Die Einführung des Vollständigkeitsaxioms hat dafür gesorgt, dass wir in den reellen Zahlen die Gleichungen $x^k = a$ für positives $a$ lösen können. Dagegen hat die Gleichung $x^2 = -1$ keine Lösung in den reellen Zahlen. Dies wirft die Frage auf, ob wir die reellen Zahlen geeignet erweitern können, so dass $x^k = a$ auch für negative $a$ immer eine Lösung hat.
Definition der komplexen Zahlen
Tatsächlich ist dies mit den komplexen Zahlen möglich. Dafür müssen wir aber einen hohen Preis bezahlen. Wir hatten gezeigt, dass in einem angeordneten Körper immer $x^2 \geq 0$ gilt. Wenn durch eine Körpererweiterung die Gleichung $x^2 = -1$ eine Lösung bekommt, dann steht dies dementsprechend im Widerspruch zur Anordnung. Ein Körper, in dem $x^2 = -1$ eine Lösung hat, kann daher kein angeordneter Körper mehr sein! In solch einem Körper können wir keine Ungleichungen mehr aufstellen und mit ihnen rechnen.
Wir beginnen mit der Definition der komplexen Zahlen.
Defintion
Wir definieren die Menge \[ \C := \R \times \R \] der komplexen Zahlen. Eine komplexe Zahl $z = (a,b)$ ist also ein Paar reeller Zahlen. Dabei heißt $a$ Realteil von $z$ und $b$ Imaginärteil.
Weiterhin definieren wir die beiden zweistelligen inneren Verknüpfungen $\oplus$ und $\odot$ auf $\C$ wie folgt: Für $z_1 = (a_1,b_1) \in \C$ und $z_2 = (a_2,b_2) \in \C$ sei \begin{eqnarray*} z_1 \oplus z_2 & := & (a_1 + a_2, b_1 + b_2) \\ z_1 \odot z_2 & := & (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + b_1 a_2). \end{eqnarray*}
Bei der Bezeichnung der Verknüpfungen für die komplexen Zahlen habe ich bewusst nicht $+$ und $\cdot$ als Symbole genommen, sondern $\oplus$ und $\odot$, um deutlich zwischen den Verknüpfungen in $\C$ und in $\R$ zu unterscheiden.
Die Verknüpfung $\oplus$ ist die Addition für die komplexen Zahlen. Wie wir sehen, werden zwei komplexe Zahlen komponentenweise addiert, also Realteil plus Realteil, Imaginärteil plus Imaginärteil.
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen, bezeichnet mit $\odot$, ist dagegen etwas komplizierter. Der Realteil des Produktes entsteht, indem die Differenz zwischen dem Realteilprodukt und dem Imaginärteilprodukt gebildet wird. Der Imaginärteil des Produktes entsteht, in dem die einzelnen Real- und Imaginärteile über Kreuz multipliziert und addiert werden.
Wir können jeder Zahl $a\in\R$ eindeutig eine komplexe Zahl $(a,0)\in\C$ zuordnen, indem wir den Imaginärteil auf $0$ setzen. Bei Verknüpfungen bleiben wir dann auch immer in dieser Teilmenge der komplexen Zahlen mit Imaginärteil $0$, denn \[ (a_1,0) \oplus (a_2,0) = (a_1 + a_2,0) \] und \[ (a_1,0) \odot (a_2,0) = (a_1 a_2 - 0\cdot 0, a_1\cdot 0 + 0\cdot a_2) = (a_1 a_2,0). \] Addition und Multiplikation der komplexen Zahlen sind in diesem Sinne kompatibel zur Addition und Multiplikation der reellen Zahlen. Daher können wir $\C$ als Erweiterung der reellen Zahlen auffassen.
Körper der komplexen Zahlen
Uns interessiert natürlich die Frage, ob $(\C,\oplus,\odot)$ ein Körper ist. Dazu müssen wir die einzelnen Körperaxiome überprüfen. Bei der Addition $\oplus$ ist dies relativ einfach, da komponentenweise addiert wird. Die Komponenten sind reelle Zahlen und für diese gelten ja Assoziativ- und Kommutativgesetz. Hier der Nachweis für das Kommutativgesetz bei der Verknüpfung $\oplus$: \[ (a_1, b_1) \oplus (a_2, b_2) = (a_1 + a_2, b_1+b_2) = (a_2 + a_1, b_2+b_1) = (a_2, b_2) \oplus (a_1, b_1). \] Der Nachweis für das Assoziativgesetz ist zwar etwas länger aber auch nicht schwieriger: \begin{eqnarray*} ((a_1, b_1) \oplus (a_2, b_2)) \oplus (a_3,b_3) & = & (a_1 + a_2, b_1 + b_2) \oplus (a_3,b_3) \\ & = & ((a_1 + a_2) + a_3, (b_1 + b_2) + b_3) \\ & = & (a_1 + (a_2 + a_3), b_1 + (b_2 + b_3)) \\ & = & (a_1,b_1) \oplus (a_2 + a_3, b_2 + b_3) \\ & = & (a_1,b_1) \oplus ((a_2, b_2) \oplus (a_3,b_3)). \end{eqnarray*} Weiterhin gilt $0_\C = (0,0)$, denn \[ (a,b) \oplus (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b), \] und für $z=(a,b)$ gilt $-z = (-a,-b)$, denn \[ (a,b) \oplus (-a,-b) = (a + (-a), b+(-b)) = (0,0) = 0_\C. \] Damit bildet $(\C,\oplus)$ eine abelsche Gruppe. Das Körperaxiom (K1) ist somit erfüllt.
Als nächstes müssen wir prüfen, ob $(\C\setminus\{0_\C\},\odot)$ eine abelsche Gruppe bildet. Assoziativgesetz und Kommutativgesetz kannst Du dabei wieder durch einfaches Ausrechnen prüfen. Dies solltest Du zur Übung einmal selbst durchführen. Beide Gesetze sind gültig.
Übung 1
Zeige, dass in den Komplexen Zahlen für die Multiplikation $\odot$ Assoziativ- und Kommutativgesetz erfüllt sind.
- Kommutativgesetz:
- Sei $z_1 = (a_1,b_1)$ und $z_2 = (a_2,b_2)$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} z_1 \odot z_2 & = & (a_1,b_1) \odot (a_2,b_2) \\ & = & (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + b_1 a_2) \\ & = & (a_2 a_1 - b_2 b_1, a_2 b_1 + b_2 a_1) \\ & = & (a_2,b_2) \odot (a_1,b_1) \\ & = & z_2 \odot z_1. \end{eqnarray*}
- Assoziativgesetz:
- Sei $z_1 = (a_1,b_1), z_2 = (a_2,b_2)$ und $z_3 = (a_3,b_3)$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} (z_1 \odot z_2) \odot z_3 & = & ((a_1,b_1)\odot(a_2,b_2))\odot (a_3,b_3) \\ & = & (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + b_1 a_2) \odot (a_3,b_3) \\ & = & ((a_1 a_2 - b_1 b_2)a_3 - (a_1 b_2 + b_1 a_2)b_3, (a_1 a_2 - b_1 b_2)b_3 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)a_3) \\ & = & (a_1a_2a_3 - b_1b_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3, a_1a_2b_3 - b_1b_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3) \end{eqnarray*} Weiterhin gilt: \begin{eqnarray*} z_1 \odot (z_2 \odot z_3) & = & (a_1,b_1)\odot((a_2,b_2)\odot(a_3,b_3)) \\ & = & (a_1,b_1)\odot(a_2a_3-b_2b_3,a_2b_3+b_2a_3) \\ & = & (a_1(a_2a_3-b_2b_3) - b_1(a_2b_3+b_2a_3), a_1(a_2b_3+b_2a_3) + b_1(a_2a_3-b_2b_3)) \\ & = & (a_1a_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1 a_2 b_3 - b_1 b_2 a_3, a_1a_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3 - b_1b_2b_3) \\ & = & (a_1a_2a_3 - b_1b_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3, a_1a_2b_3 - b_1b_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3) \end{eqnarray*} Damit gilt \[ (z_1 \odot z_2) \odot z_3 = z_1 \odot (z_2 \odot z_3). \]
Als Erweiterung von $\R$ müsste in den komplexen Zahlen $1_\C = (1,0)$ gelten. Stimmt das? Wir prüfen dies durch Nachrechnen: \[ (a,b) \odot (1,0) = (a\cdot 1 - b\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 1) = (a,b). \] Also ist $(1,0)$ tatsächlich das neutrale Element der Multiplikation.
