Übung: Vollständiger Körper

1. Es gilt \[ \inf(A) = \min(A) = -1 \] und \[ \sup(A) = 4.5. \] Ein Maximum existiert nicht, da $4.5 \notin A$.

2. Es gilt \[ \inf(B) = 0. \] Wegen $n^{-1} > 0$ und $2^{-m} > 0$ existiert kein Minimum.

   Weiterhin gilt \[ \sup(B) = \max(B) = \frac{3}{2}. \]

3. Es gilt \begin{eqnarray*} x^2 - 4x + 6 & = & x^2 -4x +4 -4 + 6 \\ & = & (x-2)^2 + 2 \end{eqnarray*} Wegen $(x-2)^2 \geq 0$ und $=0$ für $x=2$ folgt \[ \inf(C) = \min(C) = 2. \] Supremum und Maximum existieren nicht, da der Term $(x-2)^2 + 2$ beliebig groß werden kann.

4. Es gilt \[ \inf(D) = -3,\quad \sup(D) = 3. \] Wegen $3-\frac{1}{n} < 3$ existiert kein Maximum und kein Minimum.

1. Es gilt \[ \inf(A) = -\frac{3}{2},\quad \sup(A) = \frac{2}{3}. \] Maximum und Minimum existieren nicht.

2. Es gilt \begin{eqnarray*} -x^4 + 6x^2 - 7 & = & -\left(x^4 - 6x^2 + 7 \right) \\ & = & -\left(x^4 -6x^2 + 9 - 9 + 7 \right) \\ & = & -\left((x^2 - 3)^2 - 2\right) \\ & = & -(x^2-3)^2 + 2 \\ & = & 2 - (x^2-3)^2 \end{eqnarray*} Damit folgt \[ \sup(B) = \max(B) = 2. \] Infimum und Minimum existieren nicht, da der Term beliebig klein werden kann.

3. Der größte Wert ergibt sich für $m=1$. Somit gilt \[ \inf(C) = \max(C) = 3 + \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 7. \] Weiterhin gilt \[ \inf(C) = 3. \] Ein Maximum existiert nicht.

4. Für wachsendes $n$ wird $2^\frac{n}{2}$ immer größer. Der Faktor $(-1)^n$ bewirkt einen permanenten Vorzeichenwechsel. Somit wird $(-1)^n 2^\frac{n}{2}$ sowohl beliebig groß als auch beliebig klein. Also existieren weder Supremum noch Infimum und damit auch nicht Maximum und Minimum.

Für $n\in\N$ gilt \begin{eqnarray*} \frac{1}{n} > 0 & \Rightarrow & \frac{5}{3}\cdot\frac{1}{n} > 0 \\[2mm] & \Rightarrow & -\frac{5}{3n} < 0 \\[2mm] & \Rightarrow & 2 - \frac{5}{3n} < 2. \end{eqnarray*} Also ist $2$ eine obere Schranke von $M$.

Wir zeigen jetzt, dass es keine kleinere obere Schranke als $2$ gibt.

Annahme: Es gibt eine obere Schranke $a < 2$.

Dann wählen wir eine natürliche Zahl $n$ mit \[ n > \frac{5}{3(2-a)}. \] Dies ist nach dem archimedischen Prinzip immer möglich. Mit diesem $n$ gilt: \begin{eqnarray*} n > \frac{5}{3(2-a)} & \Rightarrow & 2-a > \frac{5}{3n} \\[2mm] & \Rightarrow & a-2 < -\frac{5}{3n} \\[2mm] & \Rightarrow & a < 2 - \frac{5}{3n}. \end{eqnarray*} Dies ist ein Widerspruch dazu, dass $a$ eine obere Schranke von $M$ ist.

Also ist $2$ die kleinste obere Schranke, die es gibt. Somit gilt \[ \sup(M) = 2. \]

Es gilt \[ \frac{1}{n} > 0 \quad\text{und}\quad \frac{1}{m} > 0 \] und damit \[ \frac{1}{n} + \frac{1}{m} > 0 \] für alle $n,m \in \N$. Damit ist $0$ eine untere Schranke.

Wir müssen jetzt noch zeigen, dass $0$ die größte untere Schranke ist. Hierfür nutzen wir einen Widerspruchsbeweis.

Annahme: Es existiert eine untere Schranke $a$ mit $a > 0$.

Dann wählen wir $n\in\N$ mit $n > \frac{2}{a}$. Dies ist nach dem Archimedischen Prinzip immer möglich. Weiterhin sei $m=n$.

Dann gilt \[ \frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n} < a \] wegen $n > \frac{2}{a}$.

Dies ist ein Widerspruch dazu, dass $a$ eine untere Schranke ist.

Also ist $0$ die größte untere Schranke und somit \[ \inf(M) = 0. \]

1. Zunächst gilt wegen $x,y > 0$: \begin{eqnarray*} y > 0 & \Rightarrow & -y < 0 \\ & \Rightarrow & -y < y \\ & \Rightarrow & x-y < x+y \\ & \Rightarrow & \frac{x-y}{x+y} < 1. \end{eqnarray*} Also ist $1$ eine obere Schranke für $M$.

   Annahme: Es existiert ein $\epsilon > 0$, so dass $1-\epsilon$ immer noch obere Schranke von $M$ ist.

   Wir führen diese Annahme nun zum Widerspruch. Hierzu setzen wir $y=1$. Für den Widerspruch müssen wir ein $x>0$ finden, das die Ungleichung \[ \frac{x-1}{x+1} > 1 - \epsilon \] erfüllt. Wir lösen jetzt diese Ungleichung. Es gilt \begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x+1} > 1 - \epsilon & \Leftrightarrow & x-1 > (x+1)(1-\epsilon) \\ & \Leftrightarrow & x-1 > x + 1 -x\epsilon -\epsilon \\ & \Leftrightarrow & -2 > - x\epsilon -\epsilon \\ & \Leftrightarrow & \epsilon + x\epsilon > 2 \\ & \Leftrightarrow & (x+1)\epsilon > 2 \\ & \Leftrightarrow & x + 1 > \frac{2}{\epsilon} \\ & \Leftrightarrow & x > \frac{2}{\epsilon} -1. \end{eqnarray*} Mit einem $x\in\R$, für das gilt \[ x > \max\left\{ \frac{2}{\epsilon} -1, 0 \right\}, \] ist somit der Widerspruch gegeben. Also ist $1$ die kleinste obere Schranke und damit das Supremum.

2. Wenn wir für ein Element aus $M$ den $x$- und den $y$-Wert vertauschen, erhalten wir wieder ein Element aus $M$. Dementsprechend gilt die Ungleichung \[ \frac{x-y}{x+y} < 1 \] aus (i) auch für vertauschte $x$- und $y$-Werte. Damit folgt \[ \frac{y-x}{x+y} < 1. \] Multiplikation mit $-1$ ergibt \[ \frac{x-y}{x+y} > -1. \] Also ist $-1$ eine untere Schranke.

   Analog zu (i) können wir jetzt zeigen, dass für jedes $\epsilon > 0$ der Wert $-1+\epsilon$ keine untere Schranke mehr ist.

   Also: \[ \inf(M) = -1. \]

3. Für die Existenz eines Minimums bzw. eines Maximums müsste $1\in M$ bzw. $-1\in M$ gelten. Wir hatten aber \[ \frac{x-y}{x+y} < 1 \quad\text{und}\quad \frac{x-y}{x+y} > -1 \] gezeigt. Daher gilt $-1,1 \notin M$, womit Maximum und Minimum nicht existieren können.

1. Diese Aussage ist falsch. Genauer: Es gilt nur die Implikation "$\Leftarrow$" aber nicht die Implikation "$\Rightarrow$".

   Beispiel: Es seien \[ A = \left\{\left. - \frac{1}{n}\right| n\in\N \right\} \quad\text{und}\quad B = \left\{\left. \frac{1}{m}\right| m\in\N \right\}. \] Dann gilt für alle $a\in A$ und für alle $b\in B$: \[ a < 0 < b, \] aber \[ \sup(A) = 0 = \inf(B). \]

2. Die Aussage ist wahr.

   Beweis: Nach Voraussetzung ist $A$ nach oben beschränkt. Damit existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom $\sup(A)$ und $\sup(A)$ ist gemäß der Definition des Supremums eine obere Schranke für die Menge $A$. Damit folgt \begin{eqnarray*} & & x \leq \sup(A)\quad\forall x \in A \\ & \Rightarrow & -x \geq -\sup(A)\quad\forall x \in A \\ & \Rightarrow & y \geq -\sup(A)\quad\forall y \in C \end{eqnarray*} Also ist $-\sup(A)$ eine untere Schranke für die Menge $C$.

