Integration rationaler Funktionen

Inhaltsverzeichnis (kurz)

Inhaltsverzeichnis (lang)

1. Zahlen
2. Folgen
3. Reihen und elementare Funktionen
4. Stetigkeit
5. Differenzierbarkeit
6. Integrale
7. Differentialrechnung im $\mathbb{R}^n$

Index

Zu rationalen Funktionen können wir immer eine Stammfunktion konstruieren. Der Schlüssel hierzu ist eine Partialbruchzerlegung. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir das genaue Vorgehen.

Eine rationale Funktion $f(x)$ hat die Form \[ f(x) = \frac{z(x)}{n(x)}, \] wobei $z(x)$ und $n(x)$ Polynome sind. So ist beispielsweise \[ f(x) = \frac{x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 5x - 1}{x^2 - 3x + 2} \] eine rationale Funktion.

Zu rationalen Funktionen kannst Du immer eine Stammfunktion konstruieren. Ich gebe Dir hierzu im weiteren Verlauf dieser Blog-Folge eine Schritt-für-Schritt-Anleitung.

1. Schritt: Eventuelle Polynomdivision

Sollte das Zählerpolynom $z(x)$ einen Grad haben, der größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms $n(x)$ ist, dann führst Du eine Polynomdivision durch. Die Polynomdivision liefert Dir ein Polynom plus einer rationalen Funktion als Rest. Die ursprüngliche rationale Funktion $f(x)$ wird damit in der Form \[ f(x) = p(x) + q(x), \] dargestellt, wobei $p(x)$ das Polynom und $q(x)$ die verbleibende rationale Funktion ist. Ganz wesentlich dabei ist, dass nun das Zählerpolynom in $q(x)$ einen Grad hat, der garantiert kleiner als der des Nennerpoplynoms von $q(x)$ ist.

Am Ende des ersten Schrittes verbleibt also ein Restintegral für eine rationale Funktion, bei der das Zählerpolynom einen kleineren Grad hat als das Nennerpolynom.

2. Schritt: Eventuelle Substitution

Es geht jetzt nur noch um die rationale Funktion im Restintegral. Wenn ich jetzt von Zähler- oder Nennerpolynom spreche, meine ich immer den Zähler- bzw. den Nenner der Funktion im Restintegral, nicht den Zähler- oder Nenner der ursprünglichen Funktion.

In diesem Schritt entscheidet sich, welche grundlegende Technik Du einsetzt, um die Stammfunktion des Restintegrals zu bestimmmen. Hierzu prüfst Du, ob das Zählerpolynom ein Vielfaches, also bis auf einen konstanten Faktor, der Ableitung des Nennerpolynoms ist. Wenn ja, dann kannst Du die Stammfunktion für das Restintegral mittels einfacher Substitution sofort bestimmen. Wenn nein, dann musst Du mit Schritt 3 weitermachen.

Der Schritt mit der Substitution funktioniert immer, wenn das Zählerpolynom $z(x)$ bis auf einen Konstanten Faktor $\alpha$ mit der Ableitung $n'(x)$ des Nennerpolynoms übereinstimmt, denn \[ \int \frac{\alpha\,n'(x)}{n(x)}\,dx = \alpha \log(n(x)) + c. \]

In den meisten Fällen wird $z(x)$ aber nicht ein Vielfaches von $n'(x)$ sein, so dass Du mit Schritt 3 weitermachen musst.

3. Schritt: Partialbruchzerlegung

Wenn Du in Schritt 3 angekommen bist, ist die Partialbruchzerlegung das richtige Werkzeug.

Zur Erinnerung: Wir hatten hier die Partialbruchzerlegung eingeführt. Zweck der Partialbruchzerlegung ist es, eine rationale Funktion der Form \[ \frac{z(x)}{n(x)} \] in einfachere Terme der Form \[ \frac{a}{(x - x_i)^j} \] zu zerlegen, wobei $a\in\R$, $x_i$ eine Nullstelle von $n(x)$ und $j$ eine natürliche Zahl zwischen $1$ und der Vielfachheit der Nullstelle $x_i$ ist. Konkret gilt \[ \frac{z(x)}{n(x)} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j} \] wobei $m$ die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von $n(x)$ ist, $x_1,\ldots,x_m$ die Nullstellen sind, $r_i$ jeweils die Vielfachheit der Nullstelle $x_i$ ist und die $a_{ij}$ reelle Zahlen sind.