Wie sieht jetzt $z^{-1}$ für eine komplexe Zahl $z = (a,b)$ aus? Wir können die Formel für $z^{-1}$ herleiten. Es sei $z^{-1} = (x,y)$. Dann muss \begin{eqnarray*} & & (a,b) \odot (x,y) = (1,0) \\ & \Leftrightarrow & (ax-by, ay+bx) = (1,0) \end{eqnarray*} gelten. Damit entsteht das lineare Gleichungssystem \begin{eqnarray*} ax - by & = & 1 \\ bx + ay & = & 0, \end{eqnarray*} dessen Lösung $z^{-1}$ angibt. Um das Gleichungssystem zu lösen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $a$ und die zweite mit $b$. Wir erhalten: \begin{eqnarray*} a^2x - aby & = & a \\ b^2x + aby & = & 0. \end{eqnarray*} Wenn wir die Gleichungen addieren, erhalten wir \[ (a^2 + b^2) x = a \] und somit \[ x = \frac{a}{a^2 + b^2}. \] Wir setzen $x$ in die zweite Gleichung von oben ein und erhalten damit \[ \frac{ab}{a^2 + b^2} + ay = 0. \] Jetzt dividieren wir durch $a$, lösen nach $y$ auf und erhalten damit \[ y = - \frac{b}{a^2 + b^2}. \] Also gilt für $z = (a,b)$ \[ z^{-1} = \left( \frac{a}{a^2+b^2}, -\frac{b}{a^2 + b^2} \right). \] Wegen $a^2 + b^2 > 0$ für alle $z \neq 0_\C$ ist auch die Existenz des inversen Elements stets gewährleistet. Damit bildet $(\C\setminus \{0_\C\},\odot)$ eine abelsche Gruppe und Körperaxiom (K2) ist erfüllt.
Als letztes müssen wir noch prüfen, ob auch Körperaxiom (K3), das Distributivgesetz, erfüllt ist. Den Nachweis überlasse ich Dir als Übung.
Übung 2
Zeige, dass die komplexen Zahlen das Distributivgesetz erfüllen.
Sei $z_1 = (a_1,b_1), z_2=(a_2,b_2)$ und $z_3=(a_3,b_3)$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} z_1 \odot (z_2 \oplus z_3) &= & (a_1,b_1) \odot ((a_2,b_2)\oplus(a_3,b_3)) \\ & = & (a_1,b_2)\odot(a_2+a_3, b_2+b_3) \\ & = & (a_1(a_2+a_3) - b_1(b_2+b_3),a_1(b_2+b_3) + b_1(a_2+a_3)) \\ & = & (a_1a_2 + a_1a_3 - b_1b_2 - b_1b_3, a_1b_2 a_1b_3 + b_1a_2 + b_1a_3) \\ & = & ((a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1a_3 - b_1b_3), (a_1b_2+b_1a_2,a_1b_3+b_1a_3)) \\ & = & (a_1a_2 - b_1b_2, a_1b_2 + b_1a_2) \oplus (a_1a_3 - b_1b_3, a_1b_3 + b_1a_3) \\ & = & ((a_1,b_1)\odot(a_2,b_2)) \oplus ((a_1,b_1)\odot(a_3,b_3)) \\ & = & (z_1\odot z_2) \oplus (z_1\odot z_3). \end{eqnarray*}
Damit sind in den komplexen Zahlen alle Körperaxiome erfüllt. Wir haben damit den folgenden Satz schon bewiesen.
Satz
$(\C, \oplus, \odot)$ ist ein Körper.Das Elemente $\I := (0,1)$ bezeichnen wir als imaginäre Einheit. Es gilt \[ \I^2 = (0,1) \odot (0,1) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0) = (-1,0), \] und $(-1,0)$ entspricht $-1$ in den reellen Zahlen. Damit existiert in $\C$ eine Zahl, deren Quadrat negativ wäre. Wir wissen, dass dies in einem angeordneten Körper nicht möglich ist. Daher:
Satz
Der Körper $\C$ kann nicht angeordnet werden.Wir können dementsprechend auch nicht von positiven oder negativen komplexen Zahlen sprechen, denn diese Bezeichungen wurden auf Basis der Anordnung definiert. Wir können aber sehr wohl von positiven oder negativen Real- oder Imaginärteilen sprechen, denn Real- und Imaginärteil sind ja reelle Zahlen.
Abschließend führen wir noch eine neue Schreibweise für die Komplexen Zahlen ein. Ab sofort schreiben wir eine Zahl $(a,b) \in \C$ in der Form \[ a + b \I. \] Wir benutzen nun auch nicht mehr die Symbole $\oplus$ und $\odot$ für Addition bzw. Multiplikation, sondern $+$ und $\cdot$. Durch die neue Schreibweise können wir mit komplexen Zahlen wie mit reellen Zahlen rechnen, wenn wir dabei berücksichtigen, das $\I^2 = -1$ gilt, denn \[ (a_1 + b_1 \I) + (a_2 + b_2 \I) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\I \] und \begin{align} & (a_1 + b_1\I)(a_2 + b_2 \I) \\ = &\,(a_1 a_2 + a_1 b_2 \I + b_1 a_2 \I + b_1 b_2 \I^2) \\ = &\,(a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2) \I. \end{align} Wir sehen also, dass bei der gewöhnlichen Addition und Multiplikation die gleichen Ergebnisse entstehen wie bei $\oplus$ und $\odot$. Auch schreiben wir jetzt wieder einfach $0$ und $1$ wie in den reellen Zahlen, denn $\C$ hat ja die selben neutralen Elemente wie $\R$.
Die konjugiert komplexe Zahl
Definition
Für eine Zahl $z = a + b\I \in \C$ bezeichnet
$\Re(z) := a$ den Realteil von $z$,
$\Im(z) := b$ den Imaginärteil von $z$ und
$\overline{z} := a - b\I$ die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl.
Die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl entsteht somit, indem wir das Vorzeichen des Imaginärteils wechseln.
Die folgende Proposition zeigt wichtige Rechenregeln in Verbindung mit dem konjugiert Komplexen.
Proposition
Für alle $z = a + b\I, z_1, z_2 \in \C$ gilt:
$\overline{\overline{z}} = z$
-
$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$
-
$\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
$z + \overline{z} = 2a \in\R$
$z \overline{z} = a^2 + b^2 \in \R$
Interpretation der Rechenregeln: Die konjugiert komplexe Zahl der konjugiert komplexen Zahl von $z$ ist wieder $z$. Das konjugiert Komplexe einer Summe stimmt mit der Summe der konjugiert komplexen Summanden überein, beim Produkt analog. Summe und Produkt von $z$ und seinem konjugiert Komplexen liefern stets eine reelle Zahl.
Der Beweis dieser Rechenregeln ist eine einfache Übung.
Übung 3
Beweise alle Aussagen der letzten Proposition.
