Die Definition des Integrals ist für seine Berechnung zu unhandlich. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, den wir in dieser Blog-Folge herleiten werden, liefert uns dagegen ein mächtiges Werkzeug, mit dem wir Integrale deutlich einfacher berechnen können.
Stammfunktionen
Für den Hauptsatz benötigen wir den Begriff der Stammfunktion, den ich nun definieren werde.
Definition
Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall und $f:I\rightarrow\R$.
Eine Funktion $F:I\rightarrow\R$ heißt Stammfunktion von $f$, falls
- $F$ differenzierbar auf $I$ ist und
- $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in I$ gilt.
Eine Stammfunktion einer Funktion $f(x)$ ist also eine differenzierbare Funktion $F(x)$, so dass die Ableitung von $F(x)$ mit $f(x)$ übereinstimmt.
Mit unserem Wissen über Ableitungen können wir sofort einige Stammfunktionen benennen.
Beispiel
\[ \begin{array}{c|c} f(x) & F(x) \\ \hline x^\alpha & \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1} \textnormal{ für } \alpha \neq -1 \\[2mm] \frac{1}{x} & \log(x) \textnormal{ für } x>0 \\[2mm] \e^x & \e^x \\[2mm] \sin(x) & -\cos(x) \\[2mm] \cos(x) & \sin(x) \\[2mm] \sinh(x) & \cosh(x) \\[2mm] \cosh(x) & \sinh(x) \end{array} \]Zu einer Funktion $f(x)$ gibt es zwar keine eindeutige Stammfunktion, aber alle Stammfunktionen von $f(x)$ sind bis auf eine Konstante eindeutig.
Proposition 1
Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall, $f:I\rightarrow\R$ und $F$ eine Stammfunktion von $f$.
Dann gilt:
- $F+c$ ist ebenfalls eine Stammfunktion von $f$ für alle $c\in\R$.
- Ist auch $G$ eine Stammfunktion von $f$, dann existiert ein $c\in\R$ mit $G=F+c$.
Beweis
- \[ (F(x)+c)' = F'(x)+\underbrace{c'}_{=0} = F'(x) = f(x) \]
-
Es gilt $(G(x)-F(x))' = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x) = 0$ für alle $x\in I$.
Also ist $G(x)-F(x)$ eine konstante Funktion, womit $G(x)-F(x)=c$ für ein $c\in\R$ und alle $x\in I$ gelten muss.
Damit erhalten wir \[ G(x) = F(x) + c \] für alle $x\in I$.
Der Hauptsatz
Für den Beweis des Hauptsatzes benötigen wir eine wichtige Abschätzungsformel für Integrale. Daher werde ich zunächst diese Abschätzung formulieren und beweisen.
Lemma (Mittelwertabschätzung für Integrale)
Seien $a < b\in\R$ und $f:[a,b]\rightarrow\R$ eine Regelfunktion.
Dann gilt \[ \inf_{x\in [a,b]} f(x) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx \leq \sup_{x\in [a,b]} f(x). \]
Hier fehlt noch eine Visualisierung des nachfolgenden Beweises.
Beweis
Ich beschränke mich darauf, den Nachweis für eine stetige Funktion $f(x)$ zu führen.
Nach dem Extremwertsatz von Weierstraß existieren für stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall Minimum und Maximum.
Sei \[ m:=\inf_{x\in [a,b]} f(x) \quad \text{und} \quad g(x):=m \text{ für } x\in[a,b]. \] Weiterhin sei \[ M:=\sup_{x\in [a,b]} f(x) \quad \text{und} \quad h(x):=M \text{ für } x\in[a,b]. \] Damit sind $g$ und $h$ als konstante Funktionen auch Regel- und Treppenfunktionen.
Es gilt: \[ \int_a^b g(x)\,dx = m(b-a)\quad\textnormal{und}\quad\int_a^b h(x)\,dx = M(b-a). \] Mit der Monotonie des Integrals folgt: \begin{eqnarray*} & & \int_a^b g(x)\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b h(x)\,dx \\[2mm] & \Rightarrow & m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a) \\[2mm] & \Rightarrow & m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx \leq M, \end{eqnarray*} womit die Abschätzung bewiesen ist.
Jetzt sind wir bereit, den Hauptsatz zu formulieren und zu beweisen.
Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Sei $f$ eine Regelfunktion auf dem Intervall $I$ und sei $a\in I$.
- Wenn $f$ stetig ist, dann ist \[ F(x) := \int_a^x f(t)\,dt \] eine Stammfunktion von $f$.
- Für eine beliebige Stammfunktion $G$ von $f$ und $a,b\in I$ gilt: \[ \int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a). \]
Aussage (ii) liefert uns die Methode, um ein Integral \[ \int_a^b f(x)\,dx \] einfach zu berechnen. Hierzu benötigen wir nur irgendeine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$. Dann ergibt sich der Wert des Integrals durch \[ F(b) - F(a), \] also die Differenz von oberer und unterer Grenze eingesetzt in die Stammfunktion.
