In dieser Blog-Folge widmen wir uns der Frage, wie wir auf einfache Weise die Ableitung einer Funktion berechnen können, die aus anderen Funktionen zusammengesetzt ist. Wir leiten hierfür Ableitungsregeln für alle arithmetischen Operationen sowie für die Verkettung von Funktionen her.
Linearität der Ableitung
Wir beginnen mit einem sehr einfachen Fall. Es sei $I\subseteq \R$ ein Intervall und $g:I\rightarrow \R$ und $h:I\rightarrow\R$ seien differenzierbare Funktionen. Weiterhin sei $f(x) := g(x) + h(x)$. Ist nun garantiert, dass die Funktion $f(x)$ ebenfalls differenzierbar auf dem Intervall $I$ ist? Und wenn ja, wie lautet die Ableitung?
Um diese Fragen beantworten zu können, müssen wir den Differenzenquotienten \[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \] für $x_0\in I$ untersuchen. Wir wissen, dass $f$ in $x_0$ genau dann differenzierbar ist, wenn \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \] existiert.
Gemäß den Definitionen von oben gilt: \begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} & = & \frac{(g(x) + h(x)) - (g(x_0) + h(x_0))}{x-x_0} \\ & = & \frac{g(x) - g(x_0) + h(x) - h(x_0)}{x - x_0} \\ & = & \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} + \frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*} Der Differenzenquotient von $f$ ist also einfach die Summe der Differenzenquotienten von $g$ und $h$.
Jetzt wissen wir aber, dass $g$ und $h$ differenzierbar sind und somit die beiden Grenzwerte \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0) \quad\text{und}\quad \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} = h'(x_0) \] existieren. Mit Grenzwertregeln folgt, dass dann auch der Grenzwert \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \] existiert und somit gilt: \[ f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0) + h'(x_0). \]
Damit haben wir unsere erste Rechenregel hergeleitet. Es ist leicht, eine analoge Rechenregeln für die Subtraktion von zwei Funktionen herzuleiten. Die folgende Proposition fasst beide Rechenregeln zusammen.
Proposition 1
Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall, $x\in I$ und $f,g:I\rightarrow\R$.
Wenn die Funktionen $f$ und $g$ differenzierbar in $x$ sind, dann ist auch die Funktion $f \pm g$ in $x$ differenzierbar und es gilt \[ (f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x). \]
Als nächstes betrachten wir die Funktion $f(x) := c\cdot g(x)$ für ein $c \in \R$. Für den Differenzenquotienten gilt \[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \frac{c\cdot g(x) - c\cdot g(x_0)}{x - x_0} = c\cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}. \] Der Differenzenquotient von $f$ ist also das Produkt von $c$ und dem Differenzenquotienten von $g$. Da $g$ differenzierbar ist und somit der Grenzwert \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0) \] existiert, existiert auch der Grenzwert \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \] und es gilt \[ f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = c \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = c\cdot g'(x_0). \] Dies ergibt unsere zweite Rechenregel.
Proposition 2
Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall, $x\in I$ und $f:I\rightarrow\R$.
Wenn $f$ differenzierbar in $x$ ist und $c\in\R$ gilt, dann ist auch die Funktion $c\cdot f$ in $x$ differenzierbar und es gilt \[ (c\cdot f)'(x) = c\cdot f'(x). \]
Wir wenden die beiden hergeleiteten Regeln in einem einfachen Beispiel an.
Beispiel 1
In der vorigen Blog-Folge hatten wir gezeigt, dass die Funktionen $f(x) = x^2, f(x) = x$ und $f(x) = 1$ alle differenzierbar sind und hatten deren Ableitungen ermittelt.
Es sei nun $f(x) = 4x^2 -7x + 5$.
Dann folgt mit den Propositionen 1 und 2, dass $f$ differenzierbar ist und es gilt \[ f'(x) = 4\cdot 2x - 7 + 0 = 8x - 7. \]
Produktregel
Während die ersten beiden Rechenregeln sehr simpel sind, ist die nun folgende Regel ein wenig komplizierter. Insbesondere werden wir sehen, dass sich die arithmetische Operation nicht direkt auf die Ableitung überträgt.
Wir gehen wieder davon aus, dass wir zwei auf einem Intervall $I\subseteq\R$ differenzierbare Funktionen $g(x)$ und $h(x)$ haben. Wir möchten nun wissen, wie die Ableitung der Funktion $f(x) = g(x)h(x)$ aussieht, also die Ableitung des Produkts der beiden Funktionen.