-
\[ \overline{\overline{z}} = \overline{\overline{a+b\I}} = \overline{a-b\I} = a + b\I = z \]
-
Sei $z_1 = a_1 + b_1\I$ und $z_2 = a_2 + b_2\I$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} \overline{z_1+z_2} & = & \overline{(a_1 + b_1\I) + (a_2+b_2\I)} \\ & = & \overline{(a_1+a_2) + (b_1+b_2)\I} \\ & = & (a_1+a_2) - (b_1+b_2)\I \\ & = & (a_1 -b_1\I) + (a_2 - b_2\I) \\ & = & \overline{z_1} + \overline{z_2}. \end{eqnarray*}
-
Sei $z_1 = a_1 + b_1\I$ und $z_2 = a_2 + b_2\I$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} \overline{z_1 z_2} & = & \overline{(a_1+b_1\I)(a_2+b_2\I)} \\ & = & \overline{(a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2+b_1a_2)\I} \\ & = & (a_1a_2-b_1b_2) - (a_1b_2+b_1a_2)\I \\ & = & (a_1 - b_1\I)(a_2-b_2\I) \\ & = & \overline{a_1 + b_1\I}\cdot\overline{a_2+b_2\I} \\ & = & \overline{z_1}\cdot \overline{z_2}. \end{eqnarray*}
-
\[ z + \overline{z} = (a+b\I) + (a-b\I) = 2a \]
-
\[ z\overline{z} = (a+b\I)(a-b\I) = a^2 - b^2\I^2 = a^2 + b^2 \]
$\C$ als normierter Körper
Die komplexen Zahlen können zwar keinen angeordneten Körper bilden, aber einen normierten Körper. Zur Erinnerung: Für einen normierten Körper benötigt man eine Betragsfunktion, die verschiedene Bedingungen erfüllen muss. Aufgabe der Betragsfunktion ist es, den Körperelementen eine nichtnegative Größe zuzuordnen. Für eine reelle Zahl $a$ hatten wir den Betrag anschaulich als Abstand zwischen $a$ und $0$ definiert.
Da eine komplexe Zahl $z = a + b\I$ dem Punkt $(a,b)\in\R^2$ in der zweidimensionalen Ebene entspricht, können wir die Idee des Abstands von der $0$ übertragen.
Definition
Für $z = a + b\I \in \C$ definieren wir den den Betrag $|z|$ von $z$ durch \[ |z| := \sqrt{a^2 + b^2}. \]Der Betrag ist also die Wurzel aus der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil. Nach Pythogoras entspricht dies dem Abstand des Punktes $(a,b)$ vom Ursprung, also dem Punkt $(0,0)$. Die nachfolgende Grafik visualisiert beispielhaft die Betragsdefinition.
Es folgen einige wichtige Rechenregeln, die den Betrag einer komplexen Zahl und deren konjugiert Komplexes in Beziehung setzen.
Proposition
Es sei $z \in \C$. Dann gilt:
$\displaystyle z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ für $z \neq 0$
$|z| = |\overline{z}|$
$|z| = \sqrt{z\,\overline{z}}$.
Übung 4
Beweise alle Aussagen der letzten Proposition.
-
Wir hatten oben gezeigt, dass für eine komplexe Zahl $z=a+b\I$ mit $z \neq 0$ \[ z^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}\I \] gilt. Weiterhin gilt $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ und somit $|z|^2 = a^2 + b^2$. Damit erhalten wir: \begin{eqnarray*} z^{-1} & = & \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}\I \\ & = & \frac{a-b\I}{a^2+b^2} \\ & = & \frac{\overline{z}}{|z|^2}. \end{eqnarray*}
-
Sei $z=a+b\I$. Dann gilt: \[ |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |\overline{z}|. \]
-
Sei $z=a+b\I$. In Übung 3 (v) hatten wir \[ z\overline{z} = a^2 + b^2 \] gezeigt. Wegen $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ folgt $|z| = \sqrt{z\overline{z}}$.
Mit dem oben definiertem Betrag bilden die komplexen Zahlen tatsächlich einen normierten Körper.
