Kontinuierliche Veränderung
Unsere Absicht ist es, mit dem Begriff der Stetigkeit auszudrücken, dass eine Funktion $f(x)$ sich kontinuierlich ändert, wenn wir das Argument $x$ variieren. Etwas genauer: Der Funktionswert $f(x)$ soll sich nur wenig ändern, wenn sich das Argument $x$ nur wenig ändert. Solch eine Funktion soll demnach keine sprunghafte Veränderung aufweisen, der Funktionsgraph von $f(x)$ darf dementsprechend keine Sprungstellen haben.
Aber was soll nun "wenig ändern" heißen. Der Begriff "wenig" ist vage und wir müssen daher unsere Auffasung einer geringen Änderung präzisieren. Es bietet sich an, hierfür Grenzwerte zu nutzen.
Um sich einer präzisen Definition der Stetigkeit zu nähern, schauen wir uns eine Funktion genauer an, die nach unserer Vorstellung nicht stetig sein soll.
Die Definition dieser Funktion lautet: \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x & \text{für } x \leq 1 \\ x + 1 & \text{für } x > 1. \end{array} \right. \] Die Funktion $f(x)$ hat also an der Stelle $x_0=1$ eine Sprungstelle.
Eine Funktion soll stetig heißen, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments $x$ zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswertes $f(x)$ führen. Dies ist bei der gegebenen Funktion offensichtlich nicht der Fall. Egal wie klein $\delta > 0$ auch ist, es gilt immer $f(1+\delta) - f(1) \geq 1$. Die Sprungstelle an der Stelle $x_0=1$ verhindert, die Differenz $|f(x_0+\delta) - f(x_0)|$ betraglich beliebig klein werden zu lassen.
Wir können den Begriff der Stetigkeit aber noch über eine andere Sichtweise definieren. Wenn eine Funktion keine Sprünge aufweist, dann muss wohl gelten, dass, wenn man sich einem Argument $x_0$ mit einer konvergenten Folge $(x_n)$ nähert, sich auch die Folge $(f(x_n))$ der Funktionswerte immer stärker dem Wert $(f(x_0))$ annähern muss. Wir können auch wieder leicht nachprüfen, dass dies für die obige Funktion, die ja nicht stetig sein soll, auch nicht der Fall ist. Für $x_0=1$ und $x_n=1+\frac{1}{n}$ gilt $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = 1 = x_0$, aber \[ \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} f\left(1+\frac{1}{n}\right) = \lim_{n\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{n}+1 = 2 \neq 1 = f(x_0). \]
Damit haben wir zwei mögliche Sichtweisen für die Stetigkeit und wir könnten jede dieser beiden für die Definition des Begriffs nutzen. Wir entscheiden uns zunächst für die zweite Sichtweise und werden die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle $x_0$ mithilfe eines Folgenkriteriums definieren. Die andere Sichtweise vergessen wir aber nicht. Vielmehr werden wir in einer späteren Blog-Folge ein Kriterium, das sogenannte $\epsilon$-$\delta$-Kriterium, formulieren und dann zeigen, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn sie dieses Kriterium erfüllt. Damit haben wir dann zwei äquivalente Konzepte für die Stetigkeit.
Definition der Stetigkeit
Definition
Es sei $D\subseteq \R$ und $f:D\rightarrow \R$.
Wir sagen, dass die Funktion $f$ stetig in $x_0$ ist, wenn für alle Folgen $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ gilt: \[ \lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x_0 \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n) = f(x_0). \] Die Funktion $f$ heißt stetig auf $D$ oder einfach nur stetig, wenn $f$ in jedem $x_0\in D$ stetig ist.
Wenn $f$ in $x_0$ nicht stetig ist, dann sagen wir auch, dass $f$ unstetig in $x_0$ ist.
Damit haben wir den Begriff der Stetigkeit mittels einer Allquantifizierung über einer Menge von konvergenten Folgen definiert. Dies kann den direkten Beweis der Stetigkeit unter Umständen sehr kompliziert werden lassen. Allerdings werden wir noch andere Methoden kennenlernen, um Stetigkeit nachzuweisen, wie bspw. das schon genannte $\epsilon$-$\delta$-Kriterium. Dafür können wir mit unserer Definition für Stetigkeit aber sehr leicht nachweisen, dass eine Funktion nicht stetig an einer Stelle $x_0$ ist. Hierzu müssen wir nur iregndeine Folge $(x_n)$ mit \[ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0 \text{ und } \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) \neq f(x_0) \] finden. Dies ist in der Regel nicht schwierig, wenn $f$ an der Stelle $x_0$ unstetig ist. Ein Beispiel hierfür haben wir ja schon oben gesehen.
Wenn $f$ in $x_0$ stetig ist, dann gilt gemäß der Definition der Stetigkeit für alle Folgen $(x_n)$ mit $\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x_0$: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = f(x_0) = f\left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n\right). \] Wenn wir uns nun den linken und den rechten Term dieser Gleichungskette anschauen, dann sehen wir, dass Grenzwertbildung und Funktionsanwendung vertauscht sind. Wenn eine Funktion stetig ist, dann dürfen wir also Grenzwertbildung und Funktionsanwendung vertauschen. Im Allgemeinen ist solch eine Vertauschung mit einem oder mehreren Grenzwerten nicht so ohne weiteres erlaubt. Wir werden uns mit der Vertauschung von Grenzwerten auch noch öfters beschäftigen und sehen, dass wir in der Regel strenge Bedingungen formulieren müssen, um eine Gleichheit bei Grenzwertvertauschung garantieren zu können.
