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Analysis-Blog: Folge 43

Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus

Die elementaren Hyperbelfunktionen

Peter Becker

veröffentlicht: 21 May 2021, zuletzt geändert: 27 May 2024 18:51

Schlüsselwörter: Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Sinus, Cosinus, Exponentialfunktion, Potenzreihe

In dieser Blog-Folge definieren wir die elementaren Hyperbelfunktionen, den Sinus Hyperbolicus und den Cosinus Hyperbolicus, mithilfe der Exponentialfunktion.

Definition der Hyperbelfunktionen

Definition

Für alle $z\in\C$ seien die Funktionen $\sinh, \cosh : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ definiert durch \begin{eqnarray*} \sinh(z) & = & \frac{1}{2}(\exp(z)-\exp(-z)),\\ \cosh(z) & = & \frac{1}{2}(\exp(z)+\exp(-z)). \end{eqnarray*}

Die nachfolgenden Funktionsplots zeigen die beiden Funktionen in einem ausgewähltem Bereich der reellen Zahlen.

Cosinus Hyperbolicus Sinus Hyperbolicus

Der Cosinus Hyperbolicus ähnelt einer Parabel, allerdings ist die Steigung der beiden Schenkel deutlich stärker als bei einer Parabel. Gemäß Definition gilt ja \[ \cosh(x) = \frac{1}{2}(\exp(x) + \exp(-x)). \] Ausgehend von der Null nach rechts in den positiven Bereich wird der Term $\exp(-x)$ schnell sehr klein, so dass dort \[ \cosh(x) \approx \frac{1}{2} \exp(x) \] gilt. Weiterhin siehst Du an der Definition des Cosinus Hyperbolicus leicht, dass er eine gerade Funktion ist. Damit steigt der linke Schenkel des Funktionsgraphen genau so stark wie der rechte Schenkel.

Im Gegensatz zum Cosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus eine ungerade Funktion. Nach rechts in den positiven Bereich nähern sich die beiden Funktionen aber schnell an, denn der Term $\exp(-x)$ wird für wachsende $x$ schnell sehr klein, so dass auch für den Sinus Hyperbolicus dort \[ \sinh(x) \approx \frac{1}{2} \exp(x) \] gilt. Anders sieht es aus, wenn wir den negativen Bereich betrachten. Jetzt dominiert der Term $-\exp(-x)$, so dass der linke Schenkel des Sinus Hyperbolicus sich ungefähr wie $-\frac{1}{2}\exp(-x)$ verhält.

Natürlich sind wir auch an der Potenzreihendarstellung des Sinus Hyperbolicus und des Cosinus Hyperbolicus interessiert. Der folgende Satz zeigt, wie diese Potenzreihendarstellungen aussehen.

Satz

Für alle $z\in\C$ gilt \begin{eqnarray*} \sinh(z) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \cosh(z) & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}. \end{eqnarray*}

Beweis

Der Beweis für die Potenzreihendarstellung ergibt sich jeweils aus der Definition der Hyperbelfunktion sowie der Exponentialreihe, indem konsequent Termumformungen angewendet werden. \begin{eqnarray*} \sinh(z) & = & \frac{1}{2}(\exp(z)-\exp(-z)) \\ & = & \frac{1}{2}\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(-z)^n}{n!} \right) \\ & = & \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n - (-z)^n}{n!} = (*). \end{eqnarray*} Jetzt schauen wir uns den Zähler der Summanden näher an. Es gilt \[ z^n - (-z)^n = \left\{ \begin{array}{rl} 0 & \text{für gerade } n, \\ 2z^n & \text{für ungerade } n. \end{array} \right. \] Damit bleiben nur die ungeraden $n$ als Summanden übrig. Diese ungeraden $n$ sind die Folgenglieder der Folge $(2n+1)_{n\in\N_0}$. Damit ergibt sich: \begin{eqnarray*} (*) & = & \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{2z^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \end{eqnarray*} womit die Potenzreihendarstellung für $\sinh(z)$ bewiesen ist.