Satz
$\C$ bildet mit $|\cdot|$ als Norm einen normierten Körper, d. h. für alle $z, z_1, z_2 \in \C$ gilt:
$|z| \geq 0$ und $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$|z_1 \cdot z_2 | = |z_1| \cdot |z_2|$
$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
Übung 5
Zeige (i) und (ii) des letzten Satzes.
-
Sei $z=a+b\I$. Aus der Definition für den Betrag, \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \] folgt $|z| \geq 0$.
Weiterhin gilt: \begin{eqnarray*} |z| = 0 & \Leftrightarrow & \sqrt{a^2+b^2} = 0 \\ & \Leftrightarrow & a^2 + b^2 = 0 \\ & \Leftrightarrow & a=0 \wedge b=0 \\ & \Leftrightarrow & z=0. \end{eqnarray*}
-
Sei $z_1=a_1+b_1\I$ und $z_2=a_2+b_2\I$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} |z_1\cdot z_2| & = & |(a_1+b_1\I)(a_2+b_2\I)| \\ & = & |(a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2+b_1a_2)\I| \\ & = & \sqrt{(a_1a_2-b_1b_2)^2 + (a_1b_2+b_1a_2)^2} \\ & = & \sqrt{a_1^2a_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + b_1^2b_2^2 +a_1^2b_2^2 + 2a_1b_2b_1a_2 + b_1^2a_2^2} \\ & = & \sqrt{a_1^2a_2^2 + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + b_1^2a_2^2} \\ & = & \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2+b_2^2)} \\ & = & \sqrt{a_1^2 + b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2} \\ & = & |z_1|\cdot |z_2|. \end{eqnarray*}
Beweis von (iii)
Der Beweis, dass die Dreiecksungleichung auch in den komplexen Zahlen gilt, ist nicht ganz so einfach. Ich beginne mit einer Hilfsaussage: Für alle $z\in\C$ gilt \[ \Re(z) \leq |z|. \] Diese Aussage lässt sich recht einfach zeigen. Es sei $z = a+b\I \in \C$. Dann gilt: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geq \sqrt{a^2} = |a| \geq a = \Re(z). \] Beim ersten "$\geq$" haben wir $b^2 \geq 0$ ausgenutzt, beim zweiten $|a| \geq a$.
Mit dieser Hilfsaussage können wir jetzt den eigentlichen Beweis führen. Dabei beginnen wir nicht mit $|z_1 + z_2|$ sondern mit $|z_1 + z_2|^2$. Es gilt: \begin{eqnarray*} |z_1 + z_2|^2 & = & (z_1 + z_2)\overline{z_1 + z_2} \\ & = & (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) \\ & = & z_1\overline{z_2} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} \\ & = & |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} \\ & = & |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}\,\overline{\overline{z_2}} \\ & = & |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} \\ & = & |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\Re(z_1\overline{z_2}) \\ & \leq & |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2 |z_1 \overline{z_2}| \\ & = & |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2 |z_1| |\overline{z_2}| \\ & = & |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2 |z_1| |z_2| \\ & = & \left(|z_1| + |z_2|\right)^2. \end{eqnarray*}
Die Umformungen im Beweis basieren alle auf allgemeinen Rechenregeln oder speziellen Rechenregeln in $\C$, die wir in dieser Blog-Folge bewiesen haben. Z. B. von Zeile 4 zu Zeile 5 haben wir $z_2 = \overline{\overline{z_2}}$ ausgenutzt. Mache Dir jeden einzelnen Schritt klar! Die einzige Abschätzung im Beweis basiert auf der Hilfsaussage von oben.
Wir haben damit \[ |z_1 + z_2|^2 \leq \left(|z_1| + |z_2|\right)^2 \] gezeigt. Da Beträge nicht negativ sein können, folgt \[ |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|. \] Damit haben wir die Dreiecksungleichung für die komplexen Zahlen bewiesen.
In der kommenden Blog-Folge zeige ich Dir, wie man die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen geometrisch interpretieren kann. Auch werden wir dann Wurzeln aus komplexen Zahlen ziehen.
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