Beispiele stetiger Funktionen
Wir schauen uns in einem Beispiel an, wie wir mittels der Definition für Stetigkeit nachweisen können, dass eine Funktion stetig ist. Wir beschränken uns hierzu zunächst auf sehr einfache Funktionen. Zum Nachweis der Stetigkeit nutzen wir Rechenregeln für konvergente Folgen.
Beispiel
-
Jede lineare Funktion $f(x) = ax+b$ mit, $a,b\in\R$ ist stetig auf $\R$.
Beweis: Sei $x_0 \in \R$ beliebig und es sei $(x_n)$ eine beliebige Folge mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) & = & \lim_{n\rightarrow\infty} ax_n + b\\ & = & a\cdot \left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n\right) + b \\ & = & ax_0 + b \\ & = & f(x_0). \end{eqnarray*}
-
Die Funktion $f(x)=x^2$ ist stetig auf $\R$.
Beweis: Sei $x_0 \in \R$ beliebig und es sei $(x_n)$ eine beliebige Folge mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) & = & \lim_{n\rightarrow\infty} x_n^2 \\ & = & \lim_{n\rightarrow\infty} x_n\cdot x_n \\ & = & \lim_{n\rightarrow\infty} x_n \cdot \lim_{n\rightarrow\infty} x_n \\ & = & x_0\cdot x_0 \\ & = & f(x_0). \end{eqnarray*}
-
Die Funktion $f(x)=|x|$ ist stetig auf $\R$.
Beweis: Sei $x_0 \in \R$ beliebig und es sei $(x_n)$ eine beliebige Folge mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) & = & \lim_{n\rightarrow\infty} |x_n| \\ & = & |x_0| \\ & = & f(x_0). \end{eqnarray*} Hierbei haben wir die bekannte Grenzwertregel \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} |a_n| = |a| \] für Folgen genutzt, siehe hier (Proposition 3).
Zum Abschluss dieser Blog-Folge zeigen wir noch, dass die Exponentialfunktion stetig ist. Für den Beweis dieser Aussage benötigen wir noch eine Abschätzung, die wir zuerst formulieren und beweisen.
Lemma
Für $|x| \leq 1$ gilt \[ |\exp(x) - 1| \leq 2|x|. \]Beweis
Es gilt zunächst \begin{eqnarray*} |\exp(x) - 1| & = & \left| \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} - 1 \right| \\ & = & \left| \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} \right| \\ & \leq & \sum_{n=1}^\infty \frac{|x|^n}{n!} \\ & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \\ & = & |x| \sum_{n=0}^\infty \frac{|x|^n}{(n+1)!}. \end{eqnarray*} Erläuterung: Für Zeile 3 nutzen wir die Dreiecksungleichung und die Homogenität des Betrags, anschließend führen wir für Zeile 4 eine Indexverschiebung durch und Klammern für Zeile 5 $|x|$ aus.
Jetzt nutzen wir aus, dass für alle $n\in\N_0$ die Ungleichung \[ (n+1)! \geq 2^n \] gilt. Eigentlich müssten wir diese Ungleichung auch wieder beweisen, worauf ich hier aber verzichte. Der Beweis ist aber ziemlich einfach, Du kannst ihn mit vollständiger Induktion selbst durchführen.
Mit dieser Ungleichung folgt nun \begin{eqnarray*} |\exp(x) - 1| & \leq & |x| \sum_{n=0}^\infty \frac{|x|^n}{(n+1)!} \\ & \leq & |x| \sum_{n=0}^\infty \frac{|x|^n}{2^n} \\ & = & |x| \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{|x|}{2} \right)^n \\ & = & |x| \frac{1}{1-\frac{|x|}{2}}. \end{eqnarray*} Dabei haben wir für die letzte Umformung ausgenutzt, dass \[ \frac{1}{1-\frac{|x|}{2}} \] eine geometrische Reihe ist, die wegen $|x| \leq 1$ auch stets konvergent ist.
Mit $|x| \leq 1$ folgt nun \begin{eqnarray*} |\exp(x) - 1| & \leq & |x| \frac{1}{1-\frac{|x|}{2}} \\ & \leq & |x| \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \\ & = & 2|x|. \end{eqnarray*} Damit ist das Lemma bewiesen.
Jetzt können wir die Stetigkeit der Exponentialfunktion beweisen.
Satz
Die reelle Exponentialfunktion $\exp: \R \rightarrow \R$ ist stetig.
Beweis
Es sei nun $x_0\in\R$ beliebig und $(x_n)$ sei eine beliebige konvergente Folge mit $x_0$ als Grenzwert. Dann ist die Folge $(x_n-x_0)$ eine Nullfolge. Insbesondere gilt damit, dass ein $n_0\in\N$ existiert, mit $|x_n - x_0| < 1$ für alle $n \geq n_0$.
Mit der Abschätzung aus dem Lemma ergibt sich für $n \geq n_0$: \[ 0 \leq |\exp(x_n-x_0) - 1| \leq 2\underbrace{|x_n-x_0|}_{\rightarrow 0} \] und daraus mit dem Schachtelungsprinzip \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \exp(x_n-x_0) = 1. \] Aus dem Additionstheorem der Exponentialfunktion folgt \[ \exp(x_n) = \exp(x_n - x_0 + x_0) = \underbrace{\exp(x_n-x_0)}_{\rightarrow 1}\cdot\exp(x_0) \] und somit \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \exp(x_n) = \exp(x_0). \] Also ist die Exponentialfunktion stetig.
Teilen und Drucken