   Jetzt zeigen wir, dass $-\sup(A)$ das Infimum von $C$ ist. Wir haben ja schon gezeigt, dass $-\sup(A)$ eine untere Schranke für $C$ ist, womit \[ -\sup(A) \leq \inf(C) \quad(*) \] folgt (nach Definition für das Infimum). Weiterhin gilt: \[ \begin{array}{cll} & \inf(C) \leq y & \forall y \in C \\ \Rightarrow & \inf(C) \leq -x & \forall x \in A \\ \Rightarrow & -\inf(C) \geq x & \forall x \in A \end{array} \] Also ist $-\inf(C)$ eine obere Schranke für $A$. Damit folgt \[ -\inf(C) \geq \sup(A) \] und daraus \[ -\sup(A) \geq \inf(C). \quad (**) \] Aus (*) und (**) folgt \[ -\sup(A) = \inf(C). \]

1. \[ 64^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{64^2} = \sqrt[3]{\left(2^6\right)^2} = \sqrt[3]{2^{12}} = 2^\frac{12}{3} = 2^4 = 16 \]
2. \[ 81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{81^3}} = \frac{1}{\sqrt[4]{\left(3^4\right)^3}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3^{12}}} = \frac{1}{3^\frac{12}{4}} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \]
3. \[ 1000^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{1000^\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1000^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\left(10^3\right)^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{10^{12}}} = \frac{1}{10^\frac{12}{3}} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} \]
4. \[ 2^\frac{1}{3}2^\frac{2}{3} = 2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} = 2^1 = 2 \]
5. \[ 16^\frac{1}{3} 2^\frac{2}{3} = \left(2^4\right)^\frac{1}{3} 2^\frac{2}{3} = 2^\frac{4}{3} 2^\frac{2}{3} = 2^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \]
6. \[ 2^\frac{3}{2} 8^\frac{3}{2} = \left(2\cdot 8\right)^\frac{3}{2} = 16^\frac{3}{2} = \sqrt{16^3} = \sqrt{\left(2^4\right)^3} = \sqrt{2^12} = 2^6 = 64 \]
7. \[ \left( 3^n \right)^\frac{1}{2n} = 3^{\frac{n}{2n}} = 3^\frac{1}{2} = \sqrt{3} \]
8. Es gilt: \begin{eqnarray*} \left( \sqrt{99} + 10 \right)^{99} \left( \sqrt{99} - 10 \right)^{99} & = & \left( \left( \sqrt{99} + 10 \right) \left( \sqrt{99} - 10 \right) \right)^{99} \\[2mm] & = & \left( \left(\sqrt{99}\right)^2 - 10^2 \right)^{99} \\[2mm] & = & \left( 99 - 100 \right)^{99} \\[2mm] & = & (-1)^{99} \\[2mm] & = & -1 \end{eqnarray*}
9. Hier nutzen wir mal wieder den binomischen Lehrsatz: \begin{eqnarray*} & & \left( \sqrt{3} - 1 \right)^6 \\[2mm] & = & \binom{6}{0} \left(\sqrt{3}\right)^6 - \binom{6}{1} \left( \sqrt{3} \right)^5 + \binom{6}{2} \left( \sqrt{3} \right)^4 - \binom{6}{3} \left( \sqrt{3} \right)^3 + \binom{6}{4} \left( \sqrt{3} \right)^2 - \binom{6}{5} \left( \sqrt{3} \right)^1 + \binom{6}{6} \left( \sqrt{3} \right)^0 \\[2mm] & = & 3^3 - 6 \cdot 3^2 \sqrt{3} + 15 \cdot 3^2 - 20 \cdot 3\sqrt{3} + 15 \cdot 3 - 6 \sqrt{3} + 1 \\[2mm] & = & 27 - 54\sqrt{3} + 135 - 60 \sqrt{3} + 45 - 6 \sqrt{3} + 1 \\[2mm] & = & 203 - 120\sqrt{3} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} & & 8^x + 8^x = 64 \\[2mm] & \Rightarrow & 2\cdot 8^x = 64 \\[2mm] & \Rightarrow & 8^x = 32 \\[2mm] & \Rightarrow & \left( 2^3 \right)^x = 2^5 \\[2mm] & \Rightarrow & 2^{3x} = 2^5 \\[2mm] & \Rightarrow & 3x = 5 \\[2mm] & \Rightarrow & x = \frac{5}{3} \end{eqnarray*}

