Bisher verfügen wir nur über eine eingeschränkte Definition der Potenz, denn für $a > 0$ haben wir $a^x$ nur für $x\in\mathbb{Q}$ definiert. In dieser Blog-Folge werden wir die Definition der Potenz auf beliebige $x\in\R$ erweitern.
Eindeutigkeit der Erweiterung
Zur Erinnerung: Für $x = \frac{p}{q}$ mit $p \in \Z$ und $q\in\N$ gilt bisher per Definition \[ a^x = \left( \sqrt[q]{a} \right)^p. \] Wir suchen jetzt nach einer neuen Definition für die Potenz, so dass $a^x$ für alle $x\in\R$ definiert ist. Diese neue Definition soll aber natürlich für alle $x\in \mathbb{Q}$ mit der bisherigen Definition übereinstimmen.
Eine Frage, die sich dabei stellt, ist die Eindeutigkeit solch einer Erweiterung. Wenn es eine Erweiterung gibt, ist diese eindeutig bestimmt oder gibt es eventuell verschiedene mögliche Definitionen solch einer Erweiterung? Sollte es mehrere Möglichkeiten geben, müssten wir darüber diskutieren, welche am sinnvollsten oder am praktischten ist. Glücklicherweise bleibt uns diese Diskussion erspart, wie wir gleich sehen werden.
Eine sinnvolle Anforderung, die wir an solch eine Erweiterung stellen sollten, ist deren Stetigkeit. Es erscheint sinnvoll, dass die Funktion \[ f(x) = a^x \] eine stetige Funktion in $x$ sein soll. Mit dieser Anforderung gibt es aber tatsächlich nur eine Möglichkeit, die Potenzfunktion auf die reellen Zahlen zu erweitern. Dies folgt aus der Tatsache, dass zwei stetige Funktion identisch sind, wenn sie auf allen rationalen Zahlen übereinstimmen, wie der folgende Satz zeigt.
Satz
Es seien $f_1,f_2: \R \rightarrow \R$ zwei stetige Funktion, die auf $\mathbb{Q}$ identisch sind, d. h. es gilt \[ f_1(x) = f_2(x) \] für alle $x\in\mathbb{Q}$.
Dann sind die beiden Funktionen $f_1$ und $f_2$ auch auf $\R$ identisch, d. h. es gilt \[ f_1(x) = f_2(x) \] für alle $x\in\R$.
Man kann dieses Satz folgendermaßen zusammenfassen: Zwei stetige, reelle Funktionen sind genau dann identisch, wenn sie auf $\mathbb{Q}$ identisch sind. Eine stetige Funktion ist demnach schon durch ihr Verhalten auf den rationalen Zahlen eindeutig bestimmt.
Dieser Satz lässt sich mithilfe der Stetigkeit und dem folgenden Lemma recht einfach beweisen.
Lemma
Zu jedem $x\in\R$ existiert eine Zahlenfolge $(x_n)$ in $\mathbb{Q}$ mit \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x. \]Gemäß der Aussage des Satzes können wir also zu jeder reellen Zahl $x$ eine konvergente Zahlenfolge $(x_n)$ konstruieren, die ausschließlich aus rationalen Zahlen besteht und deren Grenzwert $x$ ist und demnach irrational sein kann. Der konstruktive Beweis zeigt, wie solche Folgen aussehen.
Beweis Lemma
Gilt $x\in\mathbb{Q}$, dann ist die Folge $(x_n)$ mit $x_n = x$ eine konstante und somit konvergente rationale Folge mit $x$ als Grenzwert.
Bleibt also der interessante Fall $x\in \R \setminus \mathbb{Q}$, d. h. $x$ ist eine irrationale Zahl.
Für den Beweis definieren wir eine Intervallschachtelung, die aus den rationalen Folgen $(x_n)$ und $(y_n)$ besteht. Wir definieren hierzu zunächst \[ x_1 := \lfloor x \rfloor \in \Z \quad\text{und} \quad y_1 := \lceil x \rceil \in \Z. \]
Falls Dir die Klammern $\lfloor\cdot\rfloor$ und $\lceil\cdot\rceil$ nicht bekannt sind, dann informiere Dich z. B. hier über deren Bedeutung. Sie treten in der Informatik immer wieder auf.