Der Weg zur Herleitung der passenden Ableitungsformel führt wie oben über den Differenzenquotienten. Es gilt: \begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} & = & \frac{g(x)h(x)-g(x_0)h(x_0)}{x-x_0} \\[3mm] & = & \frac{g(x)h(x)-g(x_0)h(x)+g(x_0)h(x)-g(x_0)h(x_0)}{x-x_0} \\[3mm] & = & \frac{g(x)h(x)-g(x_0)h(x)}{x-x_0} + \frac{g(x_0)h(x)-g(x_0)h(x_0)}{x-x_0} \\[3mm] & = & h(x) \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} + g(x_0) \frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*} Beachte, dass wir in der zweiten Zeile den Zähler des Differenzenquotienten um den Term \[ -g(x_0)h(x)+g(x_0)h(x) \] ergänzt haben. Der Wert des Terms ist natürlich $0$. Durch diese Ergänzung können wir aber den Bruch aufspalten und anschließend $h(x)$ bzw. $g(x_0)$ ausklammern.
Jetzt müssen wir untersuchen, ob \[ \lim_{x\rightarrow x_0} h(x) \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} + g(x_0) \frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} \] existiert. Da $g$ und $h$ differenzierbar sind, existieren die Grenzwerte für die Differenzenquotienten. Der Wert $g(x_0)$ ist eine Konstante, womit der Grenzwert für den kompletten rechten Summanden existiert. Da $h(x)$ differenzierbar ist, ist $h$ auch stetig. Diese Eigenschaft differenzierbarer Funktionen hatten wir in der vorangegangenen Blog-Folge bewiesen. Damit gilt \[ \lim_{x\rightarrow x_0} h(x) = h(x_0), \] womit auch der Grenzwert für den linken Summanden und damit für den ganzen Term existiert.
Mit Grenzwertregeln folgt \begin{eqnarray*} f'(x_0) & = & (g\cdot h)'(x_0) \\ & = & \lim_{x\rightarrow x_0} h(x) \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} + g(x_0) \frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} \\[3mm] & = & \lim_{x\rightarrow x_0} h(x) \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} + g(x_0) \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} \\[3mm] & = & h(x_0)\cdot g'(x_0) + g(x_0)\cdot h'(x_0). \end{eqnarray*} Diese Rechenregel ist die sogenannte Produktregel der Differentialrechnung.
Satz (Produktregel)
Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall, $x\in I$ und $f,g:I\rightarrow\R$ in $x$ differenzierbar.
Dann ist auch die Funktion $f\cdot g$ in $x$ differenzierbar und es gilt \[ (f\cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \]
Als erste Anwendung der Produktregel leiten wir einer Formel für die Ableitung von $f(x) = x^n$ mit $n\in\N_0$ her.
Proposition 3
Für $n\in\N_0$ und $f(x)=x^n$ gilt $f'(x) = n x^{n-1}$.Beweis
$n=0$: $x^0 = 1$ und wir wissen für $f(x) = 1$ gilt $f'(x) = 0 = 0\cdot x^{-1}$. Also stimmt die Formel für $n=0$.
$n \rightarrow n+1$: Es sei $f(x) = x^{n+1}$. Wir spalten die Potenz auf und wenden dann die Produktregel an. Aus \[ f(x) = x^{n+1} = x^n \cdot x \] ergibt sich mit der Produktregel und Induktionsvoraussetzung \[ f'(x) = nx^{n-1} \cdot x + x^n \cdot 1 = nx^n + x^n = (n+1)x^n. \] Also stimmt die Formel auch für $n+1$ und ist somit bewiesen.
Tatsächlich gilt die Formel aus Proposition 3 nicht nur für $n\in\N_0$ sondern sogar für $n\in\mathbb{Z}$. Um dies zu beweisen, benötigen wir aber noch die Quotientenregeln, die im nächsten Abschnitt folgt.
Quotientenregel
Wir betrachten nun die Funktion $f(x) = g(x) / h(x)$. Wie zuvor liegt der Schlüssel zur Herleitung einer Rechenregel in der Untersuchung des Differenzenquotienten.
Es gilt: \[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{\frac{g(x)}{h(x)} - \frac{g(x_0)}{h(x_0)}}{x-x_0}. \] Jetzt machen wir die beiden Brüche im Zähler gleichnamig: \[ = \frac{\frac{g(x)h(x_0) - g(x_0)h(x)}{h(x)h(x_0)}}{x-x_0}. \] Wir ziehen den Term $h(x)h(x_0)$ heraus und schreiben ihn vor den Bruch: \[ = \frac{1}{h(x)h(x_0)} \cdot \frac{g(x)h(x_0) - g(x_0)h(x)}{x-x_0}. \] Wir ergänzen den Zähler des zweiten Bruchs mit $-g(x_0)h(x_0) + g(x_0)h(x_0)$: \[ = \frac{1}{h(x)h(x_0)} \cdot \frac{g(x)h(x_0) - g(x_0)h(x_0) + g(x_0)h(x_0) - g(x_0)h(x)}{x-x_0}. \] Jetzt spalten wir den zweiten Bruch auf und Klammern aus: \[ = \frac{1}{h(x)h(x_0)} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}h(x_0) + g(x_0) \frac{h(x_0) - h(x)}{x-x_0} \right). \] Im zweiten Bruch der Klammer vertauschen wir das Vorzeichen im Zähler: \[ = \frac{1}{h(x)h(x_0)} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}h(x_0) - g(x_0) \frac{h(x) - h(x_0)}{x-x_0} \right). \] Da $g$ und $h$ differenzierbar sind, existieren die Grenzwerte für die Differenzenquotienten. Weiterhin sind $h(x_0)$ und $g(x_0)$ Konstanten, so dass der Grenzwert für den Term in der Klammer existiert. Da $h$ als differenzierbare Funktion auch stetig ist, gilt $\lim_{x\rightarrow x_0} h(x) = h(x_0)$. Somit existiert der Grenzwert für den Term vor der Klammer, wenn $h(x_0) \neq 0$ gilt.
Insgesamt gilt somit \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{g'(x_0)h(x_0) - g(x_0)h'(x_0)}{h^2(x_0)}. \] Dies ist die sogenannte Quotientenregel der Differentialrechnung.
Satz (Quotientenregel)
Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall, $x\in I$ und $f,g:I\rightarrow\R$ in $x$ differenzierbar.
Gilt $g(x) \neq 0$, so ist die Funktion $\displaystyle \frac{f}{g}$ in $x$ differenzierbar und es gilt \[ \left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}. \]
Beispiel 2
Es sei $f(x) = \frac{3x-1}{1 + x^2}$.
Wegen $1 + x^2 > 0$ für $x\in\R$ ist $f(x)$ auf ganz $\R$ differenzierbar und es gilt: \[ f'(x) = \frac{3(1+x^2) - (3x-1)2x}{(1+x^2)^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(1+x^2)^2}. \]
Im nächsten Beispiel leiten wir mit der Quotientenregel einen nützlichen Spezialfall für diese her.
Beispiel 3
Es sei $g(x)$ eine differenzierbare Funktion und $f(x) = \frac{1}{g(x)}$.
Dann ist $f(x)$ dort differenzierbar, wo $g(x) \neq 0$ gilt und für solche $x$ gilt \[ f'(x) = \left(\frac{1}{g(x)}\right)' = \frac{0\cdot g(x) - 1\cdot g'(x)}{g^2(x)} = - \frac{g'(x)}{g^2(x)}. \]
Mit der Ableitungsformel aus Beispiel 3 können wir nun leicht zeigen, dass \[ (x^n)' = n x^{n-1} \] nicht nur für $n\in\N_0$ (siehe Proposition 3) sondern sogar für $n\in\mathbb{Z}$ gilt.
Es sei $f(x) = x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}$ und $n < 0$. Wir definieren $m := -n$. Damit gilt $m > 0$ und \[ x^n = x^{-m} = \frac{1}{x^m}. \] Hier wenden wir nun den Spezialfall der Quotientenregel aus Beispiel 3 an: \[ \left(\frac{1}{x^m}\right)' = - \frac{m x^{m-1}}{x^{2m}} = - \frac{m}{x^{m+1}}. \] Wegen $m = -n$ folgt damit \[ (x^n)' = \frac{n}{x^{-n+1}} = \frac{n}{x^{-(n-1)} = n x^{n-1}. \]
Wir halten dieses Ergebnis in einer weiteren Proposition fest.
