Neben der Exponentialfunktion sind Sinus und Cosinus zwei weitere elementare Funktionen der Mathematik. Sie basieren direkt auf der Exponentialfunktion.
Definition von Sinus und Cosinus
In den vorangegangenen Blog-Folgen haben wir die Exponentialfunktion \[ \exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \] betrachtet und wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion kennengelernt. Wir beginnen diese Blog-Folge mit einer weiteren wichtigen Eigenschaft der Exponentialfunktion: Für $x\in\R$ liegt $\exp(\I x)$ immer auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene.
Satz
Für $x\in\R$ gilt \[ |\exp(\I x)| = 1. \]
Beweis
\begin{eqnarray*} |\exp(\I x)|^2 & = & \exp(\I x)\overline{\exp(\I x)} \\ & = & \exp(\I x)\exp(\overline{\I x}) \\ & = & \exp(\I x)\exp(-\I x) \\ & = & \exp(\I x - \I x) \\ & = & \exp(0) \\ & = & 1 \end{eqnarray*} Damit folgt die Aussage des Satzes.
Erläuterungen zum Beweis: Wir nutzen zunächst die Rechenregel $z\overline{z} = |z|^2$ aus den komplexen Zahlen. Für die nächste Zeile nutzen wir die Identität $\overline{\exp(z)} = \exp(\overline{z})$, siehe (iv) von diesem Satz. Anschließend wenden wir die Definition des konjugiert Komplexen einer komplexen Zahl an ($\overline{\I x} = -\I x$) und nutzen das Additionstheorem der Exponentialfunktion.
Die Tatsache, dass wir uns mit $\exp(\I x)$ für alle $x\in\R$ auf dem Einheitskreis befinden, motiviert die folgende Definition.
Definition
Für $x\in\mathbb{R}$ definieren wir die Funktionen $\sin,\cos : \mathbb{R}\rightarrow\R$ durch \begin{eqnarray*} \sin(x) & = & \Im(\exp(\I x)) \\ \cos(x) & = & \Re(\exp(\I x)). \end{eqnarray*} Die Funktion $\sin(x)$ heißt Sinus, die Funktion $\cos(x)$ heißt Cosinus.
Für $x\in\R$ gilt damit die Eulersche Formel: \[ \exp(\I x) = \cos(x) + \I\sin(x). \]
Die nachfolgende Grafik erläutert die Definitionen für Sinus und Cosinus. Praktisch entspricht $x$ einem Winkel. Der Funktionswert $\exp(\I x)$ ist die Stelle auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene, an welcher ein Strahl ausgehend vom Ursprung mit Winkel $x$ den Einheitskreis trifft. Die $x$-Koordinate dieses Treffpunkts ist $\cos(x)$ , was in der komplexen Ebene dem Realteil von $\exp(\I x)$ entspricht. Analog hierzu ist $\sin(x)$ die $y$-Koordinate des Treffpunkts, also der Imaginärteil von $\exp(\I x)$.
Diese Sichtweise für die trigonometrischen Funktion Sinus und Cosinus ist auch passend zu den geometrischen Definitionen, wie Du sie aus der Schule kennst. Dort wird der Sinus eines Winkels $x$ als Quotient der Längen von Gegenkathete und Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck definiert. Da wir uns hier auf dem Einheitskreis befinden, hat die Hypothenuse, die Strecke vom Ursprung zum Punkt $\exp(\I x)$, die Länge $1$ und der Quotient der Längen ist genau $\sin(x)$. Analog entspricht der Quotient der Längen von Ankathete und Hypothenuse genau $\cos(x)$.
Die beiden folgenden Plots zeigen die Funktionsgraphen der Sinus- und der Cosinusfunktion für reelle $x$.
Sinus und Cosinus sind periodische Funktionen, d. h. es treten immer wieder die gleichen Funktionswerte auf. Die Periodenlänge beträgt jeweils $2\pi$. Somit gilt \[ \sin(x) = \sin(x+2\pi) \quad\text{und}\quad \cos(x) = \cos(x+2\pi) \] für alle $x\in\R$. Die beiden Funktionen haben dabei qualitativ den gleichen Verlauf, sind aber um $\frac{\pi}{2}$ verschoben. Genauer: \[ \sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos(x) \] für alle $x\in\R$. Die Funktionswerte von Sinus und Cosinus liegen stets zwischen $-1$ und $1$.
Potenzreihendarstellung von Sinus und Cosinus
Wir haben Sinus und Cosinus zwar auf der Basis einer Potenzreihe, der Exponentialreihe für $\exp(\I x)$, implizit definiert, kennen bisher aber noch keine explizite Darstellung dieser Funktionen in Form einer Potenzreihe. Solch eine Darstellung wollen wir nun herleiten. Hierfür benötigen wir zunächst eine Hilfsaussage.
Lemma
Die beiden Potenzreihen \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \quad\textnormal{und}\quad \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \] sind für alle $z\in\mathbb{C}$ absolut konvergent.
Beweis
Wir beweisen die absolute Konvergenz für die erste Reihe mit dem Quotientenkriterium: \[ \left| \frac{(-1)^{n+1} z^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{(-1)^n z^{2n+1}}. \right| = \frac{|z|^2}{(2n+2)(2n+3)} \longrightarrow 0 < 1. \] Also konvergiert die Reihe unabhängig von $z$. Der Beweis für die zweite Reihe erfolgt analog: \[ \left| \frac{(-1)^{n+1} z^{2(n+1)}}{(2(n+1))!}\cdot \frac{(2n)!}{(-1)^n z^{2n}} \right| = \frac{|z|^2}{(2n+1)(2n+2)} \longrightarrow 0 < 1. \]
Tatsächlich sind diese beiden Reihen schon die Potenzreihendarstellung von Sinus und Cosinus, was wir aber natürlich noch beweisen müssen.
Satz
Für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt \begin{eqnarray*} \sin(x) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\\ \cos(x) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}. \end{eqnarray*}
Beweis
Für gerade $n\in\N_0$ können wir $n=2m$ schreiben, für ungerade $n=2m+1$. Wegen der Konvergenz der betreffenden Reihen gilt \begin{eqnarray*} \exp(\I x) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(\I x)^n}{n!} \\ & = & \sum_{m=0}^\infty \I^{2m} \frac{x^{2m}}{(2m)!} + \sum_{m=0}^\infty \I^{2m+1} \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \\ & = & \sum_{m=0}^\infty \I^{2m} \frac{x^{2m}}{(2m)!} + \I \sum_{m=0}^\infty \I^{2m} \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}. \end{eqnarray*} Wegen $\I^{2m} = (\I^2)^m = (-1)^m$ ergibt sich \[ \exp(\I x) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} + \I \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}. \] Also \begin{eqnarray*} \Re(\exp(\I x)) & = & \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} \\ \Im(\exp(\I x)) & = & \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}. \end{eqnarray*} Und wofür benötiigten wir nun die Aussage des letzten Lemmas? Für die zweite Gleichung oben, denn diese Gleichung gilt eigentlich nur von rechts nach links: Wenn die Reihen auf der rechten Seite konvergent sind, dann ist auch die Reihe auf der linken Seite konvergent. Wir argumentieren hier aber in die andere Richtung. Da wir aber vorher schon die Konvergenz der beiden Reihen (in etwas anderer Darstellung wie unten) auf der rechten Seite bewiesen haben, dürfen wir hier in beide Richtungen argumentieren.
Da die Potenzreihen im vorangegangenen Lemma für alle komplexen Zahlen konvergieren, können wir dies nutzen, um die Definitionen von Sinus und Cosinus auf die komplexe Ebene fortzusetzen.
Definition
Für alle $z\in\C$ seien die Funktionen $\sin,\cos:\C\rightarrow\C$ definiert durch \begin{eqnarray*} \sin(z) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}\\ \cos(z) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}. \end{eqnarray*}
Folgerung
Für alle $z\in\C$ gilt die Eulersche Formel: \[ \exp(\I z) = \cos(z) + \I \sin(z). \]
Der Beweis der Eulerschen Formel erfolgt analog zum Beweis des letzten Satzes. Es ergibt sich dann die Potenzreihendarstellung \[ \exp(\I z) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{z^{2m}}{(2m)!} + \I \sum_{m=0}^\infty \frac{z^{2m+1}}{(2m+1)!}. \]
Eigenschaften von Sinus und Cosinus
Im letzten Abschnitt dieser Blog-Folge betrachten wir noch einige elementare Eigenschaften von Sinus und Cosinus.
Satz
Für alle $z,w\in\C$ gilt:
- \[ \cos(0) = 1, \sin(0)=0 \]
- \begin{eqnarray*} \cos(z) & = & \cos(-z)\\ \sin(z) & = & -\sin(-z) \end{eqnarray*}
Eigenschaft (ii) sagt aus, dass der Cosinus eine sogenannte gerade Funktion ist, der Sinus dagegen eine ungerade Funktion. Eine Funktion $f(x)$ heißt gerade, wenn \[ f(x) = f(-x) \] für alle $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ gilt. Insbesondere muss $f$ dann auch an der Stelle $-x$ definiert sein. Eine Funktion $f(x)$ heißt ungerade, wenn \[ f(x) = -f(-x) \] gilt.