Der Beweis für die Potenzreihendarstellung von $\cosh(z)$ ist eine gute Übung (siehe unten).

Übung 1

Zeige: \[ \cosh(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}. \]

Muss noch erstellt werden.

Eigenschaften der Hyperbelfunktionen

Zum Abschluss dieser Blog-Folge leiten wir einige wichtige Eigenschaften der beiden Hyperbelfunktionen her.

Satz

Für alle $z\in\C$ gilt:

  1. $\sinh(z)+\cosh(z) = \exp(z)$

  2. $\cosh^2(z)-\sinh^2(z) = 1$

Beweis

Die Beweise erfolgen einfach durch Einsetzen der Definitionen und ausrechnen.

  1. Nach Definition gilt: \begin{eqnarray*} \sinh(z) & = & \frac{1}{2}\left(\exp(z) - \exp(-z)\right) \\ \cosh(z) & = & \frac{1}{2}\left(\exp(z) + \exp(-z)\right). \end{eqnarray*} Damit folgt: \begin{eqnarray*} \sinh(z) + \cosh(z) & = & \frac{1}{2}\left(\exp(z) - \exp(-z)\right) + \frac{1}{2}\left(\exp(z) + \exp(-z)\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left( \exp(z) - \exp(-z) + \exp(z) + \exp(-z) \right) \\ & = & \frac{1}{2} \cdot 2\exp(z) \\ & = & \exp(z). \end{eqnarray*}
  2. Es gilt: \begin{eqnarray*} & & \cosh^2(z) - \sinh^2(z) \\ & = & \left(\frac{1}{2}\left(\exp(z) + \exp(-z)\right)\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\left(\exp(z) - \exp(-z)\right)\right)^2 \\ & = & \frac{1}{4}\left(\exp^2(z) + 2\exp(z)\exp(-z)+\exp^2(-z)\right) - \frac{1}{4}\left(\exp^2(z) - 2\exp(z)\exp(-z)+\exp^2(-z)\right) \\ & = & \frac{1}{4} \cdot \left(2 \exp(z)\exp(-z) + 2\exp(z)\exp(-z)\right) \\ & = & \exp(z)\exp(-z) \\ & = & \exp(z-z) \\ & = & \exp(0) \\ & = & 1. \end{eqnarray*}

to do: Diskussion von $\cosh^2(z)-\sinh^2(z) = 1$ und Plot der Einheitshyperbel.

Der folgende Satz liefert uns Additionstheoreme für den Sinus und den Cosinus Hyperbolicus in einer Art, wie wir sie auch vom Sinus und Cosinus kennen.

Satz

Für alle $z,w\in\C$ gilt:

  1. $\cosh(z\pm w) = \cosh(z)\cosh(w) \pm \sinh(z)\sinh(w)$

  2. $\sinh(z\pm w) = \sinh(z)\cosh(w) \pm \cosh(z)\sinh(w)$

Beweis

  1. Wir führen nur den Beweis für $+$. \begin{eqnarray*} & & \cosh(z)\cosh(w) + \sinh(z)\sinh(w) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\exp(z) + \exp(-z)\right) \frac{1}{2}\left(\exp(w) + \exp(-w)\right) \\ & & + \frac{1}{2}\left(\exp(z) - \exp(-z)\right) \frac{1}{2}\left(\exp(w) - \exp(-w)\right) \\ & = & \frac{1}{4}\left(\exp(z)\exp(w) + \exp(-z)\exp(w) + \exp(z)\exp(-w) + \exp(-z)\exp(-w)\right) \\ & & + \frac{1}{4}\left(\exp(z)\exp(w) - \exp(-z)\exp(w) - \exp(z)\exp(-w) + \exp(-z)\exp(-w)\right) \\ & = & \frac{1}{4}\left(\exp(z+w)+\exp(-z+w)+\exp(z-w)+\exp(-z-w)\right) \\ & & + \frac{1}{4}\left(\exp(z+w)-\exp(-z+w)-\exp(z-w)+\exp(-z-w)\right) \\ & = & \frac{1}{4}\left(2\exp(z+w) + 2\exp(-(z+w))\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\exp(z+w) + \exp(-(z+w))\right) \\ & = & \cosh(z+w) \end{eqnarray*}
  2. Führen Sie diesen Beweis zur Übung selbst durch (siehe unten)!

