Übungen zu Fakultät, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz, Bernoullische Ungleichung und Betrag

Seien $a,x,y,\epsilon\in\R$ mit $\epsilon > 0$ beliebig und es gelte $|a -x| < \epsilon$ und $|a-y| < \epsilon$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} & & |x-y| \\ & = & |x + ((-a) + a) - y| \\ & = & | (x-a) + (a-y)| \\ & \leq & |x-a| + |a-y| \\ & = & |a-x| + |a-y| \\ & < & \epsilon + \epsilon \\ & = & 2\epsilon. \end{eqnarray*} Erläuterung: In Zeile 2 erweitern wir den Term um $(-a) + a = 0$. Eine andere Klammersetzung (Assoziativgesetz) ergibt Zeile 3. Anschließend wenden wir die Dreiecksungleichung an (Zeile 4). Nach der simplen Termunformung in Zeile 5 können wir die gegebene Voraussetzung anwenden.

Wir beweisen die Aussage mit vollständiger Induktion.

$n=1$: \[ \left| \sum_{k=1}^1 a_k \right| = |a_1| = \sum_{k=1}^1 |a_k|. \] Für $n=2$ entspricht die Aussage der normalen Dreiecksungleichung.

$n \rightarrow n+1$: \[ \left| \sum_{k=1}^{n+1} a_k \right| \\ = \left| a_{n+1} + \sum_{k=1}^n a_k \right| \] Jetzt wenden wir die normale Dreiecksungleichung an. \[ \leq |a_{n+1}| + \left|\sum_{k=1}^n a_k \right| \] Für den rechten Summanden gilt die Induktionsvoraussetzung. \[ \leq |a_{n+1}| + \sum_{k=1}^n |a_k| \] Jetzt müssen wir nur noch $|a_{n+1}|$ mit in die Summe aufnehmen. \[ = \sum_{k=1}^{n+1} |a_k|. \]

1. \[ \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{1\cdot 2} = \frac{30}{2} = 15 \]

2. \[ \binom{7}{3} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3} = 7\cdot 5 = 35 \]

3. \[ \binom{9}{8} = \binom{9}{1} = 9 \]

4. \[ \binom{17}{15} = \binom{17}{2} = \frac{17\cdot 16}{1\cdot 2} = 17\cdot 8 = 136 \]

5. \[ \binom{10}{5} = \frac{10\cdot 9\cdot 8 \cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} = \frac{480 \cdot 9 \cdot 7}{120} = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252 \]

6. \[ \binom{n+1}{n-1} = \binom{n+1}{2} = \frac{(n+1)n}{1\cdot 2} = \frac{n(n+1)}{2} \]

1. \begin{eqnarray*} (x+7)^3 & = & \binom{3}{0} x^3 7^0 + \binom{3}{1} x^2 7^1 + \binom{3}{2} x^1 7^2 + \binom{3}{3} x^0 7^3 \\[3mm] & = & x^3 + 21 x^2 + 147 x + 343 \end{eqnarray*}

2. \begin{eqnarray*} (2x-1)^5 & = & \binom{5}{0} 2^5x^5(-1)^0 + \binom{5}{1} 2^4x^4(-1)^1 + \binom{5}{2} 2^3 x^3 (-1)^2 + \\ & & \quad\quad \binom{5}{3} 2^2 x^2 (-1)^3 + \binom{5}{4} 2^1 x^1 (-1)^4 + \binom{5}{5} 2^0 x^0 (-1)^5 \\[3mm] & = & 32 x^5 - 80 x^4 + 80 x^3 - 40 x^2 + 10x - 1 \end{eqnarray*}

