Kapitel 6 liefert Dir eine Einführung in die Integralrechnung. Die Integralrechnung hat ihre Wurzeln in der Berechnung von Flächen mit krummen Begrenzungen. Dementsprechend kann man mit Integralen solche Flächen berechnen. Diese erste Blog-Folge liefert die Grundlagen für die Definition des Integrals.
Treppenfunktion
Der Integralbegriff, den wir in diesem Kapitel einführen und nutzen werden, ist das Integral für Regelfunktionen. Dieser Integralbegriff basiert auf Treppenfunktionen, die wir dementsprechend als erstes definieren werden. Treppenfunktionen sind Funktionen, die stückweise konstant sind.
Definition
Es seien $a,b \in\R$ mit $a < b$, $m\in\N$ und $x_0, x_1,\ldots,x_m \in [a,b]$ mit \[ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = b. \]
Dann heißt eine Funktion $T: [a,b] \rightarrow \R$ Treppenfunktion, wenn $T$ konstant auf jedem Intervall $(x_{i-1},x_i)$ für $i=1,\ldots,m$ ist.
Beachte, dass die Werte an den Zwischenpunkten $x_0,\ldots,x_m$ beliebig sein können. Sie müssen weder mit dem Funktionswert des links von einem Zwischenpunkt $x_i$ liegenden Intervalls übereinstimmen, noch mit dem Intervall, das rechts von $x_i$ liegt. Wesentlich für eine Treppenfunktion ist, dass es immer nur endlich viele Zwischenpunkte $x_0,\ldots,x_m$ gibt und das die Funktion $T(x)$ in den offenen Intervallen $(x_{i-1},x_i)$ stets konstant ist. Abgesehen von den Zwischenpunkten ist somit eine Treppenfunktion eine Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ definiert und dort abschnitts- bzw. stückweise konstant ist.
Beispiel 1
Die Funktion $T:[0,10]\rightarrow \R$ mit \[ T(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 5 & \text{für } 0 \leq x < 2 \\ 3 & \text{für } 2 \leq x < 5 \\ -2 & \text{für } 5 \leq x < 9 \\ 1 & \text{für } 9 \leq x \leq 10 \end{array} \right. \] ist eine Treppenfunktion. Nachfolgend siehst Du den Funktionsgraphen dieser Treppenfunktion.
Das nächste Beispiel zeigt Dir eine Treppenfunktion, bei der die Funktionswerte an den Zwischenpunkten von denen der benachbarten Intervalle abweichen. Wie schon erwähnt, ist dies für Treppenfunktionen erlaubt.
Beispiel 2
Die Funktion $S:[0,10] \rightarrow \R$ mit \[ S(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \text{für } x = 0 \\ 2 & \text{für } 0 < x < 5 \\ 3 & \text{für } x = 5 \\ 4 & \text{für } 5 < x < 10 \\ 5 & \text{für } x = 10 \end{array} \right. \] ist auch eine Treppenfunktion. Hier der Funktionsgraph für diese Treppenfunktion.
Treppenfunktionsintegral
Jetzt können wir schon unseren ersten, ganz einfachen Integralbegriff einführen, das Integral für Treppenfunktionen.
Definition
Es sei $T:[a,b] \rightarrow \R$ eine Treppenfunktion und es gelte $T(x) = a_i$ für $x \in (x_{i-1},x_i), i=1,\ldots,m$.
Dann ist \[ \int_a^b T(x)\,dx := \sum_{i=1}^m a_i \cdot (x_i - x_{i-1}) \] das (bestimmte) Integral der Treppenfunktion $T$ über dem Intervall $[a,b]$.
Beachte, dass die Funktionswerte $T(x_i)$ an den Zwischenpunkten $x_i$ für den Wert des Integrals keine Rolle spielen. Relevant sind nur die Funktionswerte in den Intervallen $(x_{i-1},x_i)$ und die Breite dieser Intervalle.
Das nachfolgende Beispiel liefert eine Interpretation des Treppenfunktionsintegrals. Der Wert des Integrals entspricht der Gesamtfläche der Säulen, die von der Treppenfunktion gebildet werden.