Übung 2

Zeigen Sie: Für alle $z,w\in\C$ gilt \[ \sinh(z\pm w) = \sinh(z)\cosh(w) \pm \cosh(z)\sinh(w). \]

Wir führen den Beweis nur für $+$. \begin{eqnarray*} & & \sinh(z)\cosh(w) + \cosh(z)\sinh(w) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\exp(z) - \exp(-z)\right) \frac{1}{2}\left(\exp(w) + \exp(-w)\right) \\ & & + \frac{1}{2}\left(\exp(z) + \exp(-z)\right) \frac{1}{2}\left(\exp(w) - \exp(-w)\right) \\ & = & \frac{1}{4}\left(\exp(z+w)-\exp(-z+w)+\exp(z-w)-\exp(-z-w)\right) \\ & & + \frac{1}{4}\left(\exp(z+w)+\exp(-z+w)-\exp(z-w)-\exp(-z-w)\right) \\ & = & \frac{1}{4}\left(2\exp(z+w) - 2\exp(-(z+w))\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\exp(z+w) - \exp(-(z+w))\right) \\ & = & \sinh(z+w) \end{eqnarray*}

Abschließend lernen wir einige Additionstheoreme kennen, die die trigonometrischen Funktionen mit den Hyperbelfunktionen verbinden.

Satz

Für alle $z,w\in\C$ und $x,y\in\R$ gilt:

  1. $\sin(\I y) = \I \sinh(y)$

  2. $\cos(\I y) = \cosh(y)$

  3. $\cos(x+\I y) = \cos(x)\cosh(y) - \I \sin(x)\sinh(y)$

  4. $\sin(x+\I y) = \sin(x)\cosh(y) + \I \cos(x)\sinh(y)$

Übung 3

Beweisen Sie alle Aussagen des lezten Satzes.

  1. Wir nutzen $\sin(z) = \frac{1}{2\I}\left(\exp(\I z) - \exp(-\I z)\right)$, siehe hier: \begin{eqnarray*} \sin(\I y) & = & \frac{1}{2\I}\left(\exp(\I \I y) - \exp(-\I\I y)\right) \\ & = & \frac{1}{2\I}\left(\exp(-y) - \exp(y)\right) \\ & = & -\frac{1}{2\I}\left(\exp(y) - \exp(-y)\right) \\ & = & \frac{\I}{2}\left(\exp(y) - \exp(-y)\right) \\ & = & \I\sinh(y). \end{eqnarray*}
  2. Wir nutzen $\cos(z) = \frac{1}{2}\left(\exp(\I z) + \exp(-\I z)\right)$, siehe hier: \begin{eqnarray*} \cos(\I y) & = & \frac{1}{2}\left(\exp(\I \I y) + \exp(-\I\I y)\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\exp(-y) + \exp(y)\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\exp(y) + \exp(-y)\right) \\ & = & \cosh(y). \end{eqnarray*}
  3. Wir nutzen das Additionstheorem für den Sinus sowie (i) und (ii): \begin{eqnarray*} \cos(x+\I y) & = & \cos(x)\cos(\I y) - \sin(x)\sin(\I y) \\ & = & \cos(x)\cosh(y) - \I \sin(x) \sinh(y). \end{eqnarray*}
  4. Wir nutzen das Additionstheorem für den Cosinus sowie (i) und (ii): \begin{eqnarray*} \sin(x+\I y) & = & \sin(x)\cos(\I y) + \cos(x)\sin(\I y) \\ & = & \sin(x)\cosh(y) + \I \cos(x)\sinh(y). \end{eqnarray*}
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