Hier findest eine Reihe von Aufgaben zu Wurzeln und Potenzen. Viele dieser Aufgaben stammen aus Mathetests von Universitäten. Versuche möglichst viele der Aufgaben zu lösen. Schaue Dir auch immer die Lösungen an, denn Du kannst eine Menge aus ihnen lernen.
Als Vorbereitung für die erste Übung solltest Du dir klar machen, wann eine Potenz den Wert $1$ annimmt.
Übung 1
Bestimme alle Lösungen der folgenden Gleichung: \[ (2x + 13)^{x^2-9} = 1. \]
Fall 1: Eine Potenz nimmt den Wert $1$ an, wenn die Basis $1$ ist.
Dies ist hier für $2x + 13 = 1$ der Fall. Damit ergibt sich: \begin{eqnarray*} 2x + 13 = 1 & \Rightarrow & 2x = -12 \\ & \Rightarrow & x = -6. \end{eqnarray*}
Fall 2: Eine Potenz nimmt den Wert $1$ an, wenn die Basis $-1$ und der Exponent gerade ist.
Damit ergibt sich: \begin{eqnarray*} 2x + 13 = -1 & \Rightarrow & 2x = -14 \\ & \Rightarrow & x = -7. \end{eqnarray*} Mit $(-7)^2 - 9 = 49 - 9 = 40$ ergibt sich auch ein gerader Exponent.
Fall 3: Eine Potenz nimmt den Wert $1$ an, wenn der Exponent den Wert $0$ hat.
Damit ergibt sich: \begin{eqnarray*} x^2 - 9 = 0 & \Rightarrow & x^2 = 9 \\ & \Rightarrow & x = \pm 3. \end{eqnarray*}
Insgesamt haben wir damit vier Lösungen für die Gleichung: \[ -7, -6, -3, 3. \]
Eine quadratische Gleichung löst Du üblicherweise mithilfe der $p$-$q$-Formel. Es geht aber stets auch ohne die $p$-$q$-Formel.
Übung 2
Löse die quadratische Gleichung \[ x^2 + x = 9120 \] ohne die $p$-$q$-Formel zu nutzen, also nur mit Termumformungen.
Die wesentliche Technik hierfür ist die sogenannte quadratische Ergänzung, die Du aus der Schule kennen solltest. Hierbei wird ein quadratischer Term sowohl addiert als auch subtrahiert, so dass er sich aufhebt. Der positive Teilwird dann genutzt, um die erste oder zweite binomische Formel rückwärts anzuwenden. \begin{eqnarray*} x^2 + x = 9210 & \Rightarrow & x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 9120 \\ & \Rightarrow & \left(x^2 + x + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} = 9120 \\ & \Rightarrow & \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = 9120 \\ & \Rightarrow & \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 9120 + \frac{1}{4} \\ & \Rightarrow & \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{36481}{4} \\ & \Rightarrow & x + \frac{1}{2} = \pm \frac{191}{2} \\ & \Rightarrow & x = 95 \quad \vee \quad x = -96 \end{eqnarray*}
Die beiden nächsten Übungen sind interessante Wurzelgleichungen.
Übung 3
Löse: \[ \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = 16. \]
Wir lösen die Wurzeln von innen her auf und schreiben sie als Exponenten. \begin{eqnarray*} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = 16 & \Rightarrow & \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^\frac{3}{2}}}} = 16 \\ & \Rightarrow & \sqrt{x\sqrt{x^\frac{7}{4}}} = 16 \\ & \Rightarrow & \sqrt{x^\frac{15}{8}} = 16 \\ & \Rightarrow & x^\frac{15}{16} = 16 \end{eqnarray*} Damit folgt: \begin{eqnarray*} x & = & (16)^\frac{16}{15} \\ & = & \sqrt[15]{16^{16}} \\ & =& \sqrt[15]{16\cdot 16^{15}} \\ & = & 16 \sqrt[15]{16} \end{eqnarray*}
Diese Aufgabe sieht ähnlich aus wie die vorige, wird aber anders gelöst.