Mit dieser Definition gilt $x_1,y_1 \in \mathbb{Q}$ sowie $x_1 < x < y_1$.
Jetzt geben wir an, wie wir die Folgenglieder $x_n$ und $y_n$ aus den Folgengliedern $x_{n-1}$ und $y_{n-1}$ konstruieren. Es sei \[ m := \frac{x_{n-1} + y_{n-1}}{2}, \] also das arithmetische Mittel von $x_{n-1}$ und $y_{n-1}$. Dann gelte \[ x_n = \left\{ \begin{array}{ll} x_{n-1} & \text{falls } m > x \\ m & \text{falls } m < x \end{array} \right. \] und \[ y_n = \left\{ \begin{array}{ll} m & \text{falls } m > x \\ y_{n-1} & \text{falls } m < x \end{array} \right. \] Demnach ziehen wir eine der beiden Zahlen $x_{n-1}$ und $y_{n-1}$ auf die Mitte des Intervalls, abhängig davon, ob $x$ in der rechten oder in der linken Hälfte des Intervalls $[x_{n-1},y_{n-1}]$ liegt. Wenn $x$ rechts liegt ($m < x$), setzen wir $x_n$ auf die Intervallmitte und belassen $y_n$ auf der Position von $y_{n-1}$. Andernfalls ziehen wir $y_n$ auf die Mitte und belassen $x_n$ auf der Position von $x_{n-1}$.
Beachte, dass bei dieser Konstruktion alle Folgenglieder rationale Zahlen sind, denn wenn $x_{n-1}$ und $y_{n-1}$ rationale Zahlen sind, ist auch $m$ rational und somit auch $x_n$ und $y_n$. Daher kann auch nie $m=x$ gelten, denn $x$ ist ja irrational. Außerdem gilt damit $x_n < x < y_n$ für alle $n\in\N$.
Die beiden Folgen $(x_n)$ und $(y_n)$ bilden zusammen eine Intervallschachtelung: (1) Jedes Intervall $[x_n,y_n]$ ist nicht leer, denn es gilt stets $x\in[x_n,y_n]$; (2) Es gilt immer $[x_n,y_n] \subseteq [x_{n-1},y_{n-1}]$, d. h. jedes Intervall ist Teilmenge des vorigen Intervalls; (3) Die Intervallbreite $y_n - x_n$ konvergiert gegen $0$, denn sie halbiert sich in jedem Schritt.
Mit dem Intervallschachtelungssatz folgt, dass $x$ der Grenzwert der rationalen Folgen $(x_n)$ und $(y_n)$ ist: \[ \lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x = \lim_{n\rightarrow \infty} y_n. \]
Mit dem Lemma können wir jetzt den letzten Satz recht einfach beweisen.
Beweis Satz
Nach Voraussetzung gilt $f_1(x) = f_2(x)$ für alle $x\in\mathbb{Q}$. Wir müssen also die Identität der beiden Funktionen nur noch für $x\in\R\setminus\mathbb{Q}$ zeigen.
Es sei $x\in \R\setminus\mathbb{Q}$ beliebig. Gemäß Lemma existiert eine rationale Folge $(x_n)$ mit \[ \lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x. \] Mit der Stetigkeit von $f_1$ und $f_2$ folgt nun für solch eine Folge $(x_n)$: \[ f_1(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} f_1(x_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} f_2(x_n) = f_2(x). \] Dabei gilt das linke "=" wegen der Stetigkeit von $f_1$, das mittlere "=" wegen der Identität von $f_1$ und $f_2$ auf den rationalen Zahlen und das rechte "=" wegen der Stetigkeit von $f_2$.
Damit ist der Satz beweisen.
Als Korollar können wir festhalten, dass es höchstens eine stetige Erweiterung der Potenzfunktion auf die reellen Zahlen gibt.
Korollar
Für alle $a > 0$ gibt es höchstens eine stetige Funktion $f_a(x):\R\rightarrow\R$ mit \[ f_a(x) = a^x \] für alle $x\in\mathbb{Q}$.Definition der Potenzfunktion
Nachdem wir nun wissen, dass eine Erweiterung der Potenzfunktion von den rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen eindeutig ist, falls sie existiert, wollen wir natürlich wissen, ob sie existiert und wenn ja, wie diese erweiterte Potenzfunktion aussieht. Der folgende Satz und der zugehörige Beweis liefern die Antwort auf diese Fragen.
