Reihen entstehen, indem wir die Folgenglieder einer Folge $(a_k)_{k\in \mathbb{N}_0}$ von $1$ bis $n$ aufsummieren. Die Summe dieser ersten $n$-Folgenglieder der Folge $(a_k)$ ergibt das $n$-te Folgenglied einer Reihe.
Der Begriff der Reihe
Beispiel
Gegeben sei die Folge $(a_k)$ mit $a_k = \frac{1}{k}$. Dann bilden wir aus $(a_k)$ durch Aufsummieren eine neue Folge $(S_n)$. Hier die ersten Folgenglieder von $(S_n)$: \begin{eqnarray*} S_1 & = & 1 \\ S_2 & = & 1 + \frac{1}{2} \\ S_3 & = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \\ S_4 & = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\ & \vdots & \\ S_n & = & 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \\ & \vdots & \end{eqnarray*}Definition
Es sei $(a_k)$ eine Folge in $\mathbb{R}$ oder in $\mathbb{C}$ und für $n\in\mathbb{N}$ sei \[ S_n := \sum_{k=1}^n a_k. \] Die Folge $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ heißt Reihe und $S_n$ ist die $n$-te Partialsumme der Reihe. Wir schreiben \[ \sum_{n=1}^\infty a_n \] für die Folge $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$, unabhängig davon, ob die Folge konvergiert oder nicht.Wie eine Folge muss eine Reihe natürlich nicht bei $n=1$ beginnen. So würde $\sum_{n=0}^\infty a_n$ eine Reihe bezeichnen, die bei $n=0$ beginnt oder $\sum_{n=17}^\infty a_n$ eine Reihe, die erst bei $n=17$ beginnt.
Ebenfalls wie bei Folgen steht wieder die Frage der Konvergenz im Vordergrund.
Definition
Eine Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ heißt konvergent, wenn die Folge $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ der Partialsummen konvergiert. Andernfalls heißt die Reihe divergent.
Wenn die Reihe konvergent ist, dann wird auch der Grenzwert der Reihe mit \[ \sum_{n=1}^\infty a_n \] bezeichnet. Ist die Reihe divergent, wird dem Symbol $\sum_{n=1}^\infty a_n$ keine Zahl zugeordnet.
Das Symbol $\sum_{n=1}^\infty a_n$ kann also eine Doppelbedeutung haben. Es bezeichnet immer die Folge der Partialsummen, im Konvergenzfall zusätzlich auch den Grenzwert der Folge der Partialsummen und damit den Grenzwert einer Reihe.
Ein erstes einfaches Konvergenzkriterium
Da für uns die Frage der Konvergenz einer Reihe im Vordergrund steht, spielen Konvergenzkriterien eine wichtige Rolle. Das folgende Lemma liefert ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe. Es ist das sogenannte Nullfolgenkriterium.
Satz (Nulfolgenkriterium)
Wenn die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergent ist, dann ist die Folge $(a_n)$ eine Nullfolge.
Beweis
\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \text{ ist konvergent} & \Rightarrow & (S_n) \text{ ist konvergent} \\ & \Rightarrow & (S_n) \textnormal{ ist Cauchy-Folge} \\ & \Rightarrow & \forall\epsilon > 0\,\exists n_1\in\mathbb{N}\,\forall n,m \geq n_1 : |S_m - S_n| < \epsilon. \quad (*) \end{eqnarray*} Die letzte Implikation entspricht dabei der Definition einer Cauchy-Folge. Die mit $(*)$ gekennzeichnete Aussage werden wir weiter unter nutzen.