Beispiel 3
Es sei $T:[0,10] \rightarrow \R$ mit \[ T(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 3 & \text{für } 0 \leq x < 4 \\ 1 & \text{für } 4 \leq x < 6 \\ 4 & \text{für } 6 \leq x \leq 10 \end{array} \right. \] Dann gilt \begin{eqnarray*} \int_0^{10} T(x)\,dx & = & 3\cdot (4-0) + 1\cdot (6-4) + 4 \cdot (10-6) \\ & = & 3\cdot 4 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 4 \\ & = & 12 + 2 + 16 \\ & = & 30. \end{eqnarray*}
Der Flächeninhalt der gesamten hellblauen Fläche entspricht dem Treppenfunktionsintegral und ist somit gleich $30$.
In der Schreibweise des Integrals spielt es natürlich keine Rolle, wie wir unsere Variable nennen. Für eine Treppenfunktion $T(x)$ bezeichnen \[ \int_a^b T(x)\,dx, \quad \int_a^b T(t)\,dt,\quad \int_a^b T(\lambda)\,d\lambda \] immer das gleiche Integral. Sollte die Funktion $T(x)$ noch von Parametern abhängen, macht das $dx$ (bzw. $dt$ oder $d\lambda$) deutlich, dass wir über die Variable $x$ integrieren.
Beachte, dass gemäß der Definition des Treppenfunktionsintegrals Flächen unterhalb der $x$-Achse negativ gezählt werden. Dies ist praktisch für Rechnungen und Eigenschaften des Integrals, wie wir noch sehen werden. Wenn eine Treppenfunktion also Abschnitte hat, deren Funktionswerte negativ sind, dann liefert das Integral nicht den Gesamtflächeninhalt aller Säulen. Um diesen zu ermitteln, müssten wir stattdessen \[ \int_a^b |T(x)|\,dx \] berechnen. Dies ist aber leicht möglich. Insbesondere sollte klar sein, dass auch $|T(x)|$ eine Treppenfunktion ist, wenn $T(x)$ eine Treppenfunktion ist.
Beispiel 4
Für die Treppenfunktion $T(x)$ aus Beispiel 1 ergibt sich: \begin{eqnarray*} \int_0^{10} T(x)\,dx & = & 5\cdot (2-0) + 3\cdot (5-2) + (-2)\cdot(9-5) + 1\cdot(10-9) \\ & = & 5\cdot 2 + 3\cdot 3 - 2\cdot 4 + 1\cdot 1 \\ & = & 10 + 9 - 8 + 1 \\ & = & 12. \end{eqnarray*} Dabei geht das Intervall $[5,9]$ negativ in die Berechung ein (mit Wert $-8$), weil der Funktionswert dort negativ ist.Das folgende Beispiel betrachtet zwei unterschiedliche Formulierungen mit einer unterschiedlichen Anzahl an Zwischenpunkten für die selbe Treppenfunktion $T(x)$.
Beispiel 4
Es sei einerseits \[ T_1(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 5 & \text{für } 0 \leq x < 1 \\ -3 & \text{für } 1 \leq x \leq 2 \end{array} \right. \] und andererseits \[ T_2(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 5 & \text{für } 0 \leq x < \frac{1}{2} \\ 5 & \text{für } \frac{1}{2} \leq x < 1 \\ -3 & \text{für } 1 \leq x \leq 2 \end{array} \right. \] Dann gilt $T_1(x) = T_2(x)$ für alle $x\in[0,2]$, die beiden Funktionen sind also identisch.
Andererseits müssen wir, da die beiden Formulierungen eine unterschiedliche Anzahl an Zwischenpunkten haben, das Treppenfunktionsintegral auf unterschiedliche Weise bilden. Glücklicherweise ergibt sich hier der gleiche Wert: \[ \int_0^2 T_1(x)\,dx = 5\cdot (1-0) + (-3)\cdot(2-1) = 5 - 3 = 2 \] und \begin{eqnarray*} \int_0^2 T_2(x)\,dx & = & 5\cdot \left(\frac{1}{2} - 0\right) + 5\cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) + (-3)\cdot(2-1) \\ & = & \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - 3 = 2. \end{eqnarray*}
Wenn wir zu einer gegebenen Treppenfunktion weitere Zwischenpunkte hinzunehmen, wie wir dies in Beispiel 4 getan haben, dann nennen wir dies Verfeinerung. Dementsprechend ist $T_2$ aus Beispiel 4 eine Verfeinerung von $T_1$.