3. \begin{eqnarray*} (x-1)^4(x+1)^4 & = & ((x-1)(x+1))^4 \\ & = & (x^2-1)^4 \\ & = & \binom{4}{0} \left(x^2\right)^4 (-1)^0 + \binom{4}{1} \left(x^2\right)^3 (-1)^1 + \binom{4}{2} \left(x^2\right)^2 (-1)^2 \\ & & \quad\quad + \binom{4}{3} \left(x^2\right)^1 (-1)^3 + \binom{4}{4} \left(x^2\right)^0 (-1)^4 \\[3mm] & = & x^8 - 4 x^6 + 6 x^4 - 4 x^2 + 1 \end{eqnarray*}

4. \begin{eqnarray*} (x-2)^2(x-2)^3 & = & (x-2)^5 \\ & = & \binom{5}{0}x^5 (-2)^0 + \binom{5}{1}x^4(-2)^1 + \binom{5}{2}x^3(-2)^2 \\ & & \quad\quad + \binom{5}{3} x^2 (-2)^3 + \binom{5}{4} x^1 (-2)^4 + \binom{5}{5} x^0 (-2)^5 \\[3mm] & = & x^5 - 10x^4 + 40 x^3 - 80x^2 + 80 x - 32 \end{eqnarray*}

1. \[ 2^n = (1+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \]

2. \[ 0 = 0^n = (1+(-1))^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} (-1)^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \]

1. Wir unterscheiden die beiden Fälle $5x-3\geq 0$ und $5x-3 < 0$, denn je nachdem welcher Fall vorliegt, ist der Betrag anders definiert.

   Zunächst gilt: \[ 5x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow 5x \geq 3 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{5}. \]

   1. Fall: $x \geq \frac{3}{5}$

   Für diesen Fall gilt: \begin{eqnarray*} |5x-3| < 2 & \Leftrightarrow & 5x - 3 < 2 \\ & \Leftrightarrow & 5x < 5 \\ & \Leftrightarrow & x < 1. \end{eqnarray*} Damit ist \[ {\cal L}_1 = \left\{x\left|\frac{3}{5} \leq x < 1\right.\right\} \] die Lösungsmenge für den ersten Fall.

   2. Fall: $x < \frac{3}{5}$

   Für diesen Fall gilt: \begin{eqnarray*} |5x-3| < 2 & \Leftrightarrow & -(5x-3) < 2 \\ & \Leftrightarrow & 3 - 5x < 2 \\ & \Leftrightarrow & 1 < 5x \\ & \Leftrightarrow & x > \frac{1}{5}. \end{eqnarray*} Damit ist \[ {\cal L}_2 = \left\{x\left|\frac{1}{5} < x < \frac{3}{5}\right.\right\} \] die Lösungsmenge für den zweiten Fall.

   Die Gesamtlösungsmenge $\cal L$ ist damit \[ {\cal L} = {\cal L}_1 \cup {\cal L}_2 = \left\{x\left| \frac{1}{5} < x < 1\right.\right\}. \]

2. Gemäß Betragseigenschaften gilt stets $|6x+2|\geq 0$ und somit insbesondere $|6x+2|\geq -1$. Somit erfüllt jedes $x\in\R$ diese Ungleichung. Also: ${\cal L} = \R$.

3. Zunächst gilt \[ 2 + |2x+3| < 5 \Leftrightarrow |2x+3| < 3 \] Damit haben wir eine Ungleichung wie in (i) und lösen diese mittels Fallunterscheidung.

   Es gilt \[ 2x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{3}{2}. \] Also unterscheiden wir $x \geq -\frac{3}{2}$ und $x < -\frac{3}{2}$.

   1. Fall: $x \geq -\frac{3}{2}$

   Für diesen Fall gilt: \begin{eqnarray*} |2x+3| < 3 & \Leftrightarrow & 2x + 3 < 3 \\ & \Leftrightarrow & 2x < 0 \\ & \Leftrightarrow & x < 0. \end{eqnarray*} Damit ist \[ {\cal L}_1 = \left\{ x\left| -\frac{3}{2} \leq x < 0\right.\right\} \] die Lösungsmenge für den ersten Fall.

