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Analysis-Blog: Folge 36

Übungen zur Konvergenz von Reihen

Die wichtigsten Techniken zu Reihen trainieren

Peter Becker

veröffentlicht: 17 May 2021, zuletzt geändert: 27 May 2024 15:34

Schlüsselwörter: Leibniz-Kriterium, Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, geometrische Reihe, Teleskopreihe

In den folgenden Übungen sollen Sie die Konvergenz von Reihen untersuchen oder Grenzwerte ermitteln.

Übung 1

Ermitteln Sie die Grenzwerte der folgenden konvergenten Reihen.

  1. $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{3\cdot 2^n + 2\cdot 3^n}{4^n}$
  2. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$

  1. Die Reihe ist eine Linearkombination geometrischer Reihen. \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{3\cdot 2^n + 2\cdot 3^n}{4^n} & = & 3\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{4^n} + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{4^n} \\ & = & 3\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{4}\right)^n + 2\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{3}{4} \right)^n \\ & = & 3\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}} + 2\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{4}} \\ & = & 3\cdot 2 + 2\cdot 4 = 14. \end{eqnarray*}
  2. Hier liegt eine Teleskopreihe vor. Es gilt: \[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}. \] Damit folgt: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right). \] Die Partialsumme $S_n$ ist \[ S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}. \] Wegen $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n+1} = 0$ ergibt sich \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = 1. \]

Übung 2

Sind die folgenden Reihen konvergent oder divergent? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

  1. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-4n+6}{n^4+3n^3 + 2n^2 + 1}$
  2. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left( (-1)^n\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \right)$.
  3. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} + (-1)^n\frac{1}{n^2} \right)$.
  4. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{5^n}{n!}$

  1. Wir nutzen das Majorantenkriterium. Der Zähler im Term unter der Summe ist niemals negativ, denn $n^2-4n + 6 = (n-2)^2 + 2 > 0$. Ebenso ist der Nenner niemals negativ für $n\in\mathbb{N}$. Wir schätzen ab: \[ 0 \leq \frac{n^2-4n+6}{n^4+3n^3 + 2n^2 + 1} \leq \frac{n^2+6}{n^4} = \frac{1}{n^2} + \frac{6}{n^4}. \] Die Reihen $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ und $\sum_{n=1}^\infty \frac{6}{n^4}$ sind absolut konvergent, also auch deren Summe. Nach dem Majorantenkriterium ist damit auch die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-4n+6}{n^4+3n^3 + 2n^2 + 1} \] (absolut) konvergent.

  2. Die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}$ ist nach dem Leibnizkriterium konvergent (alternierende harmonische Reihe).

    Die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ ist konvergent, siehe den Blog über Teleskopreihen.

    Nach Grenzwertregeln ist dann auch die Summe \[ \sum_{n=1}^\infty \left( (-1)^n\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \right) \] der beiden Reihen konvergent.

  3. Die Reihe ist divergent. Begründung: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2}$ ist nach dem Leibnizkriterium konvergent und damit beschränkt.

    $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ ist die harmonische Reihe, die divergent ist (weil unbeschränkt).

    Also ist auch die Summe der beiden Reihen unbeschränkt und damit divergent.

  4. Die Reihe ist (absolut) konvergent. Zum Nachweis nutzen wir das Quotientenkriterium. \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{5^n}{n!}} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^n} = \frac{5}{n+1} \leq \frac{5}{6} < 1 \] für alle $n\geq 5$.

Übung 3

Beweisen Sie die folgenden Aussagen oder widerlegen Sie diese mit einem Gegenbeispiel.

  1. Wenn die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergent und die Folge $(b_n)$ beschränkt ist, dann ist die Reihe $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n a_n$ konvergent.
  2. Wenn die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent und die Folge $(b_n)$ beschränkt ist, dann ist die Reihe $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n a_n$ absolut konvergent.
  3. Wenn die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent ist, dann ist auch die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ absolut konvergent.
  4. Wenn die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergent ist, dann ist auch die Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ konvergent.

  1. Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: Die alternierende harmonische Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty a_n := \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n} \] ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent.

    Die Folge $(b_n)$ mit $b_n:=(-1)^n$ ist beschränkt. Aber die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty b_n a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \] ist die harmonische Reihe und damit divergent.

  2. Die Aussage ist wahr.

    $(b_n)$ beschränkt heißt, es existiert $K > 0$ mit $|b_n|\leq K$ für alle $n\in\mathbb{N}$. \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \text{ ist absolut konvergent } & \Rightarrow & S_n:=\sum_{k=1}^n |a_k| \text{ bildet eine Cauchy-Folge} \\ & \Rightarrow & \forall \epsilon > 0\, \exists n_0\in\mathbb{N}\,\forall m\geq n \geq n_0: |S_m-S_n| < \epsilon \end{eqnarray*} Wir zeigen jetzt, dass auch $\displaystyle T_n := \sum_{k=1}^n |b_k a_k|$ eine Cauchy-Folge ist. Es sei $\epsilon > 0$ beliebig. Wähle für $\displaystyle\epsilon':= \frac{\epsilon}{K}$ das $n_0$ aus der Voraussetzung, dass $S_n$ Cauchy-Folge ist. Dann gilt mit diesem $n_0$ und für alle $m\geq n\geq n_0$: \begin{eqnarray*} |T_m-T_n| & = & \sum_{k=n+1}^m |b_k a_k| \\ & = & \sum_{k=n+1}^m |b_k| |a_k| \\ & \leq & K \sum_{k=n+1}^m |a_k| \\ & = & K |S_m-S_n| \\ & < & K \epsilon' \\ & = & \epsilon. \end{eqnarray*}

  3. Die Aussage ist wahr. Wenn $\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent ist, muss die Folge $(a_n)$ und damit auch die Folge $(|a_n|)$ eine Nullfolge sein. Also existiert ein $n_0$ mit $|a_n| < 1$ für alle $n\geq n_0$.

    Aus $|a_n| < 1$ folgt aber $|a_n^2| = |a_n|^2 \leq |a_n|$. Ab $n_0$ ist damit $|a_n|$ eine Majorante für $|a_n^2|$. Somit ist auch die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ absolut konvergent.

  4. Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: Die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty a_n := \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \] ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent. Aber \[ \sum_{n=1}^\infty a_n^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \] ist die harmonische Reihe und damit divergent.
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