Übung 4
Löse: \[ \sqrt{5 + \sqrt{5 + \sqrt{5 + x}}} = 3. \]
Wir lösen die Wurzeln von außen her auf. \begin{eqnarray*} \sqrt{5 + \sqrt{5 + \sqrt{5 + x}}} = 3 & \Rightarrow & 5 + \sqrt{5 + \sqrt{5 + x}} = 9 \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{5 + \sqrt{5 + x}} = 4 \\[2mm] & \Rightarrow & 5 + \sqrt{5 + x} = 16 \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{5 + x} = 11 \\[2mm] & \Rightarrow & 5 + x = 121 \\[2mm] & \Rightarrow & x = 116 \end{eqnarray*}
Jetzt ist wieder ein geschickter Umgang mit Potenzen gefragt.
Übung 5
Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung: \[ x^x = \frac{1}{4}. \]
\begin{eqnarray*} x^x & = & \frac{1}{4} \\ & = & 4^{-1} \\ & = & \left((-2)^2\right)^{-1} \\ & = & (-2)^{-2} \end{eqnarray*} Damit passt $(-2)^{-2}$ auf das Muster $x^x$. Also: \[ x = -2. \]
Übung 6
Finde eine Lösung: \[ x^{24} = 144^x. \]
\begin{eqnarray*} x^{24} = 144^x & \Rightarrow & x^\frac{24}{x} = 144 \\ & \Rightarrow & x^\frac{1}{x} = 144^\frac{1}{24} \\ & \Rightarrow & x^\frac{1}{x} = 144^\frac{\frac{1}{2}}{12} \\ & \Rightarrow & x^\frac{1}{x} = \left(\sqrt{144}\right)^\frac{1}{12} \\ & \Rightarrow & x^\frac{1}{x} = 12^\frac{1}{12} \end{eqnarray*} Also ist $x=12$ eine Lösung.
Hier musst die richtigen Termumformungen vornehmen. Kürze Brüche wo immer möglich und wende Potenzregeln sowie den Binomischen Lehrsatz an.
Übung 7
Berechne: \[ \left( \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{30}+\sqrt{6}} \right)^{24} \] Stelle das Ergebnis in der Form $a - b\sqrt{c}$ dar, mit $a,b,c\in\N$.
Zunächst vereinfachen wir den Bruch mit den Wurzel. \begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{30}+\sqrt{6}} & = & \frac{\sqrt{4}\sqrt{6}}{\sqrt{5}\sqrt{6} + \sqrt{6}} \\[2mm] & = & \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}+1} \\[2mm] & = & \frac{2}{\sqrt{5}+1} \end{eqnarray*} Jetzt stört uns aber immer noch die Wurzel im Nenner. Daher erweitern wir geschickt. \begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{5}+1} & = & \frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} \\[2mm] & = & \frac{-2 + 2\sqrt{5}}{5 -1} \\[2mm] & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \end{eqnarray*} Jetzt ist die Wurzel aus dem Nenner weg.
Wir schreiben die Potenz mit Exponent $24$ etwas anders. Es gilt: \[ \left( \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{30}+\sqrt{6}} \right)^{24} = \left( \left( \left( \left( \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{30}+\sqrt{6}} \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^3. \] Nun werten wir die rechte Seite von innen her aus.
Es gilt \[ \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)^2 = \frac{1}{4}(5 - 2\sqrt{5} + 1) = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}. \] Im nächsten Schritt erhalten wir \[ \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(9 - 6\sqrt{5}+5) = \frac{1}{4}(14 - 6\sqrt{5}) = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}. \] Wir quadrieren ein weiteres mal: \[ \left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(49 - 42\sqrt{5} + 45) = \frac{1}{4}(94-42\sqrt{5}) = \frac{47-21\sqrt{5}}{2}. \] Diesen Wert nehmen wir jetzt zur dritten Potenz. Für die Auswertung nutzen wir auch den binomischen Lehrsatz. \begin{eqnarray*} \left( \frac{47-21\sqrt{5}}{2} \right)^3 & = & \frac{1}{8}(47-21\sqrt{5})^3 \\[2mm] & = & \frac{1}{8}(47^3 - 3\cdot47^2\cdot 21\sqrt{5} + 3\cdot 47\cdot 21^2\cdot 5 - 21^3 \cdot 5\sqrt{5}) \\[2mm] & = & \frac{1}{8}(414728 - 185472\sqrt{5}) \\[2mm] & = & 51841 - 23184\sqrt{5} \end{eqnarray*} Also gilt \[ a=51841, b=23184, c=5. \]
Mit den vier richtigen Termumformungen erhälst Du die Lösung.
