In der vorigen Blog-Folge hatten wir gezeigt, dass die Reihe \[ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\log(n)} \] divergent ist. Interessanterweise wird die Reihe konvergent, wenn wir den Logarithmus im Nenner quadrieren.
Übung 1
Zeige, dass die Reihe \[ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\log^2(n)} \] konvergent ist.
Wenn wir im Nenner aber $n\log(n)\log(\log(n))$ statt $n\log^2(n)$ haben, also einmal $\log(n)$ durch $\log(\log(n))$ ersetzen, entsteht wieder eine divergente Reihe.
Übung 2
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Zeige, dass die Reihe \[ \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n\log(n)\log(\log(n))} \] divergent ist.
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Ist die Reihe \[ \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n\log(n)\log(\log(n))\log(\log(\log(n)))} \] konvergent oder divergent?
In der nächsten Übung verallgemeinern wir die Aussage aus Übung 1.
Übung 3
Untersuche die Reihe \[ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\log^s(n)} \] für $s > 1$ auf Konvergenz.
Die nächste Aufgabe ist etwas aufwendiger, dafür sehr lehrreich. Sie zeigt insbesondere, wie hilfreich das Integralkriterium sein kann, wenn mit Quotienten- und Wurzelkriterium keine Konvergenzaussage möglich ist.
Übung 4
Wir wollen die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{\e^\sqrt{n}} \] untersuchen.
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Was ergibt sich, wenn wir diese Reihe mit dem Quotientenkriterium bzw. dem Wurzelkriterium auf Konvergenz untersuchen?
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Wo ist die Funktion \[ f(x) = \frac{x}{\e^\sqrt{x}} \] monoton fallend?
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Zeige mit dem Integralkriterium, dass die Reihe konvergent ist.
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