leq M$. Zur Erinnerung: Die Supremumseigenschaft bedeutet, dass $M$ die kleinste obere Schranke und somit $M-\epsilon$ keine obere Schranke ist (für alle $\epsilon > 0$).
Wir betrachten nun die Ungleichung $M-\epsilon < y_\epsilon \leq M$ für $\epsilon = \frac{1}{n} > 0$. Somit gibt es für alle $n\in\N$ ein $x_n$ mit \[ M - \frac{1}{n} < f(x_n) = y_{\frac{1}{n}} \leq M. \] Da der Term $M-\frac{1}{n}$ gegen $M$ konvergiert, folgt mit dem Schachtelungsprinzip \[ \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n) = M. \] Da die Folge $(x_n)$ beschränkt ist, es gilt ja $x_n \in[a,b]$, hat sie eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})$ und es sei \[ x_0 := \lim_{k\rightarrow \infty} x_{n_k} \] der zugehörige Grenzwert, für den wiederum $x_0 \in [a,b]$ gilt. Aus der Stetigkeit von $f$ folgt dann \[ M = \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0). \] Also ist $x_0\in[a,b]$ eine Maximalstelle.
Beachten Sie, dass der Satz im Allgemeinen für \[ \begin{array}{ll} & (a,b) \rightarrow \R \\ f: & [a,b) \rightarrow \R \\ & (a,b] \rightarrow \R \end{array} \] falsch ist. Beispiele hierfür sollen Sie in einer Übung konstruieren. Ebenso wird der Satz im Allgemeinen falsch, wenn $f$ keine stetige Funktion ist. Nur die Kombination aus Abgeschlossenheit des Definitionsbereichs und Stetigkeit der Funktion sichert uns im Allgemeinen die Existenz der Extrema.
Nichsdestotrotz können wir unter Umständen die Existenz eines Minimums oder Maximums auch für nicht abgeschlossene Intervalle mithilfe des Extremwertsatzes beweisen, wenn weitere Voraussetzungen vorliegen. Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an.
Beispiel
Es sei $f:\R\rightarrow\R$ eine stetige Funktion mit \[ \lim_{x\rightarrow-\infty} f(x) = \lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = 0 \] und es existiere ein $x_0\in\R$ mit $f(x_0) > 0$.
Dann hat $f$ ein Maximum.
Beweis: Die Voraussetzung $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = 0$ bedeutet nach Definition: \[ \forall \epsilon >0 \exists b\in\R \forall x\geq b : |f(x)| < \epsilon. \] Insbesondere existiert also (für $\epsilon = f(x_0) > 0$) ein $b\in\R$, so dass \[ |f(x)| < f(x_0) \text{ für alle } x \geq b \] gilt, woraus auch $b > x_0$ folgt.
Analog folgt aus $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = 0$, dass ein $a\in\R$ existiert, so dass \[ |f(x)| < f(x_0) \text{ für alle } x \leq a \] gilt. Damit folgt auch $a < x_0$.
Aus $a < x_0$ und $x_0 < b$ folgt $a < b$. Auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ muss nun die Funktion $f:[a,b]\rightarrow\R$ nach dem Extremwertsatz von Weierstraße ein Maximum haben. Sei $x_1\in[a,b]$ solch eine Maximalstelle. Wegen \[ f(x_1) \geq f(x_0) > |f(x)| \geq f(x) \text{ für alle } x \geq b \] und \[ f(x_1) \geq f(x_0) > |f(x)| \geq f(x) \text{ für alle } x \leq a \] kann also in $(-\infty,a) \cup (b,\infty)$ kein größerer Funktionswert als $f(x_1)$ existieren. Es folgt, dass $x_1$ auch eine Maximalstelle für $f:\R \rightarrow \R$ ist.
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