Analysis-Blog: Folge 34
Peter Becker
veröffentlicht: 14 May 2021, zuletzt geändert: 27 May 2024 15:24
Schlüsselwörter: Quotientenkriterium, absolute Konvergenz, geometrische Reihe, Majorante
Aus dem Majorantenkriterium heraus kann man weitere spezialisierte Konvergenzkriterien entwickeln, deren Anwendung konkreter und damit üblicherweise etwas einfacher ist als das abstrakte Majorantenkriterium.
Die beiden wichtigsten dieser Kriterien sind das Quotienten- und das Wurzelkriterium. Diese Blog-Folge ist dem Quotientenkriterium gewidmet, eine spätere Blog-Folge wird sich mit dem Wurzelkriterium befassen. Beiden Kriterien ist gemein, dass geometrische Reihen als Majorante genutzt werden.
Es sei $(a_n)$ eine reelle oder komplexe Folge mit $a_n\neq 0$ für fast alle $n\in \mathbb{N}$. Weiterhin gebe es eine Zahl $\theta\in\mathbb{R}$ mit $0 < \theta < 1$, so dass für fast alle $n\in \mathbb{N}$ die Ungleichung \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq \theta \] erfüllt ist.
Dann konvergiert die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut.
Beachten Sie, dass die beiden Voraussetzungen $a_n \neq 0$ und $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \theta$ nicht für alle sondern nur für fast alle $n\in\mathbb{N}$ erfüllt sein müssen, es also endlich viele Ausnahmen geben kann. Wir wissen, dass dies äquivalent zu der Aussage ist, dass ein $n_0\in\mathbb{N}$ existiert, so dass diese beiden Bedingungen für alle $n\geq n_0$ gelten.
Bei der Anwendung des Quotientenkriteriums ist es ganz wichtig, dass man \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq \theta < 1 \] zeigt. Ohne den Parameter $\theta < 1$, also alleine die Bedingung \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, \] ist nicht ausreichend. Dies sieht man an der harmonischen Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ als einfachem Beispiel. Obwohl sich für die harmonische Reihe \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \frac{n}{n+1} < 1, \] ergibt, ist sie divergent. Wegen \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{n+1} = 1 \] können wir hier nämlich kein $\theta < 1$ mit \[ \frac{n}{n+1} \leq \theta < 1 \] für fast alle $n$ finden.
Die Beweisidee besteht darin, dass wir eine geometrische Reihe über $\theta^n$ als Majorante nutzen.
Nach Vorausetzung existiert ein $n_0\in\mathbb{N}$, so dass $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leq\theta$ für alle $n\geq n_0$ gilt. Wir formen die Ungleichung etwas um: \begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq\theta & \Leftrightarrow & \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \leq \theta \\ & \Leftrightarrow & |a_{n+1}| \leq \theta |a_n|. \end{eqnarray*} Damit folgt für alle $n\geq n_0$ \[ |a_n|\leq\theta|a_{n-1}|\leq\theta^2|a_{n-2}|\leq\cdots\leq\theta^{n-n_0}|a_{n_0}|. \] Es folgt für $n\geq n_0$: \begin{eqnarray*} S_n & := & \sum_{k=1}^n |a_k| = |a_1| + \cdots + |a_{n_0-1}| + \sum_{k=n_0}^n |a_k|\\ & \leq & |a_1| + \cdots + |a_{n_0-1}| + |a_{n_0}|\sum_{k=n_0}^n \theta^{k-n_0} \\ & = & |a_1| + \cdots + |a_{n_0-1}| + |a_{n_0}|\sum_{k=0}^{n-n_0} \theta^k. \end{eqnarray*} Nun ist die Reihe $\sum_{k=0}^\infty \theta^k$ als geometrische Reihe mit $0 < \theta < 1$ absolut konvergent. Damit können wir durch \[ b_k := \left\{ \begin{array}{ll} |a_k| & \textnormal{für } k < n_0\\ |a_{n_0}|\theta^{k-n_0} & \text{für } k\geq n_0 \end{array} \right. \] eine absolut konvergente Majorante für $\sum_{n=1}^\infty a_n$ angeben.
Also konvergiert $\sum_{n=1}^\infty a_n$ nach dem Majorantenkriterium absolut.
Im Beweis sieht man deutlich, warum die Bedingung \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, \] nicht ausreichend ist. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe benötigen wir ein $\theta < 1$, dessen Existenz allein durch die obige Bedingung nicht impliziert wird.
Wir untersuchen die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} \] mit dem Quotientenkriterium auf (absolute) Konvergenz. Es ist \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n^2} = \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2. \] Für $n\geq 3$ gilt dann \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{8}{9} < 1. \] Mit $n_0 = 3$ und $\theta=\frac{8}{9}$ ist das Quotientenkriterium erfüllt. Also ist die Reihe absolut konvergent.
Das Quotientenkriterium ist ein hinreichendes Kriterium für absolute Konvergenz, aber kein notwendiges. Dementsprechend gibt es Reihen, die das Konvergenzkriterium nicht erfüllen, obwohl sie absolut konvergent sind. Ein Beispiel hierfür ist die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}, \] von der wissen, dass Sie absolut konvergent ist. Wenn wir das Quotientenkriterium anwenden, erhalten wir aber \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left| \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}} \right| = \frac{n^2}{n^2 + 2n + 1} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 1. \] Wir können in diesem Fall also kein $\theta$ mit \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \theta < 1 \] finden.
Sollte allerdings \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1 \] gelten, können wir auf Divergenz der Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ schließen. Analog zum Beweis des Quotientenkriteriums kann man in diesem Fall nämlich eine nicht konvergente geometrische Reihe über $\theta^n$ mit $\theta > 1$ als Minorante konstruieren. Mit dem Minorantenkriterium folgt dann, dass die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent sein muss.
Der unten stehende Folgerung fasst die verschiedenen Situationen, die sich aus dem Quotientenkriterium ergeben, zusammen.
Existiert der Grenzwert \[ \theta := \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, \] dann gilt: