Bei der Untersuchung einer Reihe auf Konvergenz kann es hilfreich sein, die Summanden der Reihe nach oben abzuschätzen, wenn durch die Abschätzung eine Reihe entsteht, deren Konvergenz bekannt ist.
Umgekehrt kann man durch eine Abschätzung nach unten die Divergenz zeigen, wenn die kleinere Reihe ebenfalls divergent ist. Diese beiden Methoden werden als Majoranten- und Minorantenkriterium bezeichnet.
Satz
Es seien $(a_n)$ und $(b_n)$ zwei Folgen mit $|a_n|\leq|b_n|$ für alle $n\in\mathbb{N}$.
- Wenn $\sum_{n=1}^\infty b_n$ absolut konvergent ist, dann ist auch die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent.
- Wenn die Reihe $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ divergent ist, dann ist auch die Reihe $\sum_{n=1}^\infty |b_n|$ divergent.
Der erste Punkt beschreibt das Majorantenkriterium, der zweite das Minorantenkriterium. Die beiden Kriterien sind logisch äquivalent, denn in der Aussagenlogik gilt allgemein \[ \beta \Rightarrow \alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \neg \alpha \Rightarrow \neg \beta. \] Jetzt betrachte man als $\beta$ die Aussage, dass die Reihe $\sum_{n=1}^\infty b_n$ absolut konvergent ist und als $\alpha$ die gleiche Aussage für die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Dann entspricht das Majorantenkriterium der linke Seite der Äquivalenz und das Minorantenkriterium der rechten Seite. Damit genügt es auch, eines der beiden Kriterien zu beweisen.
Im Majorantenkriterium wird die Reihe $\sum_{n=1}^\infty |b_n|$ auch als Majorante bezeichnet, im Minorantenkriterium die Reihe $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ als Minorante.
Beweis
Wir beweisen das Majorantenkriterium.
Es sei \[ S_n := \sum_{k=1}^n |a_k|\quad\text{und}\quad T_n:=\sum_{k=1}^n |b_k| \] und $\epsilon > 0$ beliebig. Nach Voraussetzung ist die Reihe $\sum_{n=1}^\infty b_n$ absolut konvergent. Damit ist $(T_n)$ ist eine Cauchy-Folge und es existiert ein $n_0\in\mathbb{N}$, so dass für alle $m\geq n\geq n_0$ \[ |T_m - T_n| = \sum_{k=n+1}^m |b_k| < \epsilon \] gilt. Wegen $|a_k|\leq|b_k|$ folgt für alle $m \geq n \geq n_0$: \[ |S_m - S_n| = \sum_{k=n+1}^m |a_k| \leq \sum_{k=n+1}^m |b_k| < \epsilon. \] Also ist auch $(S_n)$ eine Cauchy-Folge und damit konvergent.
Für die Anwendung des Majoranten- bzw. des Minorantenkriteriums genügt es, wenn ein $n_0 \in \mathbb{N}$ existiert, so dass $|a_n| \leq |b_n|$ für alle $n\geq n_0$ gilt. In der Spache der Mathematik sagt man dazu auch, dass $|a_n| \leq |b_n|$ für fast alle $n\in\mathbb{N}$ gilt. Allgemein ist mit dem Begriff "fast alle" gemeint, dass eine Aussage für alle bis auf endlich viele $n$ gilt.
Um zu lernen, wie man Majoranten- und Minorantenkriterium einsetzt, schauen wir uns einige Beispiele an.
Beispiel
Die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n + (-2)^n}{4^n} \] ist absolut konvergent, denn \[ \left|\frac{3^n + (-2)^n}{4^n}\right| \leq \frac{3^n + 2^n}{4^n} \leq \frac{3^n + 3^n}{4^n} = 2 \left(\frac{3}{4}\right)^n \] und \[ \sum_{n=0}^\infty 2\left(\frac{3}{4}\right)^n = 2 \underbrace{\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n}_{=4} = 8. \]
Die Abschätzung erfolgt also durch die Reihe $2\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n$ als Majorante, die als geometrische Reihe absolut konvergent ist.
Der aufmerksame Leser wird an dieser Stelle einwenden, dass beim letzten Beispiel für den Nachweis der Konvergenz die Anwendung des Majorantenkriteriums keineswegs notwendig ist, denn die fragliche Reihe kann durch Umformung als Linearkombination von geometrischen Reihen dargestellt werden und damit können wir sogar den Grenzwert angeben. \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n + (-2)^n}{4^n} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{4}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} + \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \] Nichtsdestotrotz bleibt die Argumentation mit dem Majorantenkriterium korrekt.
Beim nächsten Beispiel können wir die betrachtete Reihe nicht als Linearkombination geometrischer Reihen darstellen.
Beispiel
Wir betrachten die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n+5}{n^3+n^2 + 1}. \] Für $n\geq n_0 := 5$ gilt \[ 0 \leq \frac{n+5}{n^3+n^2+1} \leq \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}. \] Wir nutzen hier also aus, dass eine Abschätzung nur für fast alle $n$ gelten muss. Für die Abschätzung haben wir den Zähler durch $2n \geq n+5$ vergrößert und den Nenner durch $n^3 \leq n^3+n^2+1$ verkleinert, wodurch der Bruch insgesamt größer (genauer: nicht kleiner) wird. In einer früheren Blog-Folge hatten wir außerdem gezeigt, dass die Reihe \[ \sum_{n=1} \frac{1}{n^2} \] konvergent ist. Wegen $\frac{1}{n^2} \geq 0$ ist sie natürlich auch absolut konvergent. Also ist die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2} = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \] eine absolut konvergente Majorante für die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+5}{n^3+n^2 + 1}$, die somit ebenfalls absolut konvergent ist.
Analog zum vorigen Beispiel können wir mit dem Majorantenkriterium leicht folgern, dass die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \] für alle $k\geq 2$ absolut konvergent ist, denn wegen $0\leq \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{n^2}$ ist die absolut konvergente Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ eine Majorante.
Beispiel
Mit dem Minorantenkriterium folgt, dass die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \] divergent ist, denn wegen \[ 0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \text{ für alle } n\in\mathbb{N} \] ist die divergente harmonische Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ eine Minorante.
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