Ableitung der Umkehrfunktion
Wenn wir voraussetzen, dass die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ einer Funktion $f(x)$ differenzierbar ist, ergibt sich die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion aus der Kettenregel. Aus \[ f(f^{-1}(x)) = x \] folgt durch Ableitung beider Seiten (links mit der Kettenregel) \[ f'(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1})'(x) = 1. \] Jetzt lösen wir diese Gleichung nach $(f^{-1})'(x)$ auf und erhalten damit \[ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}. \]
Beachte, dass diese Herleitung nur eine Begründung für die Ableitungsformel ist, aber kein Beweis dafür, dass die Umkehrfunktion differenzierbar ist, denn bei der Anwendung der Kettenregel haben wir die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion bereits vorausgesetzt. Auf einen kompletten Beweis möchte ich hier aber verzichten. Der nachfolgende Satz gibt an, unter welchen Voraussetzungen die Ableitung der Umkehrfunktion existiert.
Satz
Sei
- $I\subseteq\R$ ein Intervall und $y_0\in I$,
- $f:I\rightarrow\R$ eine streng monotone und stetige Funktion, die in $y_0$ differenzierbar ist,
- $I'=f(I)$ und $f^{-1}:I'\rightarrow I$ die Umkehrfunktion von $f$.
Dann ist $f^{-1}$ genau dann differenzierbar in $x_0:=f(y_0)$, wenn $f'(y_0)\neq 0$ gilt, mit \[ (f^{-1})'(x_0) = \frac{1}{f'(y_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(x_0))}. \]
Wir wenden diese neue Formel gleich mal an, um die Ableitung der Wurzelfunktion zu bestimmen.
Beispiel
Es sei $f(x) = x^2$. Dann lautet die Umkehrfunktion \[ f^{-1}(x) = \sqrt{x}. \] Mit der Formel für die Umkehrfunktion können wir jetzt die Ableitung von $\sqrt{x}$ bestimmen.
Es gilt \[ f'(x) = 2x. \] Mit der Formel für die Umkehrfunktion ergibt sich \[ \left(\sqrt{x}\right)' = \left(f^{-1}(x)\right)' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{2(f^{-1}(x))} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]
Leider können wir an dieser Stelle die Formel zur Ableitung der Umkehrfunktion noch nicht anwenden, um die Ableitung der Logarithmusfunktion zu ermitteln, denn dafür benötigen wir noch die Ableitung der Exponentialfunktion. Deren Ableitung bestimmen wir erst im nächsten Abschnitt, der sich mit der Ableitung von Potenzreihen beschäftigt.
Ableitung von Potenzreihen
Unsere bisher betrachteten elementaren Funktionen sind alle über Potenzreihen definiert oder als solche darstellbar. Um die Ableitung dieser elementaren Funktionen zu bestimmen, bietet es sich daher an, allgemein zu untersuchen, wie Funktionen, die als Potenzreihe darstellbar sind, abgeleitet werden können. Solch eine Ableitungregel für Potenzreihen ergibt sich aus dem folgenden Satz, den ich hier ohne Beweis angebe.
Satz
Sei $I\subseteq\R$ ein beschränktes Intervall und seien die Funktionen $f_n:I\rightarrow\R$ differenzierbar auf $I$ für alle $n\in\N_0$.
Wenn
- die Folge $(f_n(x_0))$ für ein $x_0\in I$ konvergiert und
- die Funktionenfolge $(f_n')$ gleichmäßig gegen eine Funktion $g:I\rightarrow\R$ konvergiert,
dann konvergiert die Funktionenfolge $(f_n)$ gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion $f$ und es gilt $f' = g = \lim_{n\rightarrow \infty} f_n'$.
Zusammengefasst bedeutet der vorige Satz, dass wir bei einer Funktionenfolge $(f_n),$ die aus differenzierbaren Funktionen besteht und für die wiederum die Funktionenfolge $(f_n')$ der Ableitungen gleichmäßig konvergiert, die Grenzwerte vertauschen dürfen: \[ f'(x) = \left(\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\right)' = \lim_{n\rightarrow \infty} f_n'(x). \] Oder in Worten: Die Ableitung $f'(x)$ der Grenzfunktion ist identisch mit der Grenzfunktion der Funktionenfolge $(f_n')$ der Ableitungen.
Wir nutzen jetzt diese abstrakte Aussage des vorigen Satzes, um eine Ableitungsregel für Potenzreihen aufzustellen. Wir wissen, dass wir Potenzreihen als Funktionenfolge auffassen können. Dies hatte wir bereits bei der Untersuchung von Potenzreihen auf Stetigkeit genutzt, siehe hier.
Wir wissen weiterhin, dass eine Potenzreihe \[ f(x) := \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n \] im Entwicklungspunkt $x_0$ immer konvergiert (mit Grenzwert $a_0$). Damit ist die erste Voraussetzung des Satzes von oben erfüllt.
Jetzt leiten wir die Potenzreihe summandenweise ab, d. h. wir bilden die Potenzreihe \[ g(x) := \sum_{n=0}^\infty (a_n (x-x_0)^n)'. \] Für $n=0$ wird die Ableitung $0$. Damit gilt nach Ableitungregeln \[ g(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n (x-x_0)^{n-1}. \]
Aber konvergiert die Potenzreihe $g(x)$ und wenn ja, wo? Wegen \[ \left|\frac{(n+1)a_{n+1}(x-x_0)^n}{n a_n (x-x_0)^{n-1}}\right| = \underbrace{\frac{n+1}{n}}_{\rightarrow 1} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| |x-x_0| \] ergibt sich mit dem Quotientenkriterium, dass die Potenzreihe $g(x)$, die aus den Ableitungen der Summanden besteht, den gleichen Konvergenzradius wie die Potenzreihe von $f(x)$ hat.
Jetzt wissen wir aber auch, dass eine Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzkreises stets gleichmäßig konvergiert. Mit dem vorigen Satz folgt daher, dass \[ f'(x) = g(x) \] gelten muss. Wir können Potenzreihen also summandenweise ableiten.
Satz
Die Potenzreihen $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ habe den Konvergenzradius $R > 0$.
Dann hat auch die Potenzreihe $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n a_n (x-x_0)^{n-1}$ den Konvergenzradius $R$ und für alle $x$ mit $|x-x_0| < R$ gilt \[ f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n (x-x_0)^{n-1}. \]
Mit dieser Rechenregel bestimmen wir nun die Ableitungen unserer elementaren Funktionen. Wir beginnen mit der Exponentialfunktion: \[ (\exp(x))' = \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)' = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^n}{n!}\right)' = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp(x). \] Die Exponentialfunktion hat also sich selbst als Ableitung.
Mit der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion können wir jetzt auch die Ableitung des Logarithmus bestimmen. Mit $f(x)=\exp(x)$ und $\log(x)=f^{-1}(x)$ ergibt sich \[ (\log(x))' = \left(f^{-1}(x)\right)' = \frac{1}{\exp(\log(x))} = \frac{1}{x}. \]
Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion ergibt sich durch Anwendung der Kettenregel. Für $a > 0$ gilt: \[ \left(a^x\right)' = (\exp(\log(a)\cdot x))' = \exp(\log(a)\cdot x)\cdot \log(a) = a^x\cdot \log(a). \]
Analog ermitteln wir die Ableitung für die allgemeine Potenz: \[ \left(x^b\right)' = (\exp(\log(x)\cdot b))' = \exp(\log(x)\cdot b)\cdot \frac{b}{x} = x^b \cdot \frac{b}{x} = b x^{b-1}. \] Dies zeigt, dass wir die uns schon bekannte bekannte Ableitungregel \[ \left(x^n\right)' = n x^{n-1} \] nicht nur für $n\in\mathbb{Z}$ anwenden können. Damit haben wir auch eine weitere Möglichkeit, die Ableitung der Wurzelfunktion zu ermitteln: \[ \left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^\frac{1}{2}\right)' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2x^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] Natürlich entsteht genau die Ableitung, die wir schon kennen.
Jetzt fehlen uns noch die Ableitungen der Sinus- und der Cosinusfunktion sowie die Ableitungen hyperbolischen Funktionen. Ich zeige Dir hier als nächstes, wie man die Ableitung des Cosinus ermitteln kann.