In Beispiel 4 sind das Integral für die Funktion und deren Verfeinerung identisch. Wir müssen aber die Frage stellen, ob dies nur zufällig so ist oder ob eine Verfeinerung tatsächlich keinen Einfluss auf den Wert des Integrals hat. Das folgende Lemma liefert die Antwort auf diese Frage.
Lemma
Es sei $T:[a,b] \rightarrow \R$ eine Treppenfunktion.
Dann ist das Integral \[ \int_a^b T(x)\,dx \] unabhängig von der Wahl der Zwischenpunkte $x_i$ und somit wohldefiniert.
Die Formulierung "unabhängig von der Wahl der Zwischenpunkte" bedeutet, dass es keine Rolle spielt, wie $T(x)$ mittels Zwischenpunkten formuliert ist. Es wird sich immer der gleiche Wert für das Treppenfunktionsintegral ergeben. Somit rechtfertig eigentlich erst dieses Lemma die Notation $\int_a^b T(x)\,dx$, denn sie enthält ja keinen Bezug auf die Zwischenpunkte.
Beweis
Wenn wir die Darstellung von $T(x)$ um einen Zwischenpunkt $x'$ zwischen $x_{i-1}$ und $x_i$ verfeinern, wird in der Summe \[ \sum_{i=1}^m a_i(x_i - x_{i-1}) \] für das Treppenfunktionsintegral der Summand $a_i (x_i - x_{i-1})$ durch \[ a_i (x_i - x') + a_i(x'-x_{i-1}) \] ersetzt. Wegen \[ x_i - x_{i-1} = (x_i - x') + (x' - x_{i-1}) \] bleibt damit die Summe für das Treppenfunktionsintegral unverändert.
Da wir diesen Prozess wiederholen können, ändert sich die Summe auch dann nicht, wenn wir mit mehreren Zwischenpunkten statt nur einem Zwischenpunkt verfeinern.
Ist nun die Funktion einmal mittels der Zwischenpunkte $x_0,\ldots,x_m$ und ein weiteres mal mittels der Zwischenpunkte $y_0,\ldots,y_k$ gegeben, so bilden wir die gemeinsame Verfeinerung \[ \{x_0,\ldots,x_m\} \cup \{y_0,\ldots,y_k\}. \] Gemäß obiger Argumentation ist das Integral für die gemeinsame Verfeinerung sowohl identisch mit der Summe für die $x$-Zwischenpunkte als auch für die die mit den $y$-Zwischenpunkten. Also sind alle diese Summen identisch.
Eigenschaften des Integrals für Treppenfunktionen
Nachdem wir nun das Integral für Treppenfunktionen definiert haben, leiten wir noch einige Eigenschaften für dieses Integral her, die wir später benötigen werden.
Als erste Eigenschaft zeigen wir, dass eine Linearkombination von zwei Treppenfunktionen wieder eine Treppenfunktion ist.
Proposition 1
Es seien $T:[a,b]\rightarrow \R$ und $S:[a,b]\rightarrow \R$ Treppenfunktionen und $\alpha\in\R$.
Dann sind auch $\alpha T$ und $T+S$ Treppenfunktionen auf $[a,b]$.
Beweis
Ist $T(x) = a_i$ für $x\in(x_{i-1},x_i)$, dann ist $\alpha T(x) = \alpha a_i$ für $x\in(x_{i-1},x_i)$. Also ist $\alpha T$ eine Treppenfunktion.
Es seien $x_0,\ldots,x_m$ die Zwischenpunkte von $T$ und $y_0,\ldots,y_k$ die Zwischenpunkte von $S$. Dann bilden wir für beide Funktionen eine Verfeinerung mit den Zwischenpunkten \[ \{z_0,\ldots,z_l\} = \{x_0,\ldots,x_m\} \cup \{y_0,\ldots,y_k\}. \]
Gilt jetzt $T(x) = a_i$ und $S(x) = b_i$ für $x\in(z_{i-1},z_i)$, dann ist $T(x) + S(x) = a_i + b_i$ für $x \in (z_{i-1},z_i)$. Also ist $T + S$ eine Treppenfunktion.
