In dieser Blog-Folge definieren wir zunächst was es heißt, dass eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ beschränkt ist. Anschließend führen wir die Begriffe Minimum und Maximum für Funktionen ein und betrachten einige Beispiele.
In dieser Blog-Folge definieren wir zunächst was es heißt, dass eine Funktion $f: D \rightarrow \R$ beschränkt ist. Anschließend führen wir die Begriffe Minimum und Maximum für Funktionen ein und betrachten einige Beispiele.
Definition
Es sei $D \subseteq \R$ und $f: D\rightarrow \R$ eine Funktion.
- Eine Funktion $f$ ist nach oben beschränkt, wenn es ein $M \in \R$ gibt mit $f(x) \leq M \text{ für alle } x \in D$.
- Eine Funktion $f$ ist nach unten beschränkt, wenn es ein $m \in \R$ gibt mit $f(x) \geq m \text{ für alle } x \in D$.
- Die Funktion $f$ ist beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Betrachten wir dazu einige Beispiele.
Beispiel
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Die Funktion $f: \R\rightarrow \R$ mit $f(x) = -x^2+1$ ist nach oben beschränkt, denn es gilt $-x^2 \leq 0$ woraus $f(x) \leq 1 =:M$ für alle $x\in\R$ folgt.
Da weiterhin $\lim_{x\rightarrow\infty} x^2 = \infty$ und somit $\lim_{x\rightarrow\infty} -x^2 + 1 = -\infty$ gilt, ist $f$ aber nicht nach unten beschränkt und somit auch nicht beschränkt.
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Die Funktion $g:\R_{\geq 0} \rightarrow \R$ mit $g(x) = \sqrt{x}$ ist nach unten beschränkt, denn es gilt $g(x) = \sqrt{x} \geq 0 =: m$ für alle $x\in \R_{\geq 0}$.
Wegen $\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x} = \infty$ ist die Funktion $g$ aber nicht nach oben beschränkt ud damit auch nicht beschränkt.
- Die Funktion $\sin(x)$ ist beschränkt auf $\R$, denn es gilt $m:= -1 \leq \sin(x) \leq 1 =: M \text{ für alle } x \in \R$.
- Für die Funktion $h: \R\setminus\{0\}\rightarrow \R$ mit $h(x) = \frac{1}{x}$ gilt \[ \lim_{x\searrow 0} h(x) = \lim_{x\searrow 0} \frac{1}{x} = \infty \] und \[ \lim_{x\nearrow 0} h(x) = \lim_{x\nearrow 0} \frac{1}{x} = -\infty. \] Damit ist die Funktion $h$ auf ihrem Definitionsbereich weder nach oben noch nach unten beschränkt.
Nun definieren wir die Begriffe Minimum und Maximum für Funktionen.
Definition
Es sei $D\subseteq\R$ und $f:D\rightarrow\R$ eine Funktion.
- Ein $x_0 \in D$ heißt Maximalstelle von $f$, wenn für alle $x\in D$ die Ungleichung \[ f(x) \leq f(x_0) \] gilt. Wir sagen dann auch, dass die Funktion $f$ in $x_0$ ein Maximum annimmt.
- Ein $x_0 \in D$ heißt Minimalstelle von $f$, wenn für alle $x\in D$ die Ungleichung \[ f(x) \geq f(x_0) \] gilt. Wir sagen dann auch, dass die Funktion $f$ in $x_0$ ein Minimum annimmt.
- Ein $x_0 \in D$ heißt Extremstelle von $f$, wenn $x_0$ eine Maximal- oder eine Minimalstelle ist. Wir sagen dann auch, dass die Funktion $d=f$ in $x_0$ ein Extremum annimmt.
Eine beliebige Funktion $f:D\rightarrow \R$ muss weder eine Maximal- noch eine Minimalstelle haben, selbst wenn sie stetig und beschränkt ist. Wir betrachten dazu wieder einige Beispiele.
Beispiel
- Die Funktion $f:\R \rightarrow \R$ mit $f(x) = x^3$ ist weder nach oben noch nach unten beschränkt, denn es gilt \[ \lim_{x\rightarrow\infty} x^3 = \infty \quad \text{und} \quad \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = -\infty. \] Somit kann die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum annehmen.
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Die Funktion $g:\R\setminus\{0\} \rightarrow \R$ mit $g(x) = \frac{1}{|x|}$ ist nicht nach oben beschränkt, denn es gilt \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{|x|} = \infty. \] Damit kann die Funktion $g$ kein Maximum annehmen.
Die Funktion $g$ ist aber nach unten beschränkt, denn es gilt $\frac{1}{|x|} > 0$ für alle $x\in\R \setminus \{0\}$. Trotzdem hat die Funktion keine Minimalstelle, denn für alle $x_0\in\R \setminus \{0\}$ existiert ein $x_1 \in\R \setminus \{0\}$ mit $\frac{1}{|x_1|} < \frac{1}{|x_0|}$. Hierzu können wir beispielsweise $x_1$ als $x_1 := |x_0| + 1$ wählen.
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Die Funktion $h:\R \rightarrow R$ mit $f(x) = x^2 - 6x + 11$ hat eine Minimalstelle. Es gilt \[ h(x) = x^2 - 6x + 11 = x^2 -6x + 9 + 2 = (x-3)^2 + 2 \geq 2 \] und $h(3) = 2$. Also nimmt die Funktion für $x_0=3$ ihr Minimum an.
Wegen \[ \lim_{x\rightarrow \infty } x^2 - 6x + 11 = \infty \] existiert kein Maximum.
- Die auf dem Intervall $(-1,1)$ definiert Funktion $i: (-1,1) \rightarrow \R$ mit $i(x) = 3x+5$ hat weder eine Maximal- noch eine Minimalstelle. Es gilt \[ \lim_{x\rightarrow 1} i(x) = \lim_{x\rightarrow -1} 3x+5 = 2 \quad \text{und} \quad \lim_{x\rightarrow 1} i(x) = \lim_{x\rightarrow -1} 3x+5 = 8, \] aber die Werte $2$ und $8$ werden auf dem Definitionsbereich nicht angenommen, da die Intervallgrenzen $-1$ und $1$ nicht mehr zum Definitionsbereich gehören.
- Die Funktion $j:\R \rightarrow \R$ mit \[ j(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{für } x \leq -1 \\ x & \text{für } -1 < x < 1 \\ 0 & \text{für } x \geq 1 \end{array} \right. \] hat ebenfalls weder eine Minimal- noch eine Maximalstelle. Es gilt zwar \[ \lim_{x\searrow -1} j(x) = -1, \] womit man der $-1$ als Funktionswert beliebig nahe kommt, der Wert wird aber niemals angenommen, denn gemäß Definition der Funktion gilt $j(-1) = 0$. Analog hat man auch bei $1$ keine Maximalstelle, auch wenn \[ \lim_{x\nearrow 1} j(x) = 1 \] gilt.
Extremstellen sind in der praktischen Anwendung von großer Bedeutung. Es stellt sich daher die Frage, unter welchen Voraussetzungen wir die Existenz einer Minimal- und Maximalstelle garantieren können. Eine Antwort hierauf liefert der Extremwertsatz von Weierstraß, denn wir in der nächsten Blog-Folge betrachten.
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