Satz
Es sei $a > 0$. Wir definieren die Funktion \[ f_a: \R \rightarrow \R \] durch \[ f_a(x) := \exp(x\cdot \log(a)). \] Dann gilt für alle $r\in\mathbb{Q}$ die Gleichung \[ f_a(r) = a^r. \]Für den Beweis müssen wir zeigen, dass unsere neu definierte Funktion $f_a(x)$ für $x\in\mathbb{Q}$ mit der bisherigen Definition für $a^x$ übereinstimmt. Der wesentliche Schritt besteht darin, diese Identität für die natürlichen Zahlen nachzuweisen. Diesen Nachweis führen wir mithilfe der vollständigen Induktion. Anschließend nutzen wir Eigenschaften der Exponentialfunktion, um die Identität auf den rationalen Zahlen zu zeigen.
Beweis
Mittels vollständiger Induktion zeigen wir zunächst, dass $f_a(n) = a^n$ für alle $n\in\N_0$ gilt.
$n=0$: $f_a(0) = \exp(0\cdot \log(a)) = \exp(0) = 1 = a^0$.
$n \rightarrow n+1$: \begin{eqnarray*} f_a(n+1) & = & \exp((n+1)\cdot\log(a)) \\ & = & \exp(n\cdot\log(a) + \log(a)) \\ & = & \exp(n\cdot\log(a))\cdot \exp(\log(a)) \\ & = & f_a(n) \cdot a \\ & = & a^n \cdot a \\ & = & a^{n+1}. \end{eqnarray*} Beachte: Für die dritte Zeile wenden wir das Additionstheorem der Exponentialfunktion an. Für die vierte Zeile nutzen wir die Definition von $f_a(n)$ sowie $\exp(\log(a)) = a$ aus. Anschließend können wir die Induktionsvoraussetzung und die Definition von $a^{n+1}$ nutzen.
Damit gilt also $f_a(n) = a^n$ für alle $n\in\N_0$.
Mit den Eigenschaften der Exponentialfunktion und der bisherigen Potenzdefinition ergibt sich: \begin{eqnarray*} f_a(-n) & = & \exp(-n\cdot\log(a)) \\ & = & \frac{1}{\exp(n\cdot\log(a))} \\ & = & \frac{1}{f_a(n)} \\ & = & \frac{1}{a^n} \\ & = & a^{-n}. \end{eqnarray*} Also gilt $f_a(n) = a^n$ für alle $n\in\Z$.
Es sei nun $r\in\mathbb{Q}$ mit $r=\frac{p}{q}, p\in\Z, q\in\N$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} (f_a(r))^q & = & (\exp(r\cdot\log(a)))^q \\ & = & \underbrace{\exp(r\cdot\log(a))\cdot \ldots \cdot \exp(r\cdot\log(a))}_{q\text{ mal }} \\ & = & \exp(\underbrace{r\cdot\log(a) + \cdots + r\cdot\log(a)}_{q\text{ mal}}) \\ & = & \exp(qr\cdot\log(a)) \\ & = & \exp(p\cdot\log(a)) \\ & = & f_a(p) \\ & = & a^p. \end{eqnarray*} Also gilt $f_a(r) = \sqrt[q]{a^p} = a^r$.
Somit haben wir die eindeutige stetige Erweiterung der Potenzfunktion auf die reellen Zahlen gefunden. Mit ihr können wir nun die allgemeine Potenzfunktion definieren.
Definition
Für $a,x\in\R$ mit $a > 0$ sei \[ a^x := \exp(x\cdot\log(a)). \]Diese Definition nutzen wir gleich mal aus. Für $a = \e$ erhalten wir \[ \e^x = \exp(x\cdot\log(e)) = \exp(x\cdot\log(\exp(1))) = \exp(x\cdot 1) = \exp(x). \] Mit unserer allgemeinen Potenzfunktion gilt also tatsächlich die Identität $\e^x = \exp(x)$. Dies halten wir als Korollar fest.
Korollar
Für alle $x\in\R$ gilt $\e^x = \exp(x)$.Dementsprechend werde ich ab jetzt in den meisten Fällen $\e^x$ statt $\exp(x)$ schreiben.