Zunächst vereinfachen wir den Bruch. Es gilt \begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{12}} & = & \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{4}} \\[2mm] & = & \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{4}} \\[2mm] & = & \frac{1+\sqrt{5}}{2}. \end{eqnarray*} Damit ergibt sich \[ (*) := \left( \frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{\sqrt{12}} \right)^{18} = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{18}. \] Nun stellen wir den Exponenten $18$ etwas anders dar. \[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{18} = \left( \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^2 \right)^3 \right)^3. \] Dies gibt uns die Möglichkeit, den Term von innen her zu berechnen.

Zunächst gilt \begin{eqnarray*} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^2 & = & \left[\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\right]^2 \\[2mm] & = & \frac{1}{4}(1+ 2\sqrt{5}+5) \\[2mm] & = & \frac{1}{4}(6+2\sqrt{5}) \\[2mm] & = & \frac{3+\sqrt{5}}{2}. \end{eqnarray*} Damit folgt \[ (*) = \left( \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^3 \right)^3. \] Jetzt werten wir mit dem binomischen Lehrsatz wiederum die innere Potenz aus. Zur Erinnerung: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. \begin{eqnarray*} \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^3 & = & \left[\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})\right]^3 \\[2mm] & = & \frac{1}{8}(3+\sqrt{5})^3 \\[2mm] & = & \frac{1}{8}(3^3 + 3\cdot 3^2\sqrt{5} + 3\cdot 3 \cdot 5 + 5\sqrt{5}) \\[2mm] & = & \frac{1}{8}(27 + 27\sqrt{5} + 45 + 5\sqrt{5}) \\[2mm] & = & \frac{1}{8}(72 + 32\sqrt{5}) \\[2mm] & = & 9+4\sqrt{5} \end{eqnarray*} Damit folgt \[ (*) = (9+4\sqrt{5})^3. \] Die verbleibende Potenz werten wir wieder mit dem binomischen Lehrsatz aus. \begin{eqnarray*} (9+4\sqrt{5})^3 & = & 9^3 + 3\cdot 9^2\cdot 4\sqrt{5} + 3\cdot 9\cdot 4^2\cdot 5 + 4^3 \cdot 5\sqrt{5} \\[2mm] & = & 729 + 972\sqrt{5} + 2160 + 320\sqrt{5} \\[2mm] & = & 2889 + 1292\sqrt{5}. \end{eqnarray*} Damit haben wir das Ergebnis in der gewünschten Form.

Aus der zweiten Gleichung folgt \[ y = 3 - x. \] Eingesetzt in die erste Gleichung erhalten wir damit \begin{eqnarray*} & & 6^x + 6^{3-x} = 42 \\[2mm] & \Rightarrow & 6^x + \frac{6^3}{6^x} = 42. \end{eqnarray*} Es sei $z := 6^x$. Weiterhin gilt $6^3 = 216$. Damit ergibt sich: \begin{eqnarray*} & & z + \frac{216}{z} = 42 \\[2mm] & \Rightarrow & z^2 + 216 = 42z \\[2mm] & \Rightarrow & z^2 - 42z + 216 = 0. \end{eqnarray*} Mit der $p$-$q$-Formel erhalten wir für $z$: \begin{eqnarray*} z_{1,2} & = & 21 \pm \sqrt{441 - 216} \\[2mm] & = & 21 \pm \sqrt{225} \\[2mm] & = & 21 \pm 15 \\[2mm] & = & 36 \text{ bzw. } 6. \end{eqnarray*} Es gilt ja $z=6^x$. Damit ergeben sich aus $z_{1,2}$ die folgenden Lösungen: \[ z_1=36 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1 \] sowie \[ z_2=6 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2. \]

