Kann es verschiedene Potenzreihen geben, die die gleiche Funktion darstellen? Der Identitätssatz für Potenzreihen liefert die Anwort auf diese Frage.
Wir wissen, dass eine Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ innerhalb ihres Konvergenzgebiets eine Funktion darstellt. Dabei ist die Potenzreihe eindeutig durch die Koeffizientenfolge $(a_n)$ bestimmt. Dies wirft die Frage auf, ob es eine andere Koeffizientenfolge $(b_n)$ geben kann, so dass die Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ die gleiche Funktion darstellt wie die Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$. Der folgende Satz liefert die Antwort auf diese Frage.
Satz (Identitätssatz für Potenzreihen)
Seien \[ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \quad\text{und}\quad g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n z^n \] zwei Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien $R_f > 0$ und $R_g > 0$.
Gilt \[ f(z) = g(z) \text{ für alle } z \text{ mit } 0 < |z| < \min\{R_f,R_g\}, \] dann sind die beiden Potenzreihen identisch, d. h. es gilt $a_n = b_n$ für alle $n \in \N_0$.
Wenn zwei Funktionen, die durch zwei Potenzreihen dargestellt werden, in einem Konvergebiet mit Radius $> 0$ identisch sind, dann sich auch die Koeffizientenfolgen der beiden Potenzreihen und somit die Potenzreihen selbst identisch. Damit ist die Frage von oben beantwortet: Es kann keine andere Potenzreihe geben, die die gleiche Funktion darstellt.
Für den Beweis des Identitätssatzes benötigen wir den Begriff der Stetigkeit und die Aussage, dass Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzgebietes stetig sind. Dies sind aber Themen, die erst in späteren Blog-Folgen behandelt werden. Daher werden wir den Identitätssatz auch erst in einer späteren Blog-Folge beweisen. Uns geht es an dieser Stelle in erster Linie darum, was wir mithilfe des Identitätssatzes folgern können, also um dessen Anwendung. Wir werden gleich sehen, dass der Identitätssatz die Grundlage liefert, um zu einer rekursiv definierten Folge eine explizite Darstellung zu finden. Dies ist dann nicht nur ein schönes Anwendungsbeispiel für den Identitätssatz an sich sondern allgemein für Potenzreihen.
Als sehr einfaches Beispiel betrachten wir die rekursiv definierte Folge \[ a_0 = 1 \text{ und } a_n = -2 a_{n-1} \text{ für } n \geq 1. \] Mit dieser Folge definieren wir die Potenzreihe \[ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n. \] Als nächstes ermitteln wir mit dem Quotientenkriterium den Konvergenzradius dieser Potenzreihe: \[ \left| \frac{a_{n+1}z^{n+1}}{a_n z^n} \right| = \left| \frac{-2a_n z^{n+1}}{a_n z^n} \right| = |-2| |z| = 2|z|. \] Für die Konvergenz muss $2|z| < 1$ gelten, woraus sich als Konvergenzradius $R = \frac{1}{2} > 0$ ergibt. Der Konvergenzradius ist somit positiv.
Aber wie sieht die Funktion $f(z)$ aus, die durch die Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ dargestellt wird? Dies Frage können wir beantworten, wenn wir die rekursive Definition der Folge $(a_n)$ ausnutzen: \begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n & = & 1 + \sum_{n=1}^\infty a_n z^n \\ & = & 1 + \sum_{n=1}^\infty -2a_{n-1}z^n \\ & = & 1 - 2z \sum_{n=1}^\infty a_{n-1}z^{n-1} \\ & = & 1 - 2z \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \\ & = & 1 - 2z f(z). \end{eqnarray*}
Anmerkungen zur Herleitung: Wir ziehen zunächst den ersten Summanden aus der Reihe heraus, um dann die Rekursionsvorschrift anwenden zu können, die ja erst ab $n=1$ gilt. Anschließend klammern wir den Faktor $-2z$ aus und wenden eine Indexverschiebung an, wodurch wieder die Potenzreihe für $f(z)$ entsteht.
Aus obiger Herleitung folgt die Gleichung \[ f(z) = 1 - 2zf(z), \] die wir nach $f(z)$ auflösen können: \begin{eqnarray*} & & f(z) = 1 - 2zf(z) \\ & \Leftrightarrow & f(z) + 2zf(z) = 1 \\ & \Leftrightarrow & f(z) (1+2z) = 1 \\ & \Leftrightarrow & f(z) = \frac{1}{1 + 2z}. \end{eqnarray*}
Damit kennen wir nun die Funktion, die durch die Potenzreihe mit der rekursiv definierten Folge $(a_n)$ als Koeffizientenfolge dargestellt wird.
Wir kennen aber noch eine andere Potenzreihe, die ebenfalls die Funktion $\frac{1}{1+2z}$ darstellt: \[ g(z) := \sum_{n=0}^\infty (-2)^n z^n = \sum_{n=0}^\infty (-2z)^n \] ist für $|-2z| < 1$ also für $|z| < \frac{1}{2}$ eine konvergente geometrische Reihe mit Grenzwert \[ \frac{1}{1 - (-2z)} = \frac{1}{1+2z}. \] Also stellen die Potenzreihen \[ \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \text{ und } \sum_{n=0}^\infty (-2)^n z^n \] für $|z| < \frac{1}{2}$ die gleiche Funktion dar. Nach dem Identitätssatz für Potenzreihen müssen die Koeffizientenfolgen identisch sein, womit sich \[ a_n = (-2)^n \] ergibt. Damit haben wir eine explizite Formel für die Folgenglieder der rekursiv definierten Folge $(a_n)$.
Der aufmerksame Leser mag an dieser Stelle einwenden, dass es leicht gewesen wäre, eine explizite Formel für die Folgenglieder $a_n$ zu raten. Schreibt man die ersten Folgenglieder explizit auf, kann man das Bildungsgesetz für die Folgenglieder ziemlich einfach erkennen. \[ \begin{array}{r|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline a_n & 1 & -2 & 4 & -8 & 16 & -32 & 64 \end{array} \] Haben wir hier also mit einer mathematischen Kanone (dem Identitätssatz für Potenzreihen) auf einen Spatz von Problem geschossen? Im Prinzip ja, aber im Vordergrund stand hier nicht die Lösung des Problems sondern ein einfaches didaktisches Beispiel für die Anwendung des Identitätssatzes. In den nächsten Blog-Folgen werden wir mit der Partialbruchzerlegung noch eine weitere wichtige Technik kennenlernen, die für die Herleitung von expliziten Formeln fundamental wichtig ist. Die Kombination der beiden Techniken, Identitätssatz plus Partialbruchzerlegung, ist dann ein mächtiges Werkzeug um explizite Formeln herzuleiten, die man nur sehr schwer raten könnte.
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