Beweis
- \[ \cos(0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} 0^{2n} = \frac{(-1)^0}{0!} 0^0 = 1 \] \[ \sin(0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} 0^{2n+1} = 0 \]
- \begin{eqnarray*} \cos(-z) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} (-z)^{2n} \\ & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (-1)^{2n}}{(2n)!} z^{2n} \\ & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \\ & = & \cos(z) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \sin(-z) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} (-z)^{2n+1} \\ & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (-1) (-1)^{2n}}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\ & = & -\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\ & = & -\sin(z) \end{eqnarray*}
Satz
Für alle $z\in\C$ gilt \begin{eqnarray*} \sin(z) & = & \frac{1}{2\I} (\exp(\I z) - \exp(-\I z))\\ \cos(z) & = & \frac{1}{2} (\exp(\I z) + \exp(-\I z)). \end{eqnarray*}
Beweis
Es gilt $\exp(\I z) = \cos(z) + \I \sin(z)$. Damit folgt:
- \begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left(\exp(\I z) + \exp(-\I z)\right) & = & \frac{1}{2}\left(\cos(z) + \I\sin(z) + \cos(-z) + \I \sin(-z)\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\cos(z) + \I\sin(z) + \cos(z) - \I\sin(z)\right) \\ & = & \frac{1}{2} \cdot 2 \cos(z) = \cos(z) \end{eqnarray*}
- \begin{eqnarray*} \frac{1}{2\I} \left(\exp(\I z) - \exp(-\I z)\right) & = & \frac{1}{2\I} \left(\cos(z) + \I \sin(z) - \cos(-z) -\I \sin(-z)\right) \\ & = & \frac{1}{2\I} \left(\cos(z) + \I \sin(z) - \cos(z) +\I \sin(z)\right) \\ & = & \frac{1}{2\I} \cdot 2\I \sin(z) = \sin(z) \end{eqnarray*}
Jeweils beim zweiten "$=$" haben wir ausgenutzt, dass Sinus und Cosinus ungerade bzw. gerade Funktionen sind.
Zum Abschluss formulieren und beweisen wir wichtige Additionstheoreme für den Sinus und den Cosinus.
Satz
Für alle $z,w\in\C$ gilt
- \[ \sin^2(z)+\cos^2(z) = 1 \]
- \begin{eqnarray*} \cos(z+w) & = & \cos(z)\cos(w) - \sin(z)\sin(w)\\ \sin(z+w) & = & \sin(z)\cos(w) + \cos(z)\sin(w) \end{eqnarray*}
Beweis
- \begin{eqnarray*} \sin^2(z) + \cos^2(z) & = & \left(\frac{1}{2\I}\left(\exp(\I z) - \exp(-\I z)\right)\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\left(\exp(\I z) + \exp(-\I z)\right)\right)^2 \\ & = & -\frac{1}{4} \left(\exp(\I 2z) - 2 + \exp(-\I 2z)\right) +\frac{1}{4} \left(\exp(\I 2z) + 2 + \exp(-\I 2z)\right) \\ & = & \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \end{eqnarray*}
- \begin{eqnarray*} & & \cos(z)\cos(w) - \sin(z)\sin(w) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\exp(\I z) + \exp(-\I z)\right) \frac{1}{2}\left(\exp(\I w) + \exp(-\I w)\right) \\ & & - \frac{1}{2\I}\left(\exp(\I z) - \exp(-\I z)\right) \frac{1}{2\I}\left(\exp(\I w) - \exp(-\I w)\right) \\ & = & \frac{1}{4}\left(\exp(\I(z+w)) + \exp(\I(z-w)) + \exp(\I(-z+w)) + \exp(-\I(z+w))\right) \\ & & + \frac{1}{4}\left(\exp(\I(z+w)) - \exp(\I(z-w)) - \exp(\I(-z+w)) + \exp(-\I(z+w))\right) \\ & = & \frac{1}{4} \left(2\exp(\I(z+w)) + 2\exp(-\I(z+w))\right) \\ & = & \frac{1}{2} \left(\exp(\I(z+w)) + \exp(-\I(z+w))\right) \\ & = & \cos(z+w) \end{eqnarray*} und \begin{eqnarray*} & & \sin(z)\cos(w) + \cos(z)\sin(w) \\ & = & \frac{1}{2\I}\left(\exp(\I z) - \exp(-\I z)\right) \frac{1}{2}\left(\exp(\I w) + \exp(-\I w)\right) \\ & & - \frac{1}{2}\left(\exp(\I z) + \exp(-\I z)\right) \frac{1}{2\I}\left(\exp(\I w) - \exp(-\I w)\right) \\ & = & \frac{1}{4\I}\left(\exp(\I(z+w)) - \exp(\I(-z+w)) + \exp(\I(z-w)) - \exp(-\I(z+w))\right) \\ & & \frac{1}{4\I}\left(\exp(\I(z+w)) + \exp(\I(-z+w)) - \exp(\I(z-w)) - \exp(-\I(z+w))\right) \\ & = & \frac{1}{4\I}\left(2\exp(\I(z+w)) - 2\exp(-\I(z+w))\right) \\ & = & \frac{1}{2\I}\left(\exp(\I(z+w)) - \exp(-\I(z+w))\right) \\ & = & \sin(z+w) \end{eqnarray*}
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