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Analysis-Blog: Folge 78

Übungen zu uneigentlichen Integralen


Peter Becker

veröffentlicht: 05 Mar 2025, zuletzt geändert: 05 Mar 2025 17:22

Schlüsselwörter: Integral, uneigentliches Integral, Grenzwert

Übung 1

Berechne: \[ \int_0^\infty x^2\,\e^{-\frac{x}{2}}\,dx \]

Wir benötigen zunächst eine Stammfunktion. Diese können wir mit partieller Integration bestimmen. \begin{eqnarray*} f'(x) = \e^{-\frac{x}{2}} & \Rightarrow & f(x) = -2\e^{-\frac{x}{2}} \\ g(x) = x^2 & \Rightarrow & g'(x) = 2x \end{eqnarray*} Damit erhalten wir: \[ \int x^2\,\e^{-\frac{x}{2}}\,dx = -2x^2\e^{-\frac{x}{2}} + 4 \int x \e^{-\frac{x}{2}}\,dx. \] Wir integrieren das Restintegral wieder partiell: \begin{eqnarray*} f'(x) \e^{-\frac{x}{2}} & \Rightarrow & f(x) = -2\e^{-\frac{x}{2}} \\ g(x) = x & \Rightarrow & g'(x) = 1 \end{eqnarray*} Damit erhalten wir: \begin{eqnarray*} \int x^2\,\e^{-\frac{x}{2}}\,dx & = & -2x^2\e^{-\frac{x}{2}} + 4 \int x \e^{-\frac{x}{2}}\,dx \\[2mm] & = & -2x^2\e^{-\frac{x}{2}} + 4\left( -2x\e^{-\frac{x}{2}} + 2 \int \e^{-\frac{x}{2}}\,dx \right) \\[2mm] & = & -2x^2\e^{-\frac{x}{2}} + 4 \left( -2x\e^{-\frac{x}{2}} -4 \e^{-\frac{x}{2}} \right) \\[2mm] & = & (-2x^2 - 8x -16) \e^{-\frac{x}{2}} + c. \end{eqnarray*}

Damit können wir nun das uneigentliche Integral berechnen. \begin{eqnarray*} \int_0^\infty x^2\,\e^{-\frac{x}{2}}\,dx & = & \lim_{\beta\rightarrow\infty} \int_0^\beta x^2\,\e^{-\frac{x}{2}}\,dx \\[2mm] & = & \lim_{\beta\rightarrow\infty} \left[ (-2x^2 - 8x -16) \e^{-\frac{x}{2}} \right]_{x=0}^{x=\beta} \\[2mm] & = & \lim_{\beta\rightarrow\infty} \left( (-2\beta^2 - 8\beta -16)\e^{-\frac{\beta}{2}} + 16 \right) \\[2mm] & = & 16 - \lim_{\beta\rightarrow\infty} \frac{2\beta^2 + 8\beta +16}{\e^\frac{\beta}{2}} \\[2mm] & = & 16. \end{eqnarray*}

Übung 2

Konvergiert das folgende uneigentliche Integral? \[ \int_0^4 \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\,dx \] Wenn ja, berechne seinen Wert!

Muss noch erstellt werden.

Die nächste Übungsaufgabe behandelt die Eulersche Gammafunktion. Sie stellt eine Verstetigung der Fakultät dar. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Gammafunktion die Grundlage für die Gammaverteilung.

Übung 3

Die Gamma-Funktion $\Gamma(x)$ ist für $x > 0$ definiert durch \[ \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} \e^{-t}\,dt. \] Beachte, dass die Integration über $t$ erfolgt, während $x$ im Integral ein Parameter ist.

  1. Berechne $\Gamma(1)$ und $\Gamma(2)$.
  2. Zeige, dass das uneigentliche Integral für $x=0$ nicht konvergiert.
  3. Zeige, dass uneigentliche Integral für alle $x > 0$ konvergiert.
  4. Zeige: Für alle $x > 0$ gilt \[ \Gamma(x+1) = x \Gamma(x) \]
  5. Zeige: Für alle $n\in\N_0$ gilt \[ \Gamma(n+1) = n! \]
  6. Es gilt \[ \int_0^\infty \e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \] Folgere daraus: \[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. \]
  7. Berechne $\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$.

Muss noch erstellt werden.

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