Potenzgesetze
Nachdem wir nun die allgemeine Potenzfunktion definiert haben, ist es angebracht, Rechenregeln für Potenzen näher zu betrachten.
Satz
Für alle $a,b\in\R_+$ und alle $x,y\in\R$ gilt:
-
$\displaystyle a^{x+y} = a^x a^y$
-
$\displaystyle a^{-x} = \frac{1}{a^x}$
-
$\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{xy}$
-
$\displaystyle \left(ab\right)^x = a^x b^x$
Für den Beweis dieser Rechenregeln nutzen wir die Eigenschaften der Exponentialfunktion und des Logarithmus. Ich zeige Dir den Beweis zu (i). Die weiteren Beweise stelle ich Dir als Übungsaufgabe.
Beweis
- \begin{eqnarray*} a^{x+y} & = & \exp((x+y)\log(a)) \\ & = & \exp(x\log(a) + y\log(a)) \\ & = & \exp(x\log(a))\exp(y\log(a)) \\ & = & a^x a^y \end{eqnarray*}
Übung
Beweise die Aussagen (ii), (iii) und (iv) des letzten Satzes.
Muss noch erstellt werden.
Rechenregeln für den Logarithmus
Bisher kennen wir für den Logarithmus nur eine Rechenregel: das Additionstheorem. Der folgende Satz liefert weitere wichtige Rechenregeln für den Logarithmus.
Satz
- Für alle $a\in\R_+$ und alle $x\in\R$ gilt \[ \log(a^x) = x\cdot\log(a). \]
- Für alle $x,y\in\R_+$ gilt \[ \log\left(\frac{x}{y}\right) = \log(x) - \log(y). \]
Beweis
- \[ \log(a^x) = \log(\exp(x\log(a))) = x\log(a). \] Bemerkung: Wir nutzen erst die Definition von $a^x$ aus und anschließend, dass sich Umkehrfunktion und Funktion aufheben.
- \[ \log\left(\frac{x}{y}\right) = \log(x y^{-1}) = \log(x) + \log(y^{-1}) = \log(x) - \log(y). \] Bemerkung: Wir schreiben $\frac{x}{y}$ als $x y^{-1}$, nutzen dann das Additionstheorem für den Logarithmus sowie (i).
Logarithmen zu anderen Basen
Wir hatten den Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion definiert, also der Funktion $f(x) = \e^x$. Nachdem wir nun die allgemeine Potenzfunktion $f(x) = a^x$ mit $a > 0$ eingeführt haben, können wir auch für diese Funktionen die Umkehrfunktion definieren. Diese existieren, denn gemäß der Definition von $a^x$ ist $f(x) = a^x$ stetig und streng monoton, wenn $a \neq 1$ gilt.
Definition
Für $a\in\R_+$ mit $a\neq 1$ sei $\log_a: \R_+ \rightarrow \R$ die Umkehrfunktion zu $f(x) = a^x$.
Der Wert $\log_a(x)$ heißt Logarithmus von $x$ zur Basis $a$.
Gemäß dieser Definition ist $\log_a(x)$ die Zahl $y$, welche die Gleichung \[ a^y = x \] löst.
Der natürliche Logarithmus entspricht dem Logarithmus zur Basis $\e$.
Die folgende Rechenregel zeigt, dass wir einen Logarithmus von $x$ zur Basis $a$ immer mithilfe des natürlichen Logarithmus ausdrücken können.
Proposition
Für alle $a\in\R_+$ mit $a \neq 1$ und alle $x\in\R_+$ gilt \[ \log_a(x) = \frac{\log(x)}{\log(a)}. \]Beweis
Sei $y:=\log_a(x)$. Damit löst $y$ die Gleichung \[ a^y = x. \] Daraus ergibt sich \begin{eqnarray*} & & a^y = x \\ & \Rightarrow & e^{y\log(a)} = \e^{\log(x)} \\ & \Rightarrow & y\log(a) = \log(x) \\ & \Rightarrow & y = \frac{\log(x)}{\log(a)}. \end{eqnarray*} Somit gilt \[ \log_a(x) = \frac{\log(x)}{\log(a)}. \]Damit genügt es, beispielsweise bei der Nutzung einer Software-Bibliothek, eine Funktion für den natürlichen Logarithmus zu haben. Mit dieser Funktion können wir dann alle Logarithmen berechnen, wenn wir obige Formel benutzen.
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