Neben dem Quotientenkriterium, das wir im vorigen Blog behandelt haben, gibt es ein weiteres wichtiges Kriterium für die absolute Konvergenz von Reihen: das Wurzelkriterium.
Neben dem Quotientenkriterium, das wir in der vorigen Blog-Folge behandelt haben, gibt es ein weiteres wichtiges Kriterium für die absolute Konvergenz von Reihen: das Wurzelkriterium.
Satz (Wurzelkriterium)
Es sei $(a_n)$ eine reelle oder komplexe Folge. Weiterhin gebe es eine Zahl $\theta\in\mathbb{R}$ mit $0 < \theta < 1$, so dass für fast alle $n\in\mathbb{N}$ die Ungleichung \[ \sqrt[n]{|a_n|} \leq \theta \] erfüllt ist.
Dann konvergiert die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut.
Analog zum Quotientenkriterium ist es von entscheidender Bedeutung, dass \[ \sqrt[n]{|a_n|} \leq \theta < 1 \] für fast alle $n$ gilt und nicht nur \[ \sqrt[n]{|a_n|} < 1. \] Dies hängt wiederum damit zusammen, dass, wenn die Bedingung des Wurzelkriteriums erfüllt ist, wir eine konvergente geometrische Reihe als Majorante konstruieren können. Gilt dagegen nur $\sqrt[n]{|a_n|} < 1$ für fast alle $n$, so ist die Existenz solch einer konvergenten Majorante nicht gesichert.
Beweis des Wurzelkriteriums
Der Beweis ist recht einfach. Nach Voraussetzung existiert ein $n_0\in\mathbb{N}$, so dass die Bedingung $\sqrt[n]{|a_n|}\leq\theta$ für alle $n\geq n_0$ gilt. Diese Ungleichung ist aber äquivalent zu \[ |a_n|\leq\theta^n. \] Also gilt für die $n$-te Partialsumme $S_n$: \[ S_n := \sum_{k=1}^n |a_k| \leq |a_1| + \cdots + |a_{n_0-1}| + \sum_{k=n_0}^n \theta^k. \] Die Summe rechts wird für $n\rightarrow\infty$ zu einer konvergenten geometrischen Reihe. Wir können damit durch \[ b_k := \left\{ \begin{array}{ll} |a_k| & \text{für } k < n_0 \\ \theta^k & \text{für } k \geq n_0 \end{array} \right. \] eine absolut konvergente Majorante für $\sum_{n=1}^\infty a_n$ angeben.
Beispiel
Wir untersuchen die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{2n+3}{5n+7} \right)^n \] mit dem Wurzelkriterium auf (absolute) Konvergenz. Es ist \[ \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2n+3}{5n+7} \right)^n \right|} = \sqrt[n]{ \left| \frac{2n+3}{5n+7} \right|^n} = \frac{2n+3}{5n+7} \leq \frac{2n+3}{4n+6} = \frac{1}{2} < 1. \] Mit $n_0=1$ und $\theta=\frac{1}{2}$ ist das Wurzelkriterium erfüllt. Also ist die Reihe absolut konvergent.
Wie das Quotientenkriterium kann auch das Wurzelkriterium für den Nachweis der Divergenz einer Reihe genutzr werden. Gilt \[ \sqrt[n]{|a_n|} \geq \theta > 1 \] bzw. \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1, \] so können wir eine divergente geometrische Reihe über $\theta^n$ mit $\theta > 1$ als Minorante konstruieren, woraus sich ergibt, dass $\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent sein muss. Die unten stehende Folgerung fasst die verschiedenen Situationen, die sich aus dem Wurzelkriterium ergeben, zusammen.
Folgerung
Existiert der Grenzwert \[ \theta := \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \] dann gilt:
- Für $\theta < 1$ ist die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent.
- Für $\theta > 1$ ist die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent.
- Für $\theta=1$ ist keine Aussage über Konvergenz möglich.
Beispiel
- Wir untersuchen die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2n-5}{3n+17}\right)^{2n} \] auf Konvergenz. Es ist \[ \sqrt[n]{\left|\left(\frac{2n-5}{3n+17}\right)^{2n}\right|} = \left| \frac{2n-5}{3n+17} \right|^2 \leq \left(\frac{2n+5}{3n+17}\right)^2 \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} < 1. \] Also ist die Reihe $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2n-5}{3n+17}\right)^{2n}$ absolut konvergent.
- Wir untersuchen die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4n+\sqrt{n}}{3n+2} \right)^n \] auf Konvergenz. Es ist \[ \sqrt[n]{\left| \left( \frac{4n+\sqrt{n}}{3n+2} \right)^n \right|} = \left| \frac{4n+\sqrt{n}}{3n+2} \right| = \frac{4n+\sqrt{n}}{3n+2} \geq \frac{4n}{3n+2} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \frac{4}{3} > 1. \] Also ist die Reihe $\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4n+\sqrt{n}}{3n+2} \right)^n$ divergent.
Das Wurzelkriterium ist auch wieder nur ein hinreichendes Kriterium für die (absolute) Konvergenz einer Reihe, kein notwendiges. Diesen Aspekt betrachten wir gleich am Beispiel der Reihen $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}$ für $k\geq 2$. Bevor wir diese Reihen mit dem Wurzelkriterium untersuchen können, benötigen wir noch eine Hilfsaussage.
Lemma
Es gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1. \]
Beweis
Setze $b_n:= \sqrt[n]{n}-1$. Wir zeigen, dass $(b_n)$ eine Nullfolge ist. Es gilt \[ n = \left(\sqrt[n]{n}\right)^n = (1+b_n)^n \geq 1 + {n \choose 2} b_n^2. \] Das "$\geq$" ergibt sich durch die binomische Formel und Weglassen aller Summanden, ausgenommen für $k=0$ und $k=2$. Es folgt \[ b_n^2 \leq \frac{n-1}{{n \choose 2}} = \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0. \] Also ist $(b_n^2)$ und somit auch $(b_n) = \left(\sqrt[n]{n}-1\right)$ eine Nullfolge. Daraus folgt $\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1$.
Dieses Lemma hilft uns bei der Anwendung des Wurzelkriteriums, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel
Wir untersuchen die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n} \] mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz. Es ist \[ \sqrt[n]{ \left| \frac{n}{2^n} \right|} = \sqrt[n]{ \frac{n}{2^n} } = \frac{\sqrt[n]{n}}{2} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2} < 1. \] Also ist die Reihe $\sum_{n=0}^\infty \frac{k}{2^k}$ absolut konvergent.
Zum Abschluss dieser Blog-Folge untersuchen wir die absolut konvergente Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}$. Wegen obigem Lemma gilt \[ \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \longrightarrow 1. \] Für festes $k\geq 2$ folgt damit nach Grenzwertregeln \[ \sqrt[n]{\frac{1}{n^k}} = \left( \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \right)^k \longrightarrow 1. \] Wir sehen, dass auch das Wurzelkriterium nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges Kriterium für absolute Konvergenz ist.
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