Proposition 4
Die Aussage von Proposition 3, \[ \left(x^n\right)' = n x^{n-1}, \] gilt für alle $n\in\mathbb{Z}$.Kettenregel
Neben den arithmetischen Operationen können wir auch die Verkettung von Funktionen verwenden, um aus einfachen Funktionen komplexere zu bauen. Wir leiten nun eine Formel für solch eine Verkettung her, d. h. wir berechnen $(f(g(x)))'$ für zwei differenzierbare Funktionen $f$ und $g$.
Analog zu den arithmetischen Operationen führt auch hier der Weg zur Herleitung über den Differenzenquotienten, denn wir müssen \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} \] bestimmen.
Wenn wir den Differenzenquotienten mit $g(x) - g(x_0)$ erweitern, erhalten wir \[ \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} = \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}. \] Der Faktor rechts ist der Differenzenquotient für $g(x_0)$. Wenn $g(x)$ differenzierbar ist, existiert der Grenzwert für diesen Differenzenquotienten und hat den Wert $g'(x_0)$.
Somit bleibt noch die Frage übrig, ob der Grenzwert von \[ \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \] für $x \rightarrow x_0$ existiert. Um die Frage zu beantworten, gehen wir von einer beliebigen Folge $(x_n)$ mit $\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x_0$ aus und definieren durch $y_n := g(x_n)$ eine neue Folge. Wenn $g(x)$ differenzierbar ist, dann ist $g(x)$ auch stetig, woraus \[ \lim_{n\rightarrow \infty} g(x_n) = g(x_0) \] folgt. Mit der zusätzlichen Definition $y_0 := g(x_0)$ gilt somit \[ \frac{f(g(x_n)) - f(g(x_0))}{g(x_n) - g(x_0)} = \frac{f(y_n) - f(y_0)}{y_n - y_0}. \] Wenn $f(x)$ wiederum differenzierbar ist, dann existiert der Grenzwert für diesen Differenzenquotienten in $y_0$ und es gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(y_n) - f(y_0)}{y_n - y_0} = f'(y_0). \] Damit erhalten wir insgesamt \[ \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0). \]
Damit haben wir die sogenannte Kettenregel hergeleitet.
Satz (Kettenregel)
Seien $I,J\subseteq\R$ Intervalle, $x\in I$ und $g:I\rightarrow J$ und $f:J\rightarrow\R$ Funktionen.
Wenn $g$ in $x$ und $f$ in $g(x)$ differenzierbar ist, dann ist auch $f\circ g$ in $x$ differenzierbar und es gilt \[ (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x). \]
Zur Erinnerung: Es gilt \[ (f\circ g)(x) = f(g(x)). \]
Beispiel
Es sei $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$. Wie lautet $f'(x)$?
Sei \[ g(x)=1+x^2\quad\text{und}\quad h(y) = \frac{1}{y}. \] Dann ist \[ g'(x)=2x\quad\textnormal{und}\quad h'(y) = -\frac{1}{y^2} \] und damit $f(x) = (h\circ g)(x) = h(g(x))$. Mit der Kettenregel ergibt sich \[ f'(x) = (h\circ g)'(x) = h'(g(x))\cdot g'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}. \]
Statt der Kettenregel hätten wir in diesem Beispiel aus die spezialisierte Form der Quotientenregel nutzen können, um die Ableitung zu berechnen. Natürlich führt dies zum gleichen Ergebnis. Auch beim nächsten Beispiel könnten wir die Ableitung ohne Kettenregeln bestimmen, sie vereinfacht aber die Rechnung erheblich.
Beispiel
Es sei $f(x) = (3x^2 + 6x - 2)^4$. Wie lautet $f'(x)$?
Sei \[ g(x) = 3x^2 + 6x - 2 \quad\text{und}\quad h(y) = y^4. \] Dann ist \[ g'(x) = 6x+6 \quad\text{und}\quad h'(y) = 4y^3. \] Mit der Kettenregel ergibt sich \[ f'(x) = h'(g(x))\cdot g'(x) = 4(3x^2 + 6x - 2)^3 (6x+6). \]
Damit kennen wir alle elementaren Rechenregeln für Ableitungen. In der nächsten Blog-Folge leiten wir zusätzlich weitere Rechenregeln her: für die Umkehrfunktion einer Funktion und für Potenzreihen. Damit können wir dann auch die Ableitungen unserer elementaren Funktionen bestimmen.
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