Die folgende Proposition zeigt, dass das Treppenfuntkionsintegral linear, beschränkt und monoton ist.
Proposition 2
Sei ${\cal T}[a,b]$ die Menge der Treppenfunktionen auf dem Intervall $[a,b]$.
Dann ist die Abbildung \begin{eqnarray*} \int_a^b & : & {\cal T}[a,b] \rightarrow \R \\ & & T \mapsto \int_a^b T(x)\,dx \end{eqnarray*}
- linear, d. h. für alle $T,S\in{\cal T}[a,b]$ gilt \begin{eqnarray*} \int_a^b \alpha T(x)\,dx & = & \alpha\int_a^b T(x)\,dx\quad\textnormal{und} \\[3mm] \int_a^b T(x) + S(x)\,dx & = & \int_a^b T(x)\,dx + \int_a^b S(x)\,dx, \end{eqnarray*}
- beschränkt, d. h. für alle $T\in{\cal T}[a,b]$ gilt \[ \left|\int_a^b T(x)\,dx \right| \leq \sup_{x\in[a,b]}|T(x)|\cdot(b-a) \]
- monoton, d. h. für alle $T,S\in{\cal T}[a,b]$ gilt \[ T(x)\leq S(x) \textnormal{ für alle } x\in[a,b]\quad\Longrightarrow\quad \int_a^b T(x)\,dx \leq \int_a^b S(x)\,dx. \]
Beweis
Beweis zu (i): \[ \int_a^b \alpha T(x)\,dx = \sum_{i=1}^m \alpha a_i(x_i-x_{i-1}) = \alpha \sum_{i=1}^m a_i(x_i-x_{i-1}) = \alpha \int_a^b T(x)\,dx \] Es sei $x_0,\ldots,x_m$ die gemeinsame Verfeinerung aus dem Beweis von Proposition 1. \begin{eqnarray*} \int_a^b T(x) + S(x)\,dx & = & \sum_{i=1}^m (a_i+b_i)(x_i-x_{i-1}) \\ & = & \sum_{i=1}^m a_i(x_i-x_{i-1}) + \sum_{i=1}^m b_i(x_i-x_{i-1}) \\ & = & \int_a^b T(x)\,dx + \int_a^b S(x)\,dx. \end{eqnarray*}
Beweis zu (iii): Seien die $x_i, a_i, b_i$ wie im Beweis für $+$ in (i). Aus $T\leq S$ folgt $a_i\leq b_i$ für jedes $i$. Wegen $x_i-x_{i-1}\geq 0$ gilt dann: \[ \int_a^b T(x)\,dx = \sum_{i=1}^m a_i(x_i-x_{i-1}) \leq \sum_{i=1}^m b_i(x_i-x_{i-1}) = \int_a^b S(x)\,dx. \]
Beweis zu (ii): Sei $M=\sup_{x\in[a,b]} |T(x)|$ sowie $S_-(x)=-M$ und $S_+(x)=M$ konstante Funktionen auf $[a,b]$. Mit dieser Definition gilt dann \[ S_-(x) \leq T(x) \leq S_+(x) \] für alle $x\in[a,b]$.
Mit (iii) folgt \[ \int_a^b S_-(x)\,dx \leq \int_a^b T(x)\,dx \leq \int_a^b S_+(x)\,dx. \] Weiterhin gilt \[ \int_a^b S_-(x)\,dx = -M(b-a)\quad \text{und} \quad \int_a^b S_+(x)\,dx=M(b-a). \] Also gilt \[ -M(b-a) \leq \int_a^b T(x)\,dx \leq M(b-a) \] und somit \[ \left| \int_a^b T(x)\,dx\right| \leq M(b-a). \]
Mit den Inhalten aus dieser Blogfolge sind wir nun in der Lage, das Integral für Treppenfunktionen zu bestimmen. Leider sind die Funktion, die uns interessieren, z. B. Sinus-, Cosinus- oder Exponentialfunktion, keine Treppenfunktionen. Auch begegnen wir in der Praxis selten Treppenfunktionen. Wir benötigen also noch einen Trick, um aus den Treppenfunktionsintegralen Integrale für solche elementaren Funktionen zu machen. Wie das geht, zeige ich Dir in der nächsten Blog-Folge.
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