Beachte, dass diese Aussage zur Partialbruchzerlegung nur gültig für den Fall ist, dass alle Nullstellen von $n(x)$ reell sind, was ja nicht sein muss. Sollte $n(x)$ auch komplexe Nullstellen haben, so gilt eine etwas kompliziertere Formel, auf die ich weiter unten eingehe.

Ich möchte im folgenden diese drei möglichen Unterfälle unterscheiden:

1. Alle Nullstellen von $n(x)$ sind reell und haben die Vielfachheit $1$.
2. Alle Nullstellen von $n(x)$ sind reell, aber es gibt Nullstellen mit einer Vielfachheit größer als $1$.
3. Das Nennerpolynom $n(x)$ hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Fall (1): Nur reelle Nullstellen mit Vielfachheit 1

Wenn es nur reelle Nullstellen mit Vielfachheit $1$ gibt, können wir die Formel der Partialbruchzerlegung zu \[ \frac{z(x)}{n(x)} = \sum_{i=1}^m \frac{a_i}{x - x_i} \] vereinfachen. Für das Restintegral ergibt sich dann \[ \int \frac{z(x)}{n(x)}\,dx = \sum_{i=1}^m a_i\log(x - x_i) + c, \] denn \[ \int \frac{a_i}{x - x_i}\,dx = a_i \log(x-x_i). \] Wir müssen also nur noch die unbekannten Koeffizienten $a_i$ bestimmen. Hierzu nutzen wir wie in den Beispielen aus Kapitel 3, wo wir die Partialbruchzerlegung bereits verwendet haben, einen Koeffizientenvergleich.

Fall (2): Nur reelle Nullstellen, aber mindestens eine Nullstelle hat eine Vielfachheit größer als 1

Anders als in Fall (1) können wir hier die Formel für die Partialbruchzerlegung nicht vereinfachen. Wir gehen als für die Integration von \[ \frac{z(x)}{n(x)} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j} \] aus. Daraus ergibt sich \begin{eqnarray*} \int \frac{z(x)}{n(x)}\,dx & = & \int \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}\,dx \\[3mm] & = & \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{r_i} \int \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}\,dx \\[3mm] & = & \sum_{i=1}^m \left( \int \frac{a_{i1}}{x-x_i}\,dx + \sum_{j=2}^{r_i} \int \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}\,dx \right) \\[3mm] \end{eqnarray*}

Für $j=1$ haben wir die schon bekannten Stammfunktionen \[ \int \frac{a_{i1}}{x-x_i}\,dx = a_{i1}\log(x-x_i). \]

Für $j > 1$ entsteht \[ \int \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}\,dx = - \frac{a_{ij}}{(j-1)(x-x_i)^{j-1}}. \]

Damit entsteht insgesamt \begin{eqnarray*} \int \frac{z(x)}{n(x)}\,dx & = & \sum_{i=1}^m \left( \int \frac{a_{i1}}{x-x_i}\,dx + \sum_{j=2}^{r_i} \int \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}\,dx \right) \\[3mm] & = & \sum_{i=1}^m \left( a_{i1}\log(x-x_i) - \sum_{j=2}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(j-1)(x-x_i)^{j-1}} \right) + c. \end{eqnarray*}

Wir müssen also auch in diesem Fall nur die Koeffizienten aus der Partialbruchzerlegung bestimmen, um die Stammfunktion angegeben zu können.

Fall (3): Mindestens eine komplexe Nullstelle

Dies ist der bei weitem schwierigste Fall. Insbesondere können wir die bisher genutzte Formel für die Partialbruchzerlegung nicht verwenden. Glücklicherweise gibt es aber auch für rationale Funktion mit komplexen Nullstellen beim Nennerpolynom aber eine Zerlegung, die mit rein reellen Koeffizienten auskommt. Der folgende Satz formuliert die Partialbruchzerlegung in der allgemeinen Variante.

Dieser Satz benötigt einige Erklärungen. Zunächst ist der fünfte Punkt der Aufzählung wichtig, in dem es heißt "bis auf Konjugation verschiedene komplexe Nullstellen". Hierzu muss man wissen, dass, wenn $z\in\C$ eine komplexe Nullstelle eines Polynoms $p(x)$ (mit reellen Koeffizienten) ist, auch $\overline{z}$ eine Nullstelle ist. Komplexe Nullstellen treten also immer paarweise auf. Die Zahl $n$ in Punkt vier ist die Anzahl der verschiedenen komplexen Nullstellenpaare.

Jetzt betrachten wir ein komplexes Nullstellenpaar $z$ und $\overline{z}$. Zunächst ist \[ (x-z)(x-\overline{z}) = x^2 -(z+\overline{z})x + z\overline{z}. \] Jetzt gilt aber sowohl $z+\overline{z} \in \R$ als auch $z\overline{z}\in\R$. Beides hatten wir in Kapitel 1 gezeigt. Genauer: \[ z + \overline{z} = 2\Re(z) \quad \text{und} \quad z \overline{z} = |z|^2. \] Damit ist also das Produkt der beiden Nullstellenterme eines komplexen Nullstellenpaars ein Polynom mit reellen Koeffizienten.

Daher können wir die Formel im Satz zur allgemeinen Partialbruchzerlegung noch etwas anders schreiben.

Somit haben wir eine Formel, die komplett ohne komplexe Zahlen auskommt.

Die Brüche \[ \frac{a_{ij}}{(x - x_i)^j} \] heißen Partialbrüche der 1. Art, die Brüche \[ \frac{b_{ij}x + c_{ij}}{(x^2 + p_ix + q_i)^j} \] Partialbrüche der 2. Art.

Die zunächst unbekannten Koeffizienten $a_{ij}, b_{ij}$ und $c_{ij}$ ermitteln wir wieder mit einem Koeffizientenvergleich analog zum rein reellen Fall.

Damit bleibt jetzt noch die Frage, wie die Stammfunktionen der Partialbrüche zweiter Art aussehen. Hier müssen wir vier verschiedene Fälle unterscheiden.

1. $j=1$ und $b_{ij}=0$: Dann erhalten wir mit \[ \int \frac{c}{x^2 + px + q}\,dx = \frac{2c}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan\left( \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} \right) + C \] eine Stammfunktion für den Partialbruch.
2. $j=1$ und $b_{ij} \neq 0$: Dieser Fall lässt sich auf (1) zurückführen. Es gilt \[ \int \frac{bx+c}{x^2 + px + q}\,dx = \frac{b}{2} \log(x^2 + px + q) + \left(c - \frac{pb}{2}\right) \cdot \int \frac{1}{x^2 + px + q}\,dx + C \] Das Restintegral kannst Du jetzt mit Fall (1) lösen.
3. $j > 1$ und $b_{ij}=0$: Hier gibt es eine Rekursionsvorschrift. Es gilt: \[ \int \frac{c}{(x^2 + px + q)^j}\,dx = -\frac{c}{(4q-p^2)(j-1)}\cdot \frac{2x+p}{(x^2+px+q)^{j-1}} + \frac{2}{4q-p^2}\cdot\frac{2j-3}{j-1}\cdot \int \frac{c}{(x^2+px+q)^{j-1}}\,dx + C. \] Damit verbleibt ein Restintegral, für das wieder Fall (3) gilt, aber mit einem um eins geringeren Exponenten im Nenner, oder es gilt Fall (1).
4. $j > 1$ und $b_{ij}\neq 0$: Dieser Fall lässt sich auf (3) zurückführen. \[ \int \frac{bx+c}{(x^2 + px + q)^j} = - \frac{b}{2(j-1)}\cdot \frac{1}{(x^2 + px + q)^{j-1}} + \left( c - \frac{pb}{2} \right)\cdot \int \frac{1}{(x^2+px+q)^j}\,dx + C \] Das Restintegral kannst Du jetzt mit Fall (3) lösen.

Die siehst, dass alle Fälle aufgelöst werden können, wenn dies unter Umständen auch ziemlich mühselig sein kann. Aber es ist prinzipiell immer möglich. Du musst Dich nur an die Schritte dieser Anleitung halten. Das abschließende Beispiel zeigt die Konstruktion einer Stammfunktion für eine rationale Funktion, deren Nennerpolynom eine komplexe Nullstelle hat.

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