Wir beginnen damit, dass wir den Cosinus durch seine Potenzreihendarstellung ersetzen. \[ (\cos(x))' = \left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)' \] Jetzt nutzen wir aus, dass wir Potenzreihen summandenweise ableiten dürfen \[ = \sum_{n=0}^\infty \left((-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)' \] und bilden im nächsten Schritt für jeden Summanden die Ableitung. Dabei wird für den Summanden mit $n=0$ die Ableitung zu $0$ und wir können diesen Summanden streichen, weshalb die Reihe jetzt bei $n=1$ beginnt. \[ = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2nx^{2n-1}}{(2n)!} \] Jetzt kürzen wir im Bruch den Faktor $2n$ heraus \[ = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \] und führen eine Indexverschiebung durch. \[ = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] Wenn wir den Faktor $(-1)$ ausklammern \[ = (-1)\cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\[3mm] \] erhalten wir hinter dem Faktor $(-1)$ die Potenzreihendarstellung von $\sin(x)$. \[ = -\sin(x) \] Es gilt also \[ (\cos(x))' = -\sin(x), \] die Ableitung der Cosinusfunktion ist das Negative der Sinusfunktion.
Die Ableitung der Sinusfunktion können wir auf analoge Weise ermitteln, allerdings tritt an einer Stelle eine Besonderheit auf. Schauen wir uns zuerst die Herleitung an: \begin{eqnarray*} (\sin(x))' & = & \left( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right)' \\[3mm] & = & \sum_{n=0}^\infty \left( (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right)' \\[3mm] & = & \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!} \\[3mm] & = & \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\[3mm] & = & \cos(x). \end{eqnarray*}
Du wirst dich vielleicht fragen, warum wir hier nach der summandenweisen Ableitung nicht, wie im Satz angegeben und wie auch beim Cosinus angewendet, den Startindex für die Reihe auf $n=1$ gesetzt haben, sondern bei $n=0$ als Startindex geblieben sind. Nun, es ist immer erforderlich, sich genau anzuschauen, wie die Reihe aussieht. Immer den Startindex auf $n=1$ zu setzen, kann zu falschen Ergebnissen führen.
In der Aussage des letzten Satzes können wir den Startindex hochsetzen, weil der Summand für $n=0$ eine Konstante ist und somit seine Ableitung zu $0$ wird. Wenn wir den Anfang der allgemeinen Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ einmal ausführlich hinschreiben, sehen wir dies sofort. Für \[ f(x) = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots \] entsteht die Ableitung \[ f'(x) = a_1 + 2 a_2 (x-x_0) + 3 a_3 (x-x_0)^2 + \cdots. \] Der Term mit $a_0$ verschwindet in der Ableitung, weshalb die abgeleitete Reihe den Startindex $n=1$ bekommt.
Beim Sinus ist die Situation aber etwas anders, denn die Potenzreihe des Sinus besteht nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten. \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm \cdots \] Wenn wir hier ableiten, fällt kein Summand weg: \[ (\sin(x))' = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots \] Dementsprechend bleibt der Startindex bei $n=0$.
Fazit: Bei der Ableitung einer Potenzreihe musst Du Dir stets genau anschauen, was mit dem ersten Summanden der Originalreihe in der Ableitung passiert und den Startindex entsprechend setzen.
Für die hyperbolischen Funktionen gilt: \begin{eqnarray*} (\sinh(x))' & = & \cosh(x), \\ (\cosh(x))' & = & \sinh(x). \end{eqnarray*} Die Herleitung dieser Formeln stelle ich Dir als Übungsaufgabe.
Übung
Zeige:
- $(\sinh(x))' = \cosh(x)$
- $(\cosh(x))' = \sinh(x)$
- \begin{eqnarray*} (\sinh(x))' & = & \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)' \\[3mm] & = & \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)'\\[3mm] & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!} \\[3mm] & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\[3mm] & = & \cosh(x) \end{eqnarray*}
- \begin{eqnarray*} (\cosh(x))' & = & \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)' \\[3mm] & = & \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)' \\[3mm] & = & \sum_{n=1}^\infty \frac{2n x^{2n-1}}{(2n)!} \\[3mm] & = & \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \\[3mm] & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\[3mm] & = & \sinh(x) \end{eqnarray*}
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