Wir kennen Polynome als Funktionen der Form \[ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n. \] Gilt $a_n \neq 0$, dann sagen wir, dass das Polynom den Grad $n$ hat. Wenn wir jetzt die Summation nicht bei $n$ stoppen sondern unendlich viele Terme der Form $a_k x^k$ betrachten, dann erhalten wir eine Potenzreihe.
Der Begriff der Potenzreihe
Wir kennen Polynome als Funktionen der Form \[ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n. \] Gilt $a_n \neq 0$, dann sagen wir, dass das Polynom den Grad $n$ hat.
Wir verbinden nun das Konzept der Polynome mit dem der Reihen, indem wir unendlich viele Summanden der Form $a_k x^k$ zulassen, also Reihen der Form \[ \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \] bilden. Anschaulich haben wir damit ein Polynom mit unendlichem Grad. Solche Reihen nennen wir Potenzreihen. Wie Polynome sind sie eine wichtige Methode, um Funktionen zu definieren und zu analysieren.
Definition
Es sei $(a_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ eine reelle oder komplexe Folge und $x_0\in\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$. Dann heißt die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + \cdots \] Potenzreihe in der Variablen $x$ mit Entwicklungspunkt $x_0$ und Koeffizientenfolge $(a_n)$.
Durch den Entwicklungspunkt $x_0$ können wir die Funktion, die durch eine Potenzreihe dargestellt wird, verschieben. Wir kennen dies ebenfalls von Polynomen. Die Funktion \[ f(x) = x^2 \] ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung. Demgegenüber ist \[ g(x) = (x-5)^2 \] eine Parabel der gleichen Form wie $f(x)$, aber der Scheitelpunkt liegt im Koordinatensystem nun an der Stelle $(5,0)$ statt im Ursprung. Damit wurde die Funktion $f(x)$ praktisch um fünf Einheiten nach rechts verschoben. Bei Potenzreihen erreichen wir mit dem Entwicklungspunkt $x_0$ den gleichen Effekt.
In vielen Fällen, die wir betrachten werden, wird $x_0=0$ gelten. Wir schreiben eine Potenzreihe dann kurz in der Form \[ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n. \]
Potenzreihen können wir in den reellen oder den komplexen Zahlen betrachten. Wir werden sehen, dass dies häufig gar keinen Unterschied macht. Nichtsdestotrotz möchte ich durch die gewählten Variablensymbole deutlich machen, ob wir eine Potenzreihe auf $\mathbb{R}$ beschränken oder auch Werte aus $\mathbb{C}$ als Variablen zulassen. Wenn ich als Variablensymbol $x$ wähle, dann soll es sich implizit immer um eine Potenzreihe im Reellen handeln, wähle ich dagegen als Variablensymbol $z$, dann soll es sich um eine komplexe Potenzreihe handeln. So steht beispielsweise \[ \sum_{n=0}^\infty x^n \] für die geometrische Reihe mit $x\in\mathbb{R}$, dagegen ist bei der Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty z^n \] $z\in\mathbb{C}$ erlaubt.
Potenzreihen als Funktionen
Bei Potenzreihen interessieren wir uns insbesondere für die Werte $x\in\mathbb{R}$ bzw. $z\in\mathbb{C}$, für die eine Potenzreihe konvergiert. Dabei konvergiert eine Potenzreihe immer in $x=x_0$, denn für $x=x_0$ und $n=0$ erhalten wir $0^0=1$, aber $(x-x_0)^n = 0^n = 0$ für $n\geq 1$. Damit ergibt sich immer $a_0$ als Grenzwert einer Potenzreihe für $x=x_0$.
Die entscheidende Frage ist natürlich jetzt: Für welche Werte $x\neq x_0$ konvergiert eine Potenzreihe \[ P(x) := \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n? \] Es sei \[ D := \{ x\in\mathbb{R} | P(x) \text{ ist konvergent}\} \] die Menge dieser Werte. Dann können wir eine Potenzreihe als Funktion \begin{eqnarray*} P & : & D \rightarrow \mathbb{R}\\ & & x \mapsto P(x) \end{eqnarray*} auffassen. Wir werden sehen, dass wir viele wichtige Funktionen durch Potenzreihen ausdrücken können.
Beispiel
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Wir betrachten die Potenzreihe \[ P(z) = \sum_{n=0}^\infty z^n \] in $\mathbb{C}$ mit Entwicklungspunkt $z_0=0$. Dies ist die geometrische Reihe.
Wir wissen, dass die Reihe für $|z| < 1$ konvergiert. Es gilt also \[ $D=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z| < 1\}. \]
Wir kennen auch die Funktion, die von dieser Potenzreihe dargestellt wird. Es gilt \[ P(z) = \frac{1}{1-z}. \]
- Wir betrachten nun die Potenzreihe \[ \sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n. \] Wir möchten wissen, für welche $z\in\mathbb{C}$ die Reihe konvergiert. Hierzu nutzen wir das Quotientenkriterium. Mit diesem erhalten wir \[ \left|\frac{(n+2)z^{n+1}}{(n+1)z^n}\right| = \underbrace{\frac{n+2}{n+1}}_{\rightarrow 1} |z| \longrightarrow |z|. \] Hieraus folgt, dass auch diese Potenzreihe für $|z| < 1$ konvergiert.
- Die Potenzreihen \[ \sum_{n=0}^\infty (z-1)^n\quad\text{und}\quad\sum_{n=0}^\infty (n+1)(z-1)^n \] konvergieren ensprechend der beiden vorangegangenen Beispiele für $|z-1| < 1$, also in einem Kreis der komplexen Ebene mit Mittelpunkt $1$ und Radius $1$.