Übung 8
Bestimme alle Lösungen für $n$: \[ \sqrt{(n+4)(n-4)} = 3 \]
\begin{eqnarray*} & & \sqrt{(n+4)(n-4)} = 3 \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{n^2 - 16} = 3 \\[2mm] & \Rightarrow & n^2 - 16 = 9 \\[2mm] & \Rightarrow & n^2 = 25 \\[2mm] & \Rightarrow & n = \pm 5 \end{eqnarray*}
Erinnere Dich daran, wie Du eine Wurzelgleichung löst.
Übung 9
Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung: \[ \sqrt{x+32} - \sqrt{x-7} = 3. \]
\begin{eqnarray*} & & \sqrt{x+32} - \sqrt{x-7} = 3 \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{x+32} = \sqrt{x-7} + 3 \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{x+32}^2 = \left(\sqrt{x-7} + 3\right)^2 \\[2mm] & \Rightarrow & x+32 = (x-7) + 6\sqrt{x-7} + 9 \\[2mm] & \Rightarrow & 30 = 6\sqrt{x-7} \\[2mm] & \Rightarrow & 5 = \sqrt{x-7} \\[2mm] & \Rightarrow & 25 = x-7 \\[2mm] & \Rightarrow & x= 32. \end{eqnarray*} Wir machen die Probe: \begin{eqnarray*} \sqrt{x+32} - \sqrt{x-7} & = & \sqrt{32+32} - \sqrt{32-7} \\[2mm] & = & \sqrt{64} - \sqrt{25} \\[2mm] & = & 8 - 5 \\[2mm] & = & 3. \end{eqnarray*} Also ist $x=32$ die Lösung dieser Gleichung.
Die folgende Wurzelgleichung ist noch etwas kniffliger.
Übung 10
Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung: \[ \sqrt{2x+7} + \sqrt{x+3} = 5. \]
\begin{eqnarray*} & & \sqrt{2x+7} + \sqrt{x+3} = 5 \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{2x+7} = 5 - \sqrt{x+3} \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{2x+7}^2 = \left(5 - \sqrt{x+3}\right)^2 \\[2mm] & \Rightarrow & 2x+7 = 25 - 10\sqrt{x+3} + x + 3 \\[2mm] & \Rightarrow & x-21 = -10\sqrt{x+3} \\[2mm] & \Rightarrow & (x-21)^2 = 100(x+3) \\[2mm] & \Rightarrow & x^2 -42x + 441 = 100x + 300 \\[2mm] & \Rightarrow & x^2 - 142x + 141 = 0. \end{eqnarray*} Diese quadratische Gleichung können wir mit der $p$-$q$-Formel lösen. \begin{eqnarray*} x_{1,2} & = & 71 \pm \sqrt{71^2 - 141} \\[2mm] & = & 71 \pm \sqrt{4900} \\[2mm] & = & 71 \pm 70 \\[2mm] & = & 141 \text{ bzw. } 1. \end{eqnarray*} Durch das Quadrieren können zusätzliche scheinbare Lösungen entstanden sein. Daher müssen wir die Probe machen. Man sieht leicht, dass $x=141$ keine Lösung ist, aber $x=1$ erfüllt die Gleichung. \begin{eqnarray*} \sqrt{2x+7} + \sqrt{x+3} & = & \sqrt{2+7} + \sqrt{1+3} \\[2mm] & = & \sqrt{9} + \sqrt{4} \\[2mm] & = & 3 + 2 \\[2mm] & = & 5. \end{eqnarray*}
Lass Dich von den vielen Wurzeln und der Potenz nicht verwirren.
Übung 11
Berechne: \[ \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}\right)^{192}. \]
Teilen und Drucken