Da bei der Berechnung von Integralen immer wieder die Differenz $F(b) - F(a)$ auftaucht, führen wir hierfür eine spezielle Bezeichnung ein. Es gelte \[ F(x)|_{x=a}^{x=b} := F(b) - F(a). \]
Hier, vor dem Beweis des Hauptsatzes, ein paar einfache Anwendungen von Aussage (ii) des Hauptsatzes.
Bespiel
- Es sei $f(x) = x$. Dann ist $F(x) = \frac{1}{2}x^2$ eine Stammfunktion. Also gilt \begin{eqnarray*} \int_0^1 x\,dx & = & \left. \frac{1}{2}x^2\right|_{x=0}^{x=1} \\ & = & \frac{1}{2} - 0 \\ & = & \frac{1}{2}. \end{eqnarray*} Dies ist der gleiche Wert, den wir in der vorigen Blog-Folge mit der Definition des Integrals ermittelt hatten.
- Es sei $f(x) = x^2$. Dann ist $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ eine Stammfunktion. Also gilt \begin{eqnarray*} \int_0^1 x^2\,dx & = & \left. \frac{1}{3}x^3\right|_{x=0}^{x=1} \\ & = & \frac{1}{3} - 0 \\ & = & \frac{1}{3}. \end{eqnarray*} Diesen Wert hatten wir in einer Übungsaufgabe der vorigen Blog-Folge ebenfalls mit der Definition des Integrals ermittelt.
- Wir wollen \[ \int_1^5 2x^2 - 4x + 1\,dx \] berechnen. Es sei $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$. Dann ist \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 -2x^2 + x \] eine Stammfunktion von $f$. Also folgt mit dem zweiten Teil des Hauptsatzes: \begin{eqnarray*} \int_1^5 2x^2 - 4x + 1\,dx & = & \left. \frac{2}{3}x^3 -2x^2 + x\right|_{x=1}^{x=5}\\[3mm] & = & \left(\frac{250}{3} - 50 + 5\right) - \left(\frac{2}{3} - 2 + 1\right) \\[3mm] & = & \frac{116}{3}. \end{eqnarray*}
- \[ \int_0^1 \e^x\,dx = \e^x|_{x=0}^{x=1} = \e-1 \]
- Für $a\in\R$ gilt: \begin{eqnarray*} \int_{-a}^a \sin(x)\,dx & = & -\cos(x)|_{x=-a}^{x=a} \\ & = & -\cos(a) + \underbrace{\cos(-a)}_{=\cos(a)} \\ & = & 0. \end{eqnarray*}
Beweis des Hauptsatzes
-
Sei $x_0\in I$ und $f$ stetig. Wir müssen zeigen, dass $F(x):=\int_a^x f(t)\,dt$ differenzierbar in $x_0$ ist und dass $F'(x_0)=f(x_0)$ gilt.
Hierzu untersuchen wir den Differenzenquotienten von $F$ bei $x_0$ (in der $h$-Formulierung). Es gilt \begin{eqnarray*} F(x_0+h) - F(x_0) & = & \int_a^{x_0+h} f(t)\,dt - \int_a^{x_0} f(t)\,dt \\[3mm] & = & \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt. \end{eqnarray*} Also ergibt sich für den Differenzenquotienten \[ \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} = \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt. \] Jetzt nutzen wir die Mittelwertabschätzung für Integrale und erhalten damit \[ \inf_{t\in[x_0,x_0+h]} f(t) \leq \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \leq \sup_{t\in[x_0,x_0+h]} f(t). \] Da $f$ stetig ist, folgt mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium \[ f(x_0) = \lim_{h\rightarrow 0} \inf_{t\in[x_0,x_0+h]} f(t)\quad\textnormal{und}\quad f(x_0) = \lim_{h\rightarrow 0} \sup_{t\in[x_0,x_0+h]} f(t) \] und damit \[ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} = f(x_0). \]
-
Wir beschränken uns wieder auf den Fall, dass $f$ stetig ist.
Nach (i) ist $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ eine Stammfunktion von $f(x)$.
Nach Proposition 1 gilt dann für eine beliebige Stammfunktion $G(x)$: \[ G(x)=F(x)+c. \]
Damit ergibt sich: \begin{eqnarray*} \int_a^b f(t)\,dt = F(b) & = & F(b)-\underbrace{F(a)}_{=\int_a^a f(t)\,dt = 0}\\ & = & (G(b)-c) - (G(a)-c) = G(b)-G(a). \end{eqnarray*}
Der zweite Teil des Hauptsatzes ist ein mächtiges Werkzeug zur Berechnung von Integralen. Allerdings benötigen wir für seine Anwendung eine Stammfunktion. Die Konstruktion einer Stammfunktion ist aber keineswegs einfach, weshalb wir weitere mathematische Werkzeuge nutzen werden, um Stammfunktionen zu konstruieren. Die folgende Blog-Folge wird Dir mit der partiellen Integration ein erstes solches Werkzeug vorstellen.
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