- Welche Funktion wird durch die Potenzreihe \[ \sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n \] für $|z| < 1$ dargestellt? Mit dem Cauchy-Produkt können wir diese Frage beantworten. \begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-z)^2} & = & \frac{1}{1-z}\cdot\frac{1}{1-z} = \left(\sum_{n=0}^\infty z^n\right)\cdot\left(\sum_{m=0}^\infty z^m\right)\\ & = & \sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{j=0}^k z^j z^{k-j}\right)\\ & = & \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^k z^k\right)\\ & = & \sum_{k=0}^\infty (k+1) z^k. \end{eqnarray*} Also gilt \[ \sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n = \frac{1}{(1-z)^2}. \]
Konvergenzradius
Es ist kein Zufall, dass die Mengen $D=\{z\in\mathbb{C} | P(z)\textnormal{ ist konvergent}\}$ in den vorangegangenen Beispielen alle kreisförmig waren.
Lemma
Konvergiert die Potenzreihe \[ \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \] in einem Punkt $z_1\neq z_0$, dann konvergiert die sie auch in jedem Punkt $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_0| < |z_1-z_0|$ absolut.
Man mache sich klar, dass aus diesem Lemma ein kreisförmiges Konvergenzgebiet folgt!
Im Beweis nutzen wir wieder eine geometrische Reihe als Majorante.
Beweis
Wenn die Reihe $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(z_1-z_0)^n$ konvergiert, dann ist die Folge $(a_n(z_1-z_0)^n)$ eine Nullfolge und damit konvergent.
Jede konvergente Folge ist aber auch beschränkt. Also existiert ein $M > 0$ mit \[ |a_n(z_1-z_0)^n|\leq M \] für alle $n\in\mathbb{N}_0$.
Für $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_0| < |z_1-z_0|$ folgt dann \begin{eqnarray*} |a_n(z-z_0)^n| & = & \left| a_n(z_1-z_0)^n \frac{(z-z_0)^n}{(z_1-z_0)^n} \right| \\ & = & |a_n(z_1-z_0)^n|\cdot \left| \frac{(z-z_0)^n}{(z_1-z_0)^n} \right| \\ & \leq & M q^n \end{eqnarray*} mit $q:= \frac{|z-z_0|}{|z_1-z_0|} < 1$.
Damit können wir die geometrische Reihe als Majorante nutzen.
Mit dem Majorantenkriterium folgt, dass $\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n$ absolut konvergent ist für alle $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_0| < |z_1-z_0|$.
Aus dem vorigen Lemma ergibt sich, dass für eine Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ genau einer der folgenden Fälle vorliegt:
- Die Potenzreihe konvergiert für alle $z\in\mathbb{C}$ absolut.
- Die Potenzreihe divergiert für alle $z\in\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$.
- Es existiert genau ein $R\in\mathbb{R}$ mit $R > 0$, so dass die Potenzreihe für alle $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_0| < R$ absolut konvergiert und für $|z-z_0| > R$ divergiert.
Die Existenz der Zahl $R$ im Fall (iii) motiviert in Verbindung mit den beiden anderen Fällen die folgende Definition.
Definition (Konvergenzradius)
Die Zahl $R$ in Fall (iii) der vorstehenden Folgerung heißt Konvergenzradius derPotenzreihe.
Liegt Fall (i) vor, dann sagen wir, dass der Konvergenzradius unendlich ist ($R = \infty$), im Fall (ii) ist der Konvergenzradius null ($R=0$).
Damit können wir jeder Potenzreihe eindeutig einen Konvergenzradius $R\in\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ zuordnen.
Beachte, dass unklar ist, ob bzw. für welche $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_0|=R$ die Potenzreihe konvergiert. Hierfür gibt es keine allgemeine Regel. Vielmehr muss solch eine sogenannte Randuntersuchung, falls notwendig oder gefordert, stets abhängig von der Potenzreihe stattfinden.
Da die Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe eine typische Klausuraufgabe ist, stelle ich das nächste Beispiel als Übung zur Verfügung. Als Methoden zur Bestimmung des Konvergenzradius nutzen wir das Quotienten- und das Wurzelkriterium.
Übung
Bestimmen Sie für die folgenden Reihen jeweils ihren Konvergenzradius:
- $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{n+2}{2^n} z^n$
- $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{n+1}{n^2+1}\right)^n z^n$
- $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{1000^n}z^n$
- Es gilt ergibt sich: \[ \left| \frac{\frac{n+3}{2^{n+1}}z^{n+1}}{\frac{n+2}{2^n}z^n} \right| = \left| \frac{(n+3)z^{n+1}}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{(n+2)z^n} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+3}{n+1}\cdot |z| \longrightarrow \frac{|z|}{2}. \] Nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe konvergent, wenn $\frac{|z|}{2} < 1$ gilt, was äquivalent zu $|z| < 2$ ist. Also ist der Konvergenzradius $R=2$.
- Hier bietet sich das Wurzelkriterium an. Es gilt: \[ \sqrt[n]{\left|\left(\frac{n+1}{n^2+1}\right)^n z^n\right|} = \frac{n+1}{n^2+1} |z| = \frac{1+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}} |z| \longrightarrow 0. \] Also ist die Reihe für alle $z\in\mathbb{C}$ konvergent und somit gilt $R=\infty$.
- Das Quotienkriterium liefert für alle $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ \[ \left| \frac{\frac{(n+1)!}{1000^{n+1}}z^{n+1}}{\frac{n!}{1000^n}z^n} \right| = \left| \frac{(n+1)! z^{n+1}}{1000^{n+1}}\cdot\frac{1000^n}{n! z^n} \right| = \frac{n+1}{1000}|z| \longrightarrow \infty > 1. \] Also ist die Potenzreihe für kein $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ konvergent und somit gilt $R=0$.
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