Sei nun $\epsilon > 0 $ beliebig. Um nachzuweisen, dass $(a_n)$ eine Nullfolge ist, müssen wir ein $n_0\in\mathbb{N}$ konstruieren, so dass für alle $n\geq n_0$ gilt: $|a_n| < \epsilon$. Hierzu wenden wir den Trick \[ a_n = S_n - S_{n-1} = \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k \] an, d. h. wir stellen $a_n$ als Differenz der beiden Partialsummen $S_n$ und $S_{n-1}$ dar. Für $n_0 := n_1+1$ gilt dann wegen $(*)$: \[ |a_n| = |S_n - S_{n-1}| < \epsilon \text{ für alle } n\geq n_0. \]
Beachte, dass es sich bei diesem Lemma nur um ein notwendiges Kriterium für Konvergenz handelt. Dies bedeutet, dass Du auf Nichtkonvergenz der Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ schließen kannst, wenn $(a_n)$ keine Nullfolge ist. Du darfst mit diesem Kriterium aber keineswegs auf konvergenz schließen, wenn $(a_n)$ eine Nullfolge ist. Wir werden hierzu auch gleich ein Beispiel betrachten.
Die geometrische Reihe
Es sei $q\in\mathbb{C}$. Die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots \] heißt geometrische Reihe. Für $|q|\geq 1$ ist $(q^n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ keine Nullfolge, die geometrische Reihe also divergent. Für $|q|<1$ gilt jedoch \[ S_n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \] Daraus folgt für $|q|< 1$: \[ \sum_{k=0}^\infty q^k = \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q}. \] Also ist eine geometrische Reihe genau dann konvergent, wenn $|q|<1$ gilt.
Geometrische Reihen spielen eine wichtige Rolle bei Konvergenzbetrachtungen, da wir genau wissen, für welche $q\in\mathbb{C}$ die Reihe konvergiert und für welche nicht. Außerdem können wir für eine konvergente geometrische Reihe ihren Grenzwert angeben. Geometrische Reihen werden daher bei Konvergenzuntersuchungen häufig genutzt, um eine Reihe nach oben oder unten abzuschätzen. Auch die wichtigsten Konvergenzkriterien, das Quotienten- und das Wurzelkriterium, basieren im Kern auf solchen Abschätzungen mit geometrischen Reihen.
Die harmonische Reihe
Die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \] heißt harmonische Reihe. Diese Reihe ist divergent, obwohl $(\frac{1}{n})$ eine Nullfolge ist. Sie ist damit ein schönes Beispiel dafür, dass das Nullfolgenkriterium notwendig aber nicht hinreichend für Konvergenz ist.
Um zu zeigen, dass die harmonische Reihe divergent ist, zeigen wir, dass die Folge $(S_n)$ der Partialsummen keine Cauchy-Folge ist. Zur Erinnerung: \[ (S_n) \text { ist Cauchy-Folge }\quad\Longleftrightarrow\quad \forall \epsilon > 0 \exists n_0\in\mathbb{N} \forall n,m \geq n_0: |S_n - S_m| < \epsilon. \] Damit folgt: \[ (S_n) \text { ist keine Cauchy-Folge }\quad\Longleftrightarrow\quad \exists \epsilon > 0 \forall n_0\in\mathbb{N} \exists n,m \geq n_0: |S_n - S_m| \geq \epsilon. \] Wir beweisen nun die rechte Seite dieser Äquivlenz. Hierzu wählen wir $\epsilon = \frac{1}{2}$. Es sei nun $n_0\in\mathbb{N}$ beliebig. Dann wählen wir $n=2n_0$ und $m=n_0$. Damit erhalten wir \[ |S_n - S_m| = |S_{2n_0} - S_{n_0}| = \left| \sum_{k=1}^{2n_0} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n_0} \frac{1}{k} \right| = \sum_{k=n_0+1}^{2n_0} \frac{1}{k}. \] Jetzt schätzen wir die Summe ab. Wir haben $n_0$ viele Summanden und für jeden Summanden gilt $\frac{1}{k} \geq \frac{1}{2n_0}$, denn von allen Summanden ist $\frac{1}{2n_0}$ der Kleinste. Damit ergibt sich \[ \sum_{k=n_0+1}^{2n_0} \frac{1}{k} \geq n_0 \frac{1}{2n_0} = \frac{1}{2} = \epsilon. \] Damit ist der Nachweis erbracht, dass die Folge $(S_n)$ der Partialsummen keine Cauchy-Folge und somit die harmonische Reihe nicht konvergent ist.
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