\( \newcommand{\I}{\textnormal{i}} \newcommand{\e}{\textnormal{e}} \renewcommand{\Re}{\textnormal{Re}} \renewcommand{\Im}{\textnormal{Im}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\K}{{\cal K}} \)

Analysis-Blog: Folge 24

Das Sandwich-Lemma

Wie man durch Einschachtelung einer Folge deren Grenzwert bestimmen kann


Peter Becker

veröffentlicht: 20 Apr 2024, zuletzt geändert: 06 May 2024 13:22

Schlüsselwörter: Folge, Grenzwert, konvergent, Sandwich-Lemma

Die Rechenregeln, die wir bisher für Grenzwerte kennen, basieren alle auf den arithmetischen Operationen. In dieser Blog-Folge zeige ich Dir eine ungleichungsbasierte Rechenregel für Grenzwerte.

Eine Ungleichung für Grenzwerte

Die Rechenregeln, die wir bisher für Grenzwerte kennen, basieren auf den arithmetischen Operation $+$ und $\cdot$. Im Wesentlichen sagen die Regeln aus, dass sich diese Operatoren bei Folgen auf die Grenzwerte übertragen.

Die nächste Rechenregel, die wir kennenlernen, nutzt stattdessen die Ordnungsrelation $\leq$. Sie besagt, dass sich die Relation $\leq$ bei den Gliedern zweier konvergenter Folgen auf die Grenzwerte fortsetzt.

Proposition

Es seien $(a_n)$ und $(b_n)$ reelle, konvergente Zahlenfolgen mit $a_n\leq b_n$ für alle $n\in\N$.

Dann gilt: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n \leq \lim_{n\rightarrow\infty} b_n. \]

Beachte, dass diese Aussage in strikter Form, also mit $<$ statt $\leq$, im Allgemeinen nicht mehr gilt! Zwei konvergente Folgen $(a_n)$ und $(b_n)$, für die stets $a_n < b_n$ gilt, können trotzdem den gleichen Grenzwert haben. Dies zeigt das folgende Beispiel.

Beispiel

Gegeben seien die Folgen $(a_n)$ und $(b_n)$ mit \[ a_n = 1 - \frac{1}{n} \] und \[ b_n = 1 + \frac{1}{n}. \]

Dann gilt $a_n < b_n$ für alle $n\in\N$, aber \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 1 = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n. \]

Wir müssen die Proposition von oben noch beweisen, wozu wir wieder eine Beweisidee benötigen. Wir nehmen also an, dass die Ungleichung $\leq$ für die Grenzwerte der beiden Folgen nicht gilt. Dann muss der Grenzwert der Folge $(a_n)$ echt größer als der der Folge $(b_n)$ sein. Als $\epsilon$ wählen wir wieder die Hälfte des Abstandes zwischen den beiden Grenzwerten, womit die beiden $\epsilon$-Umgebungen dann disjunkt sind. Insbesondere liegt damit die $\epsilon$-Umgebung des Grenzwerts für $(a_n)$ oberhalb der für $(b_n)$. Da ab einem Index $n_0$ alle Folgenglieder in diesen $\epsilon$-Umgebungen liegen müssen, wird damit die Bedingung $a_n \leq b_n$ verletzt und es kommt zum Widerspruch. Der folgende Beweis formalisiert diese Beweisidee.

Beweis

Es sei \[ a:= \lim_{n\rightarrow\infty} a_n \quad\text{und}\quad b:= \lim_{n\rightarrow\infty} b_n. \] Annahme: Es gilt $a > b$.

Wir wählen $\epsilon = \frac{a-b}{2} > 0$.

Es existieren dann $n_1,n_2\in\N$, so dass \[ \forall n\geq n_1 : |a_n-a| < \epsilon \] und \[ \forall n\geq n_2 : |b_n-b| < \epsilon \] gilt.

Es sei $n \geq n_0 := \max\{n_1,n_2\}$. Dann gilt: \[ a_n > a-\epsilon = a - \frac{a-b}{2} = \frac{a+b}{2} = b + \frac{a-b}{2} = b+\epsilon > b_n. \] Dies ist ein Widerspruch zu der Vorausetzung $a_n \leq b_n$ für alle $n\in\N$.

Schachtelungsprinzip

Das sogenannte Sandwich-Lemma nutzt die Ungleichung für Grenzwerte aus dem ersten Abschnitt dieser Blog-Folge aus. Es erlaubt uns, sowohl auf die Konvergenz als auch auf den Grenzwert einer Folge zu schließen, die von zwei anderen konvergenten Folgen eingeschachtelt wird und die den gleichen Grenzwert haben.

Satz (Sandwich-Lemma)

Es seien $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ reelle Zahlenfolgen mit \[ a_n\leq b_n\leq c_n \] für alle $n\in\N$. Weiterhin seien $(a_n)$ und $(c_n)$ konvergent mit \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow\infty} c_n = a. \]

Dann ist auch die Folge $(b_n)$ konvergent und es gilt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} b_n = a. \]

Beweis

Es sei $\epsilon > 0$ beliebig. Nach Voraussetzung existieren $n_1, n_2\in\N$ mit \[ \forall n\geq n_1 : |a_n-a| < \epsilon \] und \[ \forall n\geq n_2 : |c_n-a| < \epsilon. \]

Es sei $n_0 := \max\{n_1,n_2\}$. Dann gilt für alle $n\geq n_0$: \[ a-\epsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < a+\epsilon \] und somit \[ |b_n -a| < \epsilon. \]

Die folgenden Beispiele zeigen, wir wir das Sandwich-Lemma anwenden können.

Beispiel

Für die Folge $(a_n)$ mit \[ a_n = (5+(-1)^n)\frac{1}{n} \] gilt \[ \underbrace{\frac{4}{n}}_{\rightarrow 0} \leq a_n \leq \underbrace{\frac{6}{n}}_{\rightarrow 0}. \] Mit dem Sandwich-Lemma folgt \[ \lim_{n\rightarrow \infty} (5+(-1)^n)\frac{1}{n} = 0. \]

Beispiel

Wir betrachten die Folge $(a_n)$ mit \[ a_n = \frac{3^n+(-3)^n}{4^n}. \] Einerseits gilt \[ 0 \leq a_n \] für alle $n\in\N$, andererseits auch \[ \frac{3^n+(-3)^n}{4^n} \leq \frac{3^n +3^n}{4^n} = 2\frac{3^n}{4^n} = 2\left(\frac{3}{4}\right)^n \] und \[ \lim_{n\rightarrow\infty} 2\left(\frac{3}{4}\right)^n = 0. \] Mit dem Sandwich-Lemma folgt \[ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0. \]

Sowohl mit unseren allgemeinen Rechenregeln für Grenzwerte als auch mit dem Sandwich-Lemma können wir auf die Konvergenz und den Grenzwert einer Folge schließen. Dafür benötigen wir aber immer die Grenzwerte anderer Folgen. Was aber sollen wir machen, wenn wir Folgen haben, deren Grenzwerte wir nicht benennen können? Wie können wir für solche Folgen auf Konvergenz schließen? Dies werden wir in der nächsten Blog-Folge sehen.

Teilen und Drucken