Wechselnde Vorzeichen bei den Summanden einer Reihe können die Untersuchung auf Konvergenz deutlich erschweren. Daher kann es von Bedeutung sein, bei der Untersuchung diese Vorzeichenwechsel zu ignorieren.
Der Begriff der absoluten Konvergenz
Bei den Summanden betrachten wir dann statt $a_n$ immer $|a_n|$, also insgesamt die Reihe $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ statt der originalen Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Wenn die Reihe der Beträge konvergent ist, dann nennen wir sie absolut konvergent.
Absolut konvergente Reihe
Eine Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty |a_n| \] konvergent ist.
Es gibt Reihen, die konvergent aber nicht absolut konvergent sind. Eine solche Reihe ist die alternierende harmonische Reihe \[ \sum_{n=1}^n (-1)^n \frac{1}{n}, \] die wir aus der Blog-Folge über das Leibniz-Kriterium kennen. Dort hatten wir mit dem Leibniz-Kriterium gezeigt, dass sie konvergent ist. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn \[ \sum_{n=1}^\infty \left|(-1)^n \frac{1}{n} \right| = \sum_{n=1}^n \frac{1}{n} \] und dies ist die harmonische Reihe, die bekanntlich divergent ist.
Dreiecksungleichung für absolut konvergente Reihen
Der folgende Satz zeigt aber, dass die absolute Konvergenz ein hinreichendes Konvergenzkriterium ist, also dass eine absolut konvergente Reihe auch stets konvergent ist.
Satz
Eine absolut konvergente Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ ist auch konvergent und für die Grenzwerte gilt die Dreiecksungleichung \[ \left| \sum_{n=1}^\infty a_n \right| \leq \sum_{n=1}^\infty |a_n|. \]
Es sei $S_n := \sum_{k=1}^n |a_k|$ die $n$-te Partialsumme der absoluten Reihe und $T_n := \sum_{k=1}^n a_k$ die Partialsumme der originären Reihe. Wir zeigen zunächst, dass $T_n$ eine Cauchy-Folge und damit konvergent ist. Es gilt: \begin{eqnarray*} & & \sum_{n=1}^\infty |a_n| \textnormal{ ist konvergent} \\ & \Rightarrow & S_n = \sum_{k=1}^n |a_k|\textnormal{ ist eine Cauchy-Folge}\\ & \Rightarrow & \forall\epsilon > 0\exists n_0\in\mathbb{N}\forall m\geq n\geq n_0 : |S_m - S_n| < \epsilon \\ & \Rightarrow & \forall\epsilon > 0\exists n_0\in\mathbb{N}\forall m\geq n\geq n_0 : \sum_{k=n+1}^m |a_k| < \epsilon. \end{eqnarray*} Mit der üblichen Dreiecksungleichung folgt aber für alle $m\geq n$ \[ |T_m - T_n| = \left| \sum_{k=n+1}^m a_k \right| \leq \sum_{k=n+1}^m |a_k|. \] Eingesetzt in die obige Folgerung erhalten wir \[ \forall\epsilon > 0\exists n_0\in\mathbb{N}\forall m\geq n\geq n_0 : \left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| < \epsilon. \] Also ist auch $(T_n)$ eine Cauchy-Folge und damit konvergent. Damit ist der Nachweis erbracht, dass eine absolut konvergente Reihe auch konvergent ist.
Jetzt müssen wir noch die Ungleichung für die Grenzwerte zeigen. Weil die Partialsummen endliche Summen sind, können wir auf sie die gewöhnlichen Dreiecksungleichung anwenden, woraus $|T_n|\leq S_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$ folgt. Wir haben oben gezeigt, dass $(T_n)$ konvergent ist, womit auch die Folge $(|T_n|)$ konvergent ist (Grenzwertregel für Folgen). Die Folge $(S_n)$ ist nach Voraussetzung konvergent. Mit der Ungleichung für Grenzwerte erhalten wir dann die Ungleichung \[ \left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right| = \lim_{n\rightarrow\infty} |T_n| \leq \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \sum_{n=1}^\infty |a_n|. \]
Das folgende Beispiel zeigt, wie hilfreich dieses hinreichende Konvergenzkriterium sein kann.
Beispiel
Wir betrachten die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty v_n \left(\frac{1}{2}\right)^n. \] mit \[ v_n = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \textnormal{wenn } n \textnormal{ keine Primzahl ist},\\ -1 & \textnormal{sonst}. \end{array} \right. \]
Wir untersuchen die Reihe auf absolute Konvergenz: \[ \sum_{n=0}^\infty\left| v_n \left(\frac{1}{2}\right)^n\right| = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2. \] Durch Einführung des Betrags bei den Summanden ergibt sich eine konvergente geometrische Reihe mit Grenzwert $2$. Damit können wir folgern, dass die Originalreihe $\sum_{n=0}^\infty v_n \left(\frac{1}{2}\right)^n$ konvergent ist. Allerdings kennen wir nicht den Grenzwert dieser Reihe, nach der Dreiecksungleich für absolut konvergente Reihen muss aber \[ -2 \leq \sum_{n=0}^\infty v_n \left(\frac{1}{2}\right)^n \leq 2 \] gelten.
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