In dieser Blog-Folge widmen wir uns einigen wichtigen Grenzwerte. Insbesondere betrachten wir das Wachstumsverhalten der Exponentialfunktion und des Logarithmus gegenüber Polynomen.
Grenzwert für die $n$-te Wurzel
In Beispiel 4 der Blog-Folge zur Definition des Begriffs Grenzwert hatten wir bereits gezeigt, dass für alle $a \in \R_+$ \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1 \] gilt. Dies halten wir hier zunächst als Proposition fest. Interessant wird gleich der Beweis dieser Proposition sein.
Proposition
Für alle $a\in\R_+$ gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1. \]Beim früheren Beweis dieses Grenzwertes mussten wir tief in die mathematische Trickkiste greifen, damit uns der Beweis gelingt. Insbesondere haben wir hierfür die Bernoullische Ungleichung genutzt. Der Beweis wird deutlich einfacher, wenn wir die Definition der allgemeinen Potenzfunktion sowie die Stetigkeit der Exponentialfunktion ausnutzen. Daher ist an dieser Stelle vor allem die Art der Beweisführung interessant.
Beweis
\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} & = & \lim_{n\rightarrow\infty} a^\frac{1}{n} \\ & = & \lim_{n\rightarrow\infty} \exp\left(\frac{1}{n}\log(a)\right) \\ & = & \exp\left(\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\log(a)\right) \\ & = & \exp(0) \\ & = & 1 \end{eqnarray*} Bemerkung: Für die zweite Zeile nutzen wir die Definition von $a^\frac{1}{n}$. Da die Exponentialfunktion stetig ist, dürfen wir Funktionsanwendung und Grenzwertbildung vertauschen (Zeile 3). Mit \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\log(a)}{n} = 0 \] ergibt sich $1$ als Grenzwert für die $n$-te Wurzel.Exponentialfunktion vs. Polynom
Der folgende Satz untersucht das Wachsrumsverhalten der Exponentialfunktion gegenüber einem Polynom.
Satz 1
Für alle $k\in\N$ gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\e^x}{x^k} = \infty. \]Bemerkenswert an der Aussage des letzten Satzes ist, dass diese Aussage für alle $k\in\N$ gilt. Also egal wie groß der Exponent von $x^k$ auch ist, die Exponentialfunktion wächst für $x$ gegen unedlich stärker als das Polynom $x^k$. Wenn wir als Beispiel einmal $\e^x$ mit $x^{100}$ vergleichen und in diese beiden Funktionen kleine $x$-Werte einsetzen, dann mag man dies kaum glauben. \[ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \e^x & \approx 7.3 & \approx 20.1 & \approx 54.6 & \approx 148.4 \\ x^{100} & 1.2 \cdot 10^{30} & 5.1\cdot 10^{47} & \approx 1.6 \cdot 10^{60} & \approx 7.8 \cdot 10^{69} \end{array} \] Wenn aber $x$ groß genug ist, dann gilt tatsächlich $\e^x > x^{100}$. Und nicht nur dies, sondern das Verhältnis der beiden Zahlen wird beliebig groß.
Beweis
Für ein beliebiges $k\in\N$ und $x > 0$ gilt \[ \e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \geq \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}. \] Wir schätzen also $\e^x$ durch einen einzelnen Summanden der Reihe ab. Hierzu nehmen wir den Summand mit Exponent $k+1$. Diese Abschätzung ist zwar sehr grob aber trotzdem ausreichend, denn daraus folgt nun \[ \frac{\e^x}{x^k} \geq \frac{x}{(k+1)!} \stackrel{x\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \infty. \]Als Korollar erhalten wir:
Korollar
Für alle $k\in\N$ gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^k}{\e^x} = 0. \]Verhalten des Logarithmus
Der folgende Satz zeigt, dass der Logarithmus weder nach oben noch nach unten beschränkt ist.
Satz 2
Es gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty} \log(x) = \infty \] und \[ \lim_{x\searrow 0} \log(x) = -\infty. \]Beweis
Wir wissen, dass der Logarithmus streng monoton wachsend ist. Für beliebige $x,S \in\R_+$ mit $x > e^S$ folgt die Ungleichung $\log(x) > S$.
Also wächst der Logarithmus über jede Schranke hinaus, d. h. \[ \lim_{x\rightarrow\infty} \log(x) = \infty. \]
Für $x > 0$ gilt nach den Rechenregeln für Logarithmen \[ \log\left(\frac{1}{x}\right) = \log(1) - \log(x) = -\log(x). \] und somit \[ \lim_{x\searrow 0} \log(x) = - \lim_{x\searrow 0} \log\left(\frac{1}{x}\right). \] Es sei nun $y := \frac{1}{x}$. Damit ergibt sich \[ \lim_{x\searrow 0} \log(x) = - \lim_{x\searrow 0} \log\left(\frac{1}{x}\right) = - \lim_{y\rightarrow\infty} \log(y) = -\infty. \]
Als nächstes betrachten wir das Wachstum des Logarithmus gegenüber Potenzfunktionen der Form $x^\alpha$ mit $\alpha > 0$. Je kleiner $\alpha$ ist, desto langsamer wächst $x^\alpha$ für $\alpha$ gegen unendlich. Allerdings wächst der Logarithmus noch langsamer, wie der folgende Satz zeigt.
Satz 3
Für alle $\alpha > 0$ gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\log(x)}{x^\alpha} = 0 \] und \[ \lim_{x\searrow 0} x^\alpha \log(x) = 0. \]Beweis
Zunächst gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\log(x)}{x^\alpha} = \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\log(x)}{\exp(\alpha\log(x))}. \] Wir hatten gezeigt, dass $\lim_{x\rightarrow\infty} \log(x) = \infty$ gilt. Damit ist $x\rightarrow\infty$ äquivalent zu $y\rightarrow\infty$ mit $y = \alpha\log(x)$. Damit ergibt sich \begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\log(x)}{x^\alpha} & = & \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\log(x)}{\exp(\alpha\log(x))} \\ & = & \lim_{y\rightarrow\infty} \frac{\frac{y}{\alpha}}{\exp(y)} \\ & = & \frac{1}{\alpha} \lim_{y\rightarrow\infty} \frac{y}{\exp(y)} \\ & = & 0, \end{eqnarray*} denn wir hatten oben $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^k}{\e^x} = 0$ für alle $k\in\N$ gezeigt.
Für den Beweis des zweiten Grenzwerts führen wir die Substitution $y = \frac{1}{x}$ durch. \begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0} x^\alpha \log(x) & = & \lim_{x\searrow 0} \frac{-\log\left(\frac{1}{x}\right)}{\left(\frac{1}{x}\right)^\alpha} \\ & = & \lim_{y \rightarrow \infty} \frac{-\log(y)}{y^\alpha} \\ & = & - \lim_{y \rightarrow \infty} \frac{\log(y)}{y^\alpha} \\ & = & 0. \end{eqnarray*} Dabei folgt die letzte Gleichung aus dem ersten Grenzwert dieses Satzes.
Abschließend untersuchen wir noch die Grenzwerte von $x^{-\alpha}$ für $x$ gegen unendlich und von $x^\alpha$ für $x$ gegen $0$ (rechtsseitig).
Satz 4
Für alle $\alpha > 0$ gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty} x^{-\alpha} = 0 \] und \[ \lim_{x\searrow 0} x^\alpha = 0. \]Beim Beweis nutzen wir das Schachtelungsprinzip und die Aussagen von Satz 3.
Beweis
Für $x\geq \e$ gilt $\log(x) \geq 1$ und somit \[ 0 \leq x^{-\alpha} \leq \frac{\log(x)}{x^\alpha}. \] Wegen \[ \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\log(x)}{x^\alpha} = 0 \] (siehe Satz 3) folgt damit \[ \lim_{x\rightarrow\infty} x^{-\alpha} = 0. \]
Für $x \leq \frac{1}{\e}$ gilt $\log(x) \leq -1$ und somit \[ 0 \leq x^\alpha \leq -x^\alpha \log(x). \] Wegen \[ \lim_{x\searrow 0} x^\alpha\log(x) = 0 \] (siehe Satz 3) folgt damit \[ \lim_{x\searrow 0} x^\alpha = 0. \]
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