   2. Fall: $x < -\frac{3}{2}$

   Für diesen Fall gilt: \begin{eqnarray*} |2x+3| < 3 & \Leftrightarrow & -(2x+3) < 3 \\ & \Leftrightarrow & -2x - 3 < 3 \\ & \Leftrightarrow & 2x > -6 \\ & \Leftrightarrow & x > -3. \end{eqnarray*} Damit ist \[ {\cal L}_2 = \left\{ x\left| -3 < x < -\frac{3}{2}\right.\right\} \] die Lösungsmenge für den zweiten Fall.

   Für die Gesamtlösungsmenge $\cal L$ gilt somit \[ {\cal L} = {\cal L}_1 \cup {\cal L}_2 = \left\{x \left| -3 < x < 0 \right.\right\}. \]

4. Hier haben wir einen Betrag innerhalb eines Betrags. Wir machen eine Fallunterscheidung für den inneren Betrag $|x-3|$.

   1. Fall: $x\geq 3$

   Für diesen Fall gilt: \begin{eqnarray*} ||x-3|-5| \leq 4 & \Leftrightarrow & |x-3-5| \leq 4 \\ & \Leftrightarrow & |x-8| \leq 4 \\ & \Leftrightarrow & |8 - x| \leq 4. \end{eqnarray*} Als Lösung erhalten wir alle reellen Zahlen $x$, die von $8$ einen Abstand haben, der nicht größer als $4$ ist. Also: \[ {\cal L}_1 = \{ x | 4 \leq x \leq 12 \}. \]

   2. Fall: $x < 3$

   Für diesen Fall gilt: \begin{eqnarray*} ||x-3|-5| \leq 4 & \Leftrightarrow & |-(x-3)-5| \leq 4 \\ & \Leftrightarrow & |-x-2| \leq 4 \\ & \Leftrightarrow & |x+2| \leq 4 \\ & \Leftrightarrow & |x-(-2)| \leq 4 \\ \end{eqnarray*} Als Lösung erhalten wir alle reellen Zahlen $x$, die von $-2$ einen Abstand haben, der nicht größer als $4$ ist. Also: \[ {\cal L}_2 = \{x | -6 \leq x \leq 2 \}. \]

   Die Gesamtlösungsmenge ist damit \[ {\cal L} = {\cal L}_1 \cup {\cal L}_2 = \{x| -6 \leq x \leq 2 \vee 4 \leq x \leq 12 \}. \]

1. Wir lösen die Aufgabe durch Fallunterscheidung.

   1. Fall: $y \geq x$

   Dann gilt $\max(\{x,y\}) = y$ und $|y-x| = y - x$ und somit \[ \frac{x+y+|y-x|}{2} = \frac{x+y+(y-x)}{2} = \frac{2y}{2} = y = \max(\{x,y\}). \]

   2. Fall: $y < x$

   Dann gilt $\max(\{x,y\}) = x$ und $|y-x| = x - y$ und somit \[ \frac{x+y+|y-x|}{2} = \frac{x+y+(x-y)}{2} = \frac{2x}{2} = x = \max(\{x,y\}). \]

2. Analog zu (i).

Wir nutzen die Bernoullische Ungleichung. Mit ihr folgt \[ 1.01^{100} = \left(1+\frac{1}{100}\right)^{100} \geq 1 + 100\cdot\frac{1}{100} = 1 + 1 = 2. \] Damit ist $1.01^{100}$ zumindest nicht kleiner als $2$.

Mit dem Binomischen Lehrsatz können wir aber auch leicht zeigen, dass $1.01^{100} > 2$ gilt. \begin{eqnarray*} 1.01^{100} & = & \left(1+\frac{1}{100}\right)^{100} \\ & = & \sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k} 1^{100-k} \left(\frac{1}{100}\right)^k \\ & = & 1 + 100\cdot \frac{1}{100} + \sum_{k=2}^{100} \underbrace{\binom{100}{k} \frac{1}{100^k}}_{> 0} \\ & > & 2. \end{eqnarray*}