Definition der Ableitung
Wir möchten zu Beginn dieses Kapitels das Konzept einer momentanen Änderungsrate für eine Funktion entwickeln. D. h., wir gehen der Frage nach, wie stark sich der Funktionswert einer Funktion $f(x)$ ändert, wenn wir $x$ ein wenig ändern, und wir betrachten dann das Verhältnis dieser beiden Änderungen.
Es bietet sich an, dieses Konzept zunächst für einfache, beispielsweise lineare Funktionen zu betrachten. Lineare Funktionen haben eine konstante Änderungsrate.
Die obige Grafik verdeutlich das Konzept der Änderungsrate bei einer linearen Funktion. Auf der $x$-Achse wählen wir eine Stelle $x_0$ sowie eine weitere Stelle $x$, die in der Nähe von $x_0$ liegt. Hierzu gehören die Funktionswerte $y_0 = f(x_0)$ und $y=f(x)$. Dann setzen wir die beiden Differenzen $y-y_0$ und $x-x_0$ ins Verhältnis: \[ s = \frac{y-y_0}{x-x_0}. \] Der Quotient $s$ gibt dann die Steigung der linearen Funktion an. Sie beschreibt, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn wir $x$ um eine Einheit ändern.
Die Steigung entspricht der momentanen Änderungsrate, nur dass diese bei einer linearen Funktion halt immer konstant ist. Egal welche Stellen $x_0$ und $x$ wir wählen, der Quotient \[ \frac{y-y_0}{x-x_0} \] hat bei einer linearen Funktion immer den gleichen Wert.
Wie bestimmen wir nun die Änderungsrate bzw. momentane Steigung bei einer Funktion, die nicht linear ist? Bei solch einer Funktion wird sich die Steigung abhängig von $x_0$ ändern. Die folgende Grafik zeigt, wie wir diese Änderungsrate approximieren können. Dazu suchen wir uns einfach wieder eine Stelle $x$ in der Nähe von $x_0$ und berechnen den Quotienten \[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \] also im Prinzip wie bei der linearen Funktion. Der Quotient entspricht dann der Steigung einer Geraden, die durch die Punkte $(x,f(x))$ und $(x_0,f(x_0))$ geht, eine sogenannte Sekante.
Die Steigung solch einer Sekante ist aber nur eine Näherung für die tatsächliche Änderungsrate bzw. Steigung an der Stelle $x_0$. Die momentane Änderungsrate an der Stelle $x_0$ entspricht anschaulich der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an der Stelle $x_0$. In der Grafik sehen wir, dass sich die Steigung von Sekante und Tangente doch deutlich unterscheiden.
Wir können aber unsere Näherung verbessern, wenn wir mit $x$ näher an $x_0$ gehen. Je stärker wir uns $x_0$ nähern, desto geringer wird die Differenz der beiden Steigungen ausfallen. Damit können wir die momentane Änderungsrate an der Stelle $x_0$ als das Ergebnis einer Grenzwertbildung ermitteln. Hierzu untersuchen wir den Grenzwert von \[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] für $x$ gegen $x_0$. Wenn dieser Grenzwert existiert, nennen wir ihn die Ableitung von $f$ in $x_0$.
Definition
Sei $I \subseteq \R$ ein Intervall, $f: I \rightarrow\R$ und $x_0 \in I$.
Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $x_0$, wenn der Grenzwert \[ f'(x_0) := \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \] existiert.
Wir nennen dann $f'(x_0)$ die Ableitung von $f$ in $x_0$, und die Gerade durch den Punkt $P=(x_0,f(x_0))$ mit Steigung $f'(x_0)$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$.
Die Funktion $f$ heißt auf $I$ differenzierbar, wenn $f$ in jedem $x_0 \in I$ differenzierbar ist.
Mit der Definition $h := x - x_0$ gilt \[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. \] Daher können wir die Ableitung auch mit dem Grenzwert \[ f'(x_0) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \] ermitteln, was oft einfacher als die Definition ist.
Die Tangente stellt eine lineare Funktion $T(x)$ dar. Sie ist gegeben durch \[ T(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0). \] Es gilt $T(x_0) = f(x_0)$ und die Steigung von $T(x)$ entspricht der Ableitung.
Ist die Stelle $x_0$ ein Randpunkt des Intervalls $I$, also dem Definitonsbereich von $f$, dann ist die Ableitung als einseitiger Grenzwert zu verstehen.
Den Quotienten \[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \] bezeichnet man auch als Differenzenquotienten. Er entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte $(x_0,f(x_0))$ und $(x,f(x))$. Die Ableitung $f'(x_0)$ ist also der Grenzwert des Differenzenquotienten für $x\rightarrow x_0$. Diesen Grenzwert, also die Ableitung $f'(x_0)$, bezeichnet man auch als Differentialquotienten an der Stelle $x_0$.
Erste Beispiele
Wir wollen für einige sehr einfache Funktionen untersuchen, ob sie differenzierbar sind und gegebenenfalls die Ableitung berechnen.
Beispiel
In den folgenden Beispielen gelte stets $I=\R$.
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Es sei $f(x) = c$ für alle $x\in \R$, also eine konstante Funktion. Dann erhalten wir \[ \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{c-c}{h} = 0. \] Damit folgt $f'(x_0)=0$ für alle $x_0\in\R$.
Konstante Funktionen sind also differenzierbar und haben überall die Ableitung $0$.
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Es sei $f(x) = c\cdot x$. Dann erhalten wir \[ \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{c\cdot(x_0+h) -c\cdot x_0}{h} = \frac{ch}{h} = c. \] Damit folgt $f'(x_0) = c$.
Lineare Funktionen der Form $f(x) = cx$ sind also differenzierbar und haben überall die Ableitung $c$.
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Es sei $f(x)=x^2$. Dann folgt \begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} & = & \frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h} \\ & = & \frac{x_0^2 + 2x_0 h + h^2 - x_0^2}{h} \\ & = & 2 x_0+ h \underset{h\rightarrow 0}{\longrightarrow} 2 x_0. \end{eqnarray*} Damit folgt $f'(x_0) = 2 x_0$.
Das Polynom $f(x) = x^2$ ist somit überall differenzierbar. Der Wert der Ableitung hängt aber von $x$ ab, denn es gilt \[ f'(x) = 2x. \]
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Es sei $f(x) = |x|$ und $x_0=0$. Dann folgt \begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} & = & \frac{f(h)-f(0)}{h} \\ & = & \frac{|h|}{h} \\ & = & \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \textnormal{für } h\geq 0 \\ -1 & \textnormal{für } h < 0 \end{array} \right. \end{eqnarray*} Also gilt \[ \lim_{h\searrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = 1 \] und \[ \lim_{h\nearrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = -1. \]
Da die beiden einseitigen Grenzwert unterschiedlich sind, existiert der Grenzwert für $h\rightarrow 0$ nicht. Die Funktion $f(x) = |x|$ ist damit an der Stelle $x_0=0$ nicht differenzierbar.
Eine anschauliche Interpretation hierfür lautet: Der Funktionsgraph von $f(x) = |x|$ hat im Punkt $(0,0)$ keine eindeutige Tangente, da er dort eine ``Ecke'' aufweist.
Ableitung als momentane Änderungsrate
Die Ableitung $f'(x_0)$ lässt sich jetzt als momentane Änderungsrate von $f$ in $x_0$ interpretieren.
Beispiel: Bezeiche $t$ die Zeit und $f(t)$ die zurückgelegte Strecke eines Fahrzeugs zum Zeitpunkt $t$. Dann ist
- $f(t)-f(t_0)$ die Strecke, die im Zeitraum zwischen $t_0$ und $t$ zurückgelegt wurde,
- $\displaystyle\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$ ist die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitraum und
- $f'(t_0)$ die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0$.
Links- und rechtsseitige Ableitung
Aus dem Kapitel über Stetigkeit sind uns einseitige Funktionsgrenzwerte bekannt, der rechtsseitige Grenzwert \[ \lim_{x\searrow x_0} f(x) \] und der linksseitige Grenzwert \[ \lim_{x\nearrow x_0} f(x). \] Diese einseitigen Betrachtungen können wir auf Ableitungen anwenden.
Definition
Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall, $f:I\rightarrow\R$ und $x_0\in I$.
Dann heißt, wenn die Grenzwerte existieren, \[ f'(x_0+) := \lim_{x\searrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] rechtsseitige Ableitung und \[ f'(x_0-) := \lim_{x\nearrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] linksseitige Ableitung von $f$ in $x_0$.
Ein Beispiel für eine Funktion, die an einer Stelle $x_0$ sowohl eine rechtsseitige und eine linksseitige Ableitung hat, dort aber trotzdem nicht differenzier ist, ist die Beragsfunktion an der Stelle $x_0=0$. Dies hatten wir in obigem Beispiel gesehen. Für $f(x) = |x|$ gilt \[ f'(0+) = 1\quad\text{und}\quad f'(0-) = -1. \] Die einseitigen Ableitungen existieren, sind aber verschieden. Damit existieren nur die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten aber nicht der allgemeine Grenzwert.
Wir wissen aber, dass ein Funktionsgrenzwert genau dann existiert, wenn die einseitigen Grenzwerte existieren und identisch sind. Daraus ergibt sich der folgende Satz.
Satz
Es existiere ein $\epsilon > 0$ mit $(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\subseteq I$.
Dann ist $f$ in $x_0$ genau dann differenzierbar, wenn links- und rechtsseitige Ableitungen existieren und gleich sind.
Differenzierbarkeit ist stärker als Stetigkeit
Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind Eigenschaften von Funktionen. Wir haben in dieser Blog-Folge schon Funktionen kennengelernt, die sowohl stetig als auch differenzierbar sind, z. B. die konstanten Funktionen $f(x) = cx$ sowie das Polynom $f(x) = x^2$. Mit der Betragsfunktion kennen wir auch schon eine Funktion die stetig, aber nicht differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich ist. Gibt es auch Funktionen, die differenzierbar aber nicht stetig sind? Die Antwort ist nein, wie der folgende Satz zeigt.
Satz
Wenn eine Funktion $f: I \rightarrow \R$ differenzierbar in $x_0 \in I$ ist, dann ist $f$ auch stetig in $x_0$.Damit ist Stetigkeit eine notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit.
Beweis
Wenn $f$ differenzierbar in $x_0$ ist, dann gilt \begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)-f(x_0)) & = & \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0) \\ & = & \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot\lim_{x\rightarrow x_0} (x-x_0) \\ & = & f'(x_0)\cdot 0 = 0. \end{eqnarray*} Daraus folgt \[ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) \] womit gezeigt ist, dass $f$ stetig in $x_0$ ist.
Beachte, dass wir für die Identität der zweiten Zeile die Voraussetzung der Differenzierbarkeit benötigen. Nur weil wir wissen, dass die beiden Grenzwerte \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad\text{und}\quad \lim_{x\rightarrow x_0} (x - x_0) \] existieren, dürfen wir von der Identität der ersten und zweiten Zeile ausgehen.
In der nächsten Blog-Folge leiten wir Rechenregeln für die Ableitung her. Mit diesen Rechenregeln können wir die Ableitung einer Funktion leichter berechnen als mit der Definition der Ableitung.
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