\begin{eqnarray*} & & 2^\sqrt{x} = 8^x \\[2mm] & \Rightarrow & 2^\sqrt{x} = \left(2^3\right)^x \\[2mm] & \Rightarrow & 2^\sqrt{x} = 2^{3x} \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{x} = 3x \\[2mm] & \Rightarrow & x = 9x^2 \\[2mm] & \Rightarrow & 9x^2 - x = 0 \\[2mm] & \Rightarrow & x(9x-1) = 0 \\[2mm] & \Rightarrow & x = 0 \vee 9x-1 = 0 \\[2mm] & \Rightarrow & x = 0 \vee x = \frac{1}{9} \end{eqnarray*}

Unsere Gleichung lautet \[ 2^x = x^{32}. \] Zuerst sorgen wir dafür, dass das $x$ auf der linken Seite verschwindet. Dazu potenzieren wir beide Seiten mit $\frac{1}{x}$. \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & \left(2^x\right)^\frac{1}{x} = \left(x^{32}\right)^\frac{1}{x} \\[2mm] & \Rightarrow & 2 = x^\frac{32}{x} \end{eqnarray*} Als nächstes potenzieren wir beide Seiten mit $\frac{1}{32}$. \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & 2^\frac{1}{32} = \left( x^\frac{32}{x} \right)^\frac{1}{32} \\[2mm] & \Rightarrow & 2^\frac{1}{32} = x^\frac{1}{x} \end{eqnarray*} Wir haben auf der rechten Seite ein Muster in $x$. Wir versuchen nun, auf der linken Seite ein passendes Muster zu erzeugen. Dazu stellen wir $2^\frac{1}{32}$ etwas anders dar und nutzen Potenzgesetze. \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & 2^\frac{2}{64} = x^\frac{1}{x} \\[2mm] & \Rightarrow & \left(2^2\right)^\frac{1}{64} = x^\frac{1}{x} \\[2mm] & \Rightarrow & 4^\frac{1}{64} = x^\frac{1}{x} \end{eqnarray*} Diese Art der Umformung wenden wir nun ein zweites mal an: \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & 4^\frac{2}{128} = x^\frac{1}{x} \\[2mm] & \Rightarrow & \left(4^2\right)^\frac{1}{128} = x^\frac{1}{x} \\[2mm] & \Rightarrow & 16^\frac{1}{128} = x^\frac{1}{x} \end{eqnarray*} Und noch ein drittes mal: \begin{eqnarray*} & \Rightarrow & 16^\frac{2}{256} = x^\frac{1}{x} \\[2mm] & \Rightarrow & \left(16^2\right)^\frac{1}{256} = x^\frac{1}{x} \\[2mm] & \Rightarrow & 256^\frac{1}{256} = x^\frac{1}{x}. \end{eqnarray*} Jetzt passt der linke Term auf das Muster rechts. Damit folgt \[ x = 256. \]

\begin{eqnarray*} & & \sqrt{x+7} - \sqrt{x-9} = 2 \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{x+7} = \sqrt{x-9} + 2 \\[2mm] & \Rightarrow & \sqrt{x+7}^2 = \left(\sqrt{x-9} + 2\right)^2 \\[2mm] & \Rightarrow & x+7 = (x-9) + 4\sqrt{x-9} + 4 \\[2mm] & \Rightarrow & 12 = 4\sqrt{x-9} \\[2mm] & \Rightarrow & 3 = \sqrt{x-9} \\[2mm] & \Rightarrow & 9 = x-9 \\[2mm] & \Rightarrow & x = 18. \end{eqnarray*} Wir machen die Probe: \begin{eqnarray*} \sqrt{x+7} - \sqrt{x-9} & = & \sqrt{18+7} - \sqrt{18-9} \\[2mm] & = & \sqrt{25} - \sqrt{9} \\[2mm] & = & 5 - 3 \\[2mm] & = & 2. \end{eqnarray*} Also ist $x=18$